Tu sais dériver : à partir d’une fonction, tu fabriques sa fonction dérivée, qui donne la vitesse de variation. Dans ce chapitre, tu apprends à faire le chemin inverse : retrouver une fonction quand on connaît sa dérivée. C’est l’idée de la primitive. Cet outil permet ensuite de résoudre des équations différentielles, c’est-à-dire des équations dont l’inconnue est une fonction. Elles décrivent un café qui refroidit, un médicament qui s’élimine du sang, un noyau radioactif qui se désintègre. Tu vas voir qu’une seule fonction, l’exponentielle, résout presque tout.
1. Primitives d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x de I, F ′(x) = f(x).
La fonction F : x ↦ x³ est une primitive sur ℝ de f : x ↦ 3x², car (x³)′ = 3x². Mais G : x ↦ x³ + 7 en est une aussi, puisque la dérivée d’une constante est nulle.
Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Si F est une primitive de f sur l’intervalle I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x ↦ F(x) + C, où C est un réel quelconque.
Démonstration. D’abord, F + C est dérivable et sa dérivée est F ′ + 0 = f : c’est bien une primitive. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors (G − F)′ = f − f = 0 sur l’intervalle I. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe donc un réel C tel que G − F = C, soit G = F + C. ∎
Le résultat « deux primitives diffèrent d’une constante » ne vaut que sur un intervalle. Sur ℝ privé de 0, par exemple, une primitive peut avoir une constante différente à gauche et à droite de 0. On travaille donc toujours sur un intervalle précisé.
Graphiquement, les courbes des primitives d’une même fonction se déduisent les unes des autres par une translation verticale. Ci-dessous, les primitives de f(x) = x : toutes les paraboles y = x²2 + C.
Soit f continue sur I, x0 un réel de I et y0 un réel. Il existe une seule primitive G de f sur I telle que G(x0) = y0.
Démonstration. Soit F une primitive de f. Les primitives sont F + C. La condition F(x0) + C = y0 impose C = y0 − F(x0) : une valeur et une seule. ∎ Sur la figure, la seule parabole qui passe par A(2 ; 1) est celle de C = −1.
2. Primitives des fonctions usuelles
Lire à l’envers le tableau des dérivées donne les primitives usuelles. Ici, C désigne une constante réelle.
| Fonction f(x) | Une primitive F(x) | Intervalle |
|---|---|---|
| k (constante) | kx | ℝ |
| xn, n entier naturel | [[xn+1/n+1]] | ℝ |
| xn, n entier ≤ −2 (ex. 1x², 1x³) | [[xn+1/n+1]] (ex. −1x, −12x²) | ]0 ; +∞[ ou ]−∞ ; 0[ |
| 1x | ln(x) | ]0 ; +∞[ |
| 1√x | 2√x | ]0 ; +∞[ |
| ex | ex | ℝ |
| cos(x) | sin(x) | ℝ |
| sin(x) | −cos(x) | ℝ |
Pour être sûr d’une primitive, dérive-la : tu dois retrouver exactement f. C’est un contrôle rapide qui évite beaucoup d’erreurs de signe ou de facteur.
Si F et G sont des primitives de f et g sur I, et si λ est un réel, alors F + G est une primitive de f + g, et λF est une primitive de λf.
Primitive de f(x) = 3x² + 2x − 5 + 4ex sur ℝ. On traite chaque terme : 3x³3 = x³ ; 2x²2 = x² ; −5x ; 4ex. Une primitive est F(x) = x³ + x² − 5x + 4ex, et toutes les autres s’obtiennent en ajoutant une constante.
Il n’existe pas de règle « primitive d’un produit = produit des primitives ». Par exemple, une primitive de x × ex n’est pas x²2 × ex. En revanche, il faut développer (ou transformer) avant de chercher une primitive : (x + 1)² se développe en x² + 2x + 1.
3. Primitives de fonctions composées
Les formules de dérivation des fonctions composées donnent des primitives pour des fonctions de la forme u ′ × (quelque chose de u). Dans le tableau, u est une fonction dérivable sur I.
| Forme de f | Une primitive de f | Condition |
|---|---|---|
| u ′ un | [[un+1/n+1]] | n entier, n ≠ −1 ; u ≠ 0 si n < 0 |
| u′u² | −1u | u ne s’annule pas |
| u′u | ln(u) | u > 0 sur I |
| u′√u | 2√u | u > 0 sur I |
| u ′ eu | eu | |
| u ′ cos(u) | sin(u) | |
| u ′ sin(u) | −cos(u) |
Cas particuliers très fréquents, avec a ≠ 0 et b réels (ici u(x) = ax + b et u ′ = a) : une primitive de eax+b est 1a eax+b ; de cos(ax + b) est 1a sin(ax + b) ; de sin(ax + b) est −1a cos(ax + b) ; de (ax + b)n est [[(ax+b)n+1/a(n+1)]].
- Repère la fonction « à l’intérieur » : c’est u. Calcule u ′.
- Compare avec f. Si u ′ est présent au facteur multiplicatif près, ajuste avec une constante (on peut multiplier et diviser par un même nombre).
- Écris la primitive correspondante du tableau.
- Dérive pour vérifier.
- f(x) = xx²+4 sur ℝ. Avec u(x) = x² + 4 > 0, on a u ′(x) = 2x. Donc f = 12 × u′u et F(x) = 12 ln(x² + 4).
- f(x) = (2x − 1)(x² − x + 3)³. Avec u = x² − x + 3, u ′ = 2x − 1 : f = u ′u³, d’où F(x) = (x²−x+3)⁴4.
- f(x) = e−3x sur ℝ : ici a = −3, donc F(x) = −13 e−3x.
- f(x) = 1(1−2x)² sur ]−∞ ; 12[. Avec u = 1 − 2x, u ′ = −2 : f = −12 × u′u², donc F(x) = −12 × (−1u) = 12(1−2x).
On peut ajuster par une constante, jamais par une variable. La fonction xex² se traite avec u = x² (u ′ = 2x) : on obtient 12ex². Mais ex² seule n’a pas de primitive qui s’écrive avec les fonctions usuelles : le facteur x manque, et on ne peut pas l’inventer.
4. Déterminer une primitive avec une condition initiale
- Trouve une primitive F de f et écris la forme générale F(x) + C.
- Écris la condition : F(x0) + C = y0.
- Résous cette équation d’inconnue C.
- Conclus par une phrase : « La primitive cherchée est … ».
Soit f(x) = e2x + x. On cherche la primitive G de f sur ℝ telle que G(0) = 3. Les primitives de f sont F(x) = 12e2x + x²2 + C. Alors G(0) = 12 + 0 + C = 3, donc C = 52. La primitive cherchée est G(x) = 12e2x + x²2 + 52.
5. L’équation différentielle y ′ = ay
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction y et dans laquelle figure sa dérivée y ′. Une solution sur ℝ est une fonction dérivable qui vérifie l’égalité pour tout réel x. On note souvent l’équation (E).
Soit a un réel. Les solutions sur ℝ de l’équation y ′ = ay sont les fonctions x ↦ Ceax, où C est un réel quelconque.
Démonstration. Si y(x) = Ceax, alors y ′(x) = Ca eax = ay(x) : ce sont bien des solutions. Réciproquement, soit g une solution. On pose h(x) = g(x)e−ax. Alors h ′(x) = g ′(x)e−ax − ag(x)e−ax = (g ′(x) − ag(x))e−ax = 0. Donc h est constante, égale à un réel C, et g(x) = Ceax. ∎
Pour tous réels x0 et y0, l’équation y ′ = ay admet une unique solution telle que y(x0) = y0. C’est y(x) = y0 ea(x−x0).
En effet, Ceax0 = y0 donne C = y0e−ax0, d’où l’expression annoncée. Voici les solutions de y ′ = y (a = 1) ; celle qui vaut 1 en 0 est l’exponentielle elle-même.
- y ′ = −2y avec y(0) = 3. Les solutions sont Ce−2x ; y(0) = C = 3. Donc y(x) = 3e−2x.
- y ′ = 3y avec y(2) = 1. Les solutions sont Ce3x ; y(2) = Ce6 = 1 donne C = e−6. Donc y(x) = e−6e3x = e3x−6.
Avant d’appliquer le théorème, isole y ′. L’équation 2y ′ = 6y devient y ′ = 3y, de solutions Ce3x (et pas Ce6x). L’équation y ′ + 4y = 0 devient y ′ = −4y : le coefficient a est −4.
6. L’équation différentielle y ′ = ay + b
Soit a un réel non nul et b un réel. Les solutions sur ℝ de y ′ = ay + b sont les fonctions x ↦ Ceax − ba, où C est un réel quelconque.
Démonstration. La fonction constante yp = −ba est solution : sa dérivée est 0 et a × (−ba) + b = 0. Soit g une fonction dérivable. Alors g ′ = ag + b équivaut, en retranchant l’égalité vérifiée par yp, à (g − yp)′ = a(g − yp). Donc g est solution si et seulement si g − yp est solution de y ′ = ay, c’est-à-dire g − yp = Ceax. ∎
- Mets l’équation sous la forme y ′ = ay + b.
- Trouve la solution constante : ba change de signe, elle vaut −ba.
- Écris les solutions : Ceax − ba.
- Avec une condition initiale, remplace x puis résous l’équation d’inconnue C.
Résoudre y ′ = −2y + 8 avec y(0) = 1. Ici a = −2 et b = 8. La solution constante est −8−2 = 4. Les solutions sont y(x) = Ce−2x + 4. La condition donne C + 4 = 1, donc C = −3 et y(x) = 4 − 3e−2x. Vérification : y ′(x) = 6 e−2x et −2y(x) + 8 = −8 + 6 e−2x + 8 = 6 e−2x. ✓
Quand a < 0, tous les termes Ceax tendent vers 0 en +∞ : toutes les solutions se rapprochent de la solution constante. Voici les solutions de y ′ = −y + 2, avec la droite y = 2 en pointillés ; la courbe en trait épais est celle qui part de 0.
Pour y ′ = ay + b avec a < 0, la valeur d’équilibre −ba est la limite en +∞ de toutes les solutions. Avec a > 0, les solutions s’éloignent de cette valeur, sauf la solution constante.
7. Les équations y ′ = f et y ′ = ay + f
Si f est continue sur un intervalle I, les solutions de y ′ = f sur I sont exactement les primitives de f : y = F + C. Avec une condition initiale, la solution est unique.
y ′ = cos(x) avec y(0) = 2. Les solutions sont y(x) = sin(x) + C ; y(0) = C = 2. Donc y(x) = sin(x) + 2.
Quand le second membre contient une fonction f, l’équation y ′ = ay + f se traite de la même façon que dans la partie 6, à condition de connaître une solution particulière yp. L’énoncé la donne ou la fait deviner (souvent une fonction affine).
Si yp est une solution particulière de y ′ = ay + f, alors les solutions sont les fonctions x ↦ Ceax + yp(x).
La preuve est celle de la partie 6 : la différence de deux solutions est solution de y ′ = ay.
Soit (E) : y ′ = −y + 2x.
- Vérifier que yp(x) = 2x − 2 est solution. On a yp ′ = 2 et −yp + 2x = −2x + 2 + 2x = 2. ✓
- Les solutions de (E) sont y(x) = Ce−x + 2x − 2.
- Avec y(0) = 0 : C − 2 = 0, donc C = 2 et y(x) = 2e−x + 2x − 2.
8. Modéliser avec une équation différentielle
Beaucoup de phénomènes obéissent à une règle du type « la vitesse de variation est proportionnelle à l’écart avec une valeur d’équilibre ». On les traduit par y ′ = ay + b.
- Choisis la fonction inconnue (température T(t), quantité N(t)…) et précise l’unité de t.
- Traduis la loi du phénomène par une équation différentielle.
- Résous-la, puis utilise les données (condition initiale, une mesure) pour trouver les constantes.
- Réponds aux questions (valeur à un instant, instant atteignant un seuil) en résolvant une équation avec l’exponentielle, souvent grâce à ln.
- Conclus par une phrase avec l’unité.
- Loi de refroidissement (Newton) : la température T d’un objet placé dans un milieu à température constante Tm vérifie T ′ = −k(T − Tm) avec k > 0. Les solutions sont T(t) = Tm + Ce−kt.
- Désintégration radioactive : le nombre de noyaux N vérifie N ′ = −λN avec λ > 0. Donc N(t) = N0e−λt. La demi-vie t½, durée au bout de laquelle il reste la moitié des noyaux, vérifie e−λt½ = 12, soit t½ = ln 2λ.
Un thé à 85 °C est posé dans une pièce à 22 °C. Après 5 minutes, il est à 70 °C. La température T(t) (en °C, t en minutes) vérifie T ′ = −k(T − 22), c’est-à-dire T ′ = −kT + 22k. La solution constante est 22, donc T(t) = 22 + Ce−kt. Comme T(0) = 85, C = 63.
Pour trouver k : T(5) = 70 donne 63e−5k = 48, soit e−5k = 1621, d’où k = [[ln(21/16)/5]] ≈ 0,0544 min−1.
Quand le thé est-il à 40 °C ? 22 + 63e−kt = 40 équivaut à e−kt = 1863 = 27, soit t = [[ln(7/2)/k]] ≈ 23,0 minutes. Le thé est à 40 °C après environ 23 minutes.
Pour isoler t dans e−kt = m (avec m > 0), on applique ln : −kt = ln(m). Si m < 1, ln(m) est négatif et on trouve bien un temps positif. Contrôle toujours que ton résultat est cohérent (une durée négative signale une erreur).
Bip ! Quand une équation différentielle te fait peur, regarde seulement le signe de a : s’il est négatif, ton phénomène « se calme » vers un équilibre ; s’il est positif, il « s’emballe ». Le reste n’est que de l’arithmétique avec des exponentielles.
À retenir
- F est une primitive de f sur I si F ′ = f sur I. Si F en est une, les autres sont F + C (C réel) ; une condition F(x0) = y0 fixe C.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
- Usuelles : kx ; [[xn+1/n+1]] ; −1x pour 1x² ; ln x pour 1x (x > 0) ; 2√x pour 1√x ; ex ; sin pour cos ; −cos pour sin.
- Composées : u ′un → [[un+1/n+1]] ; u′u² → −1u ; u′u → ln u (u > 0) ; u′√u → 2√u ; u ′eu → eu ; u ′cos u → sin u ; u ′sin u → −cos u.
- y ′ = ay a pour solutions Ceax ; avec y(x0) = y0, la solution est unique : y0ea(x−x0).
- y ′ = ay + b (a ≠ 0) a pour solutions Ceax − ba ; la solution constante −ba est la valeur d’équilibre.
- y ′ = f : les solutions sont les primitives de f. y ′ = ay + f : Ceax + yp, où yp est une solution particulière.
- Refroidissement : T = Tm + Ce−kt. Décroissance radioactive : N = N0e−λt, demi-vie ln 2λ.
- Réflexe : dériver le résultat pour vérifier qu’on retrouve f (primitive) ou l’équation (solution).