Primitives et équations différentielles : contrôle de maths Terminale

1 Primitives usuelles et composées / 4 pts

Donne une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

1. f(x) = 4x³ − 3x² + 2 sur ℝ
2. g(x) = e^2x + 3x sur ]0 ; +∞[
3. h(x) = 3x²(x³ − 1)³ sur ℝ
4. k(x) = cos(3x) + xx²+1 sur ℝ

2 Primitive avec condition initiale / 3 pts

Soit f(x) = 4xx²+1 + e^−x sur ℝ. Détermine la primitive F de f sur ℝ telle que F(0) = 1.

3 Équations différentielles du premier ordre / 4 pts

Résous sur ℝ.

1. y ′ = −3y avec y(0) = 5.
2. y ′ = 4y − 8 avec y(0) = −1.

4 Équation avec solution particulière / 4 pts

On considère l’équation (E) : y ′ = 2y + 1 − 6x.

1. Montre que g(x) = 3x + 1 est solution de (E).
2. Résous y ′ = 2y.
3. En déduire les solutions de (E), puis la solution f telle que f(0) = 0.

5 Un gâteau qui refroidit / 5 pts

Un gâteau sort du four à 180 °C. La pièce est à 20 °C. On note T(t) sa température en °C après t minutes. On admet que T ′ = −0,1(T − 20). La calculatrice est autorisée.

1. Détermine T(t).
2. Quelle est la température du gâteau après 15 minutes ? Arrondis au dixième.
3. Au bout de combien de temps le gâteau atteint-il 40 °C ? Arrondis à la minute.