Primitives et équations différentielles : exercices de maths Terminale

1 Vrai ou faux ? ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie en dérivant.

1. F(x) = x⁴ est une primitive de f(x) = 4x³ sur ℝ.
2. G(x) = x² est une primitive de g(x) = 2x + 1 sur ℝ.
3. H(x) = x² + 10 est aussi une primitive de h(x) = 2x sur ℝ.
4. La fonction ln est une primitive de 1x sur ℝ.

2 Primitives usuelles ★★★

Donne une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

1. f(x) = x⁵ sur ℝ
2. f(x) = 4x³ sur ℝ
3. f(x) = 3x² − 2x + 1 sur ℝ
4. f(x) = e^x + cos(x) sur ℝ
5. f(x) = 1x² sur ]0 ; +∞[
6. f(x) = 3√x sur ]0 ; +∞[

3 Primitive passant par un point ★★★

Soit f(x) = 6x² − 4x + 1. Détermine la primitive F de f sur ℝ telle que F(1) = 3.

4 Forme u′uⁿ ★★★

Donne une primitive sur ℝ de chaque fonction.

1. f(x) = 2x(x² + 1)⁴
2. g(x) = (3x − 2)³
3. h(x) = x(x² + 3)²

5 Forme u′/u ★★★

Donne une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

1. f(x) = 2xx²+1 sur ℝ
2. g(x) = 12x+3 sur ]−32 ; +∞[
3. h(x) = 3x²x³+1 sur ]−1 ; +∞[

6 Exponentielles ★★★

Donne une primitive sur ℝ de chaque fonction.

1. f(x) = e^3x
2. g(x) = e^−2x+1
3. h(x) = xe^x²

7 Cosinus et sinus ★★★

Donne une primitive sur ℝ de chaque fonction.

1. f(x) = cos(2x)
2. g(x) = sin(3x + 1)
3. h(x) = cos(x2)

8 Deux équations simples ★★★

Résous chaque problème.

1. y ′ = 3y avec y(0) = 2.
2. y ′ = −2y avec y(1) = 5.

9 Mettre sous la forme y′ = ay ★★★

Résous sur ℝ chaque équation, sans condition initiale.

1. 2y ′ = 10y
2. y ′ + 5y = 0
3. 3y ′ − 2y = 0

10 Équation avec second membre constant ★★★

Résous y ′ = y + 3 sur ℝ, puis donne la solution qui vérifie y(0) = 0.

11 Développer avant de primitiver ★★★

Détermine la primitive F de f(x) = (x² − 1)² sur ℝ qui s’annule en 0.

12 Un trinôme sous le logarithme ★★★

Montre que x² + 3x + 5 > 0 pour tout réel x, puis donne une primitive de f(x) = 2x+3x²+3x+5 sur ℝ.

13 Un produit sinus-cosinus ★★★

Trouve une primitive sur ℝ de f(x) = sin(x)cos²(x). Indice : pose u = cos(x).

14 Quotient d’exponentielles ★★★

Donne une primitive sur ℝ de f(x) = eˣeˣ+1.

15 Une racine carrée ★★★

Donne une primitive sur ℝ de f(x) = x√x²+1.

16 Logarithme au numérateur ★★★

Donne une primitive sur ]0 ; +∞[ de f(x) = ln(x)x. Indice : reconnais u ′u avec u = ln(x).

17 Équation avec condition initiale ★★★

Résous y ′ = 2y − 6 sur ℝ avec y(0) = 1.

18 Écrire l’équation sous forme réduite ★★★

Résous y ′ + 4y = 8 sur ℝ, puis détermine la solution f telle que f(0) = 5. Que vaut la limite de f(x) en +∞ ?

19 y′ = f avec condition ★★★

Trouve la fonction y dérivable sur ℝ telle que y ′(x) = 3x² − 2 et y(1) = 4.

20 Un coefficient fractionnaire ★★★

Résous y ′ = −3y + 32 sur ℝ, puis la solution telle que y(0) = 0.

21 Mouvement d’un mobile ★★★

Un mobile se déplace sur une droite. Son accélération est a(t) = 6t − 2 (en m/s², t en secondes, t ≥ 0). À l’instant 0, sa vitesse est 1 m/s et il est à l’origine (position 0 m). La vitesse est une primitive de l’accélération, la position est une primitive de la vitesse.

1. Détermine la vitesse v(t).
2. Détermine la position x(t).
3. Quelles sont la vitesse et la position à t = 3 s ?

22 Un facteur qui disparaît à l’intérieur ★★★

Soit f(x) = (2x + 1)e^x²+x. Détermine la primitive F de f sur ℝ telle que F(0) = 0.

23 Linéariser un carré ★★★

Pour tout réel x, on admet que cos²(x) = 1+cos(2x)2. En déduire une primitive de f(x) = cos²(x) sur ℝ.

24 Équation avec solution particulière ★★★

On considère l’équation (E) : y ′ = 2y + 4x.

1. Vérifie que la fonction g(x) = −2x − 1 est solution de (E).
2. Résous l’équation y ′ = 2y.
3. En déduire toutes les solutions de (E).
4. Détermine la solution f de (E) telle que f(0) = 3.

25 Refroidissement d’un café ★★★

Un café à 90 °C est servi dans une salle à 20 °C. On note T(t) sa température (en °C) au bout de t minutes. On admet que T ′ = −k(T − 20) avec k > 0. Après 10 minutes, le café est à 60 °C. La calculatrice est autorisée.

1. Détermine T(t) en fonction de k.
2. Calcule la valeur exacte de k, puis une valeur approchée à 10⁻³ près.
3. Au bout de combien de temps le café est-il à 30 °C, température idéale pour certains ? Arrondis à la minute.

26 Décroissance radioactive ★★★

Un échantillon contient 800 g d’un isotope dont la demi-vie est de 5 ans. La masse N(t) (en g, t en années) vérifie N ′ = −λN avec λ > 0. La calculatrice est autorisée.

1. Exprime λ avec la demi-vie, puis donne N(t).
2. Quelle masse reste-t-il au bout de 12 ans ? Arrondis à 0,1 g.
3. Au bout de combien d’années reste-t-il 10 % de la masse initiale ? Arrondis à 0,1 an.

27 Concentration d’un médicament ★★★

Un médicament est perfusé à débit constant. La concentration C(t) (en mg/L) dans le sang, t en heures, vérifie C ′ = −0,25C + 3 avec C(0) = 0. La calculatrice est autorisée.

1. Détermine C(t).
2. Quelle est la limite de C(t) quand t tend vers +∞ ? Interprète.
3. Au bout de combien de temps la concentration atteint-elle 9 mg/L ?

28 Les primitives d’une fonction et leur graphique ★★★

La courbe ci-dessous représente la fonction F(x) = 12(1 − e^−x/4) pour x ≥ 0.

1. Calcule F ′(x) et montre que F est solution de l’équation différentielle y ′ = −0,25y + 3.
2. Justifie que F est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
3. Quelle est la signification géométrique de la droite pointillée y = 12 ?