Primitives et équations différentielles : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : (x⁴)′ = 4x³ = f(x).
2. Faux : (x²)′ = 2x ≠ 2x + 1. Une primitive de g est x² + x.
3. Vrai : (x² + 10)′ = 2x. Deux primitives diffèrent d’une constante.
4. Faux : ln n’est pas définie sur ℝ (elle l’est sur ]0 ; +∞[ seulement). La propriété est vraie sur ]0 ; +∞[, pas sur ℝ.

2 Primitives usuelles ★★★

1. F(x) = x⁶6.
2. F(x) = x⁴, car (x⁴)′ = 4x³.
3. F(x) = x³ − x² + x.
4. F(x) = e^x + sin(x).
5. F(x) = −1x, car (−1x)′ = 1x².
6. Une primitive de 1√x est 2√x, donc F(x) = 3 × 2√x = 6√x.

3 Primitive passant par un point ★★★

Les primitives de f sont F(x) = 2x³ − 2x² + x + C.

Condition : F(1) = 2 − 2 + 1 + C = 1 + C = 3, donc C = 2.

La primitive cherchée est F(x) = 2x³ − 2x² + x + 2.

4 Forme u′uⁿ ★★★

1. u = x² + 1, u ′ = 2x : f = u ′u⁴, donc F(x) = (x²+1)⁵5.
2. u = 3x − 2, u ′ = 3 : g = 13u ′u³, donc G(x) = 13 × (3x−2)⁴4 = (3x−2)⁴12.
3. u = x² + 3, u ′ = 2x : h = 12u ′u², donc H(x) = 12 × (x²+3)³3 = (x²+3)³6.

5 Forme u′/u ★★★

1. u = x² + 1 > 0, u ′ = 2x : F(x) = ln(x² + 1).
2. u = 2x + 3 > 0 sur l’intervalle, u ′ = 2 : g = 12 × u′u, donc G(x) = 12 ln(2x + 3).
3. u = x³ + 1 > 0 sur ]−1 ; +∞[, u ′ = 3x² : H(x) = ln(x³ + 1).

6 Exponentielles ★★★

1. F(x) = 13e^3x.
2. a = −2 : G(x) = −12e^−2x+1.
3. u = x², u ′ = 2x : h = 12u ′e^u, donc H(x) = 12e^x².

7 Cosinus et sinus ★★★

1. F(x) = 12sin(2x).
2. G(x) = −13cos(3x + 1).
3. Ici a = 12, donc H(x) = 2 sin(x2). Vérification : (2 sin(x2))′ = 2 × 12cos(x2) = cos(x2).

8 Deux équations simples ★★★

1. Les solutions sont Ce^3x. y(0) = C = 2. La solution est y(x) = 2e^3x.
2. Les solutions sont Ce^−2x. y(1) = Ce⁻² = 5 donne C = 5e². La solution est y(x) = 5e²e^−2x = 5e^2−2x.

9 Mettre sous la forme y′ = ay ★★★

1. y ′ = 5y : y(x) = Ce^5x.
2. y ′ = −5y : y(x) = Ce^−5x.
3. y ′ = 23y : y(x) = Ce^2x/3.

10 Équation avec second membre constant ★★★

Ici a = 1 et b = 3. La solution constante est −31 = −3. Les solutions sont y(x) = Ce^x − 3.

y(0) = C − 3 = 0 donne C = 3. Donc y(x) = 3e^x − 3.

11 Développer avant de primitiver ★★★

On développe : f(x) = x⁴ − 2x² + 1. Les primitives sont x⁵5 − 2x³3 + x + C.

F(0) = C = 0. Donc F(x) = x⁵5 − 2x³3 + x.

12 Un trinôme sous le logarithme ★★★

Le discriminant est Δ = 9 − 20 = −11 < 0 et le coefficient de x² est positif : le trinôme est strictement positif sur ℝ.

Avec u = x² + 3x + 5 > 0 et u ′ = 2x + 3, on a f = u′u. Une primitive est F(x) = ln(x² + 3x + 5).

13 Un produit sinus-cosinus ★★★

u = cos(x), u ′ = −sin(x). Alors f = −u ′u². Une primitive de u ′u² est u³3, donc F(x) = −cos³(x)3.

Vérification : F ′(x) = −13 × 3cos²(x) × (−sin(x)) = sin(x)cos²(x). ✓

14 Quotient d’exponentielles ★★★

u(x) = e^x + 1 > 0 sur ℝ et u ′(x) = e^x. Donc f = u′u et F(x) = ln(e^x + 1).

15 Une racine carrée ★★★

u = x² + 1 > 0, u ′ = 2x. On sait que u′√u a pour primitive 2√u. Or f = 12 × u′√u, donc F(x) = 12 × 2√(x² + 1) = √(x² + 1).

Vérification : F ′(x) = 2x2√x²+1 = x√x²+1. ✓

16 Logarithme au numérateur ★★★

u(x) = ln(x) donne u ′(x) = 1x. Donc f = u ′u, de primitive u²2. Ainsi F(x) = (ln x)²2.

17 Équation avec condition initiale ★★★

a = 2, b = −6. La solution constante est −−62 = 3. Les solutions sont y(x) = Ce^2x + 3.

y(0) = C + 3 = 1 donne C = −2. Donc y(x) = 3 − 2e^2x.

18 Écrire l’équation sous forme réduite ★★★

L’équation s’écrit y ′ = −4y + 8. La solution constante est −8−4 = 2. Les solutions sont y(x) = Ce^−4x + 2.

f(0) = C + 2 = 5 donne C = 3, donc f(x) = 3e^−4x + 2.

Comme −4 < 0, e^−4x tend vers 0 en +∞ : la limite de f est 2, la valeur d’équilibre.

19 y′ = f avec condition ★★★

y est une primitive de 3x² − 2 : y(x) = x³ − 2x + C.

y(1) = 1 − 2 + C = 4 donne C = 5. Donc y(x) = x³ − 2x + 5.

20 Un coefficient fractionnaire ★★★

a = −3, b = 32. La solution constante est −32 ÷ (−3) = 12. Les solutions sont y(x) = Ce^−3x + 12.

y(0) = C + 12 = 0 donne C = −12. Donc y(x) = 12 − 12e^−3x = 12(1 − e^−3x).

21 Mouvement d’un mobile ★★★

1. v(t) = 3t² − 2t + C et v(0) = C = 1. Donc v(t) = 3t² − 2t + 1.
2. x(t) = t³ − t² + t + K et x(0) = K = 0. Donc x(t) = t³ − t² + t.
3. v(3) = 27 − 6 + 1 = 22 m/s et x(3) = 27 − 9 + 3 = 21 m.

22 Un facteur qui disparaît à l’intérieur ★★★

u(x) = x² + x, u ′(x) = 2x + 1. Donc f = u ′e^u, de primitive e^u. Les primitives sont e^x²+x + C.

F(0) = e⁰ + C = 1 + C = 0, donc C = −1. F(x) = e^x²+x − 1.

23 Linéariser un carré ★★★

On écrit f(x) = 12 + 12cos(2x). Une primitive de 12 est x2. Une primitive de cos(2x) est 12sin(2x), donc une primitive de 12cos(2x) est 14sin(2x).

Ainsi F(x) = x2 + sin(2x)4.

Vérification : F ′(x) = 12 + 2cos(2x)4 = 1+cos(2x)2. ✓

24 Équation avec solution particulière ★★★

1. g ′(x) = −2 et 2g(x) + 4x = −4x − 2 + 4x = −2. Les deux membres sont égaux : g est solution.
2. Les solutions de y ′ = 2y sont Ce^2x.
3. Une fonction y est solution de (E) si et seulement si y − g est solution de y ′ = 2y. Donc y(x) = Ce^2x − 2x − 1.
4. f(0) = C − 1 = 3 donne C = 4. f(x) = 4e^2x − 2x − 1.

25 Refroidissement d’un café ★★★

1. T ′ = −kT + 20k : la solution constante est 20, donc T(t) = 20 + Ce^−kt. T(0) = 20 + C = 90 donne C = 70. T(t) = 20 + 70e^−kt.
2. T(10) = 60 : 70e^−10k = 40, soit e^−10k = 47. En prenant ln : −10k = ln(47), donc k = [[ln(7/4)/10]] ≈ 0,056 min⁻¹.
3. T(t) = 30 : 70e^−kt = 10, e^−kt = 17, donc t = ln 7k = [[10 ln 7/ln(7/4)]] ≈ 34,8 minutes. Le café est à 30 °C après environ 35 minutes.

26 Décroissance radioactive ★★★

1. N(t) = 800e^−λt. La demi-vie vérifie e^−5λ = 12, donc λ = ln 25 ≈ 0,139 an⁻¹. Ainsi N(t) = 800e^{−t ln 2/5} = 800 × 2^−t/5.
2. N(12) = 800 × 2^−12/5 ≈ 151,6 g.
3. 800e^−λt = 80 donne e^−λt = 0,1, soit t = ln 10λ = 5 ln 10ln 2 ≈ 16,6 ans.

27 Concentration d’un médicament ★★★

1. a = −0,25 et b = 3. La solution constante est −3−0,25 = 12. Donc C(t) = Ke^−0,25t + 12. C(0) = K + 12 = 0 donne K = −12 : C(t) = 12(1 − e^−t/4).
2. e^−t/4 tend vers 0, donc C(t) tend vers 12. La concentration se stabilise à 12 mg/L : c’est l’équilibre entre l’apport et l’élimination.
3. 12(1 − e^−t/4) = 9 équivaut à e^−t/4 = 14, soit t = 4 ln 4 ≈ 5,55 heures, soit environ 5 h 33 min.

28 Les primitives d’une fonction et leur graphique ★★★

1. F(x) = 12 − 12e^−x/4, donc F ′(x) = −12 × (−14)e^−x/4 = 3e^−x/4. D’autre part, −0,25F(x) + 3 = −3 + 3e^−x/4 + 3 = 3e^−x/4. Les deux expressions sont égales.
2. F ′(x) = 3e^−x/4 > 0 pour tout x : F est strictement croissante.
3. La droite y = 12 est asymptote horizontale à la courbe en +∞, car F(x) tend vers 12.