Comment mesurer l’aire d’un terrain dont un bord est une courbe ? Comment retrouver la distance parcourue quand on connaît seulement la vitesse à chaque instant ? Comment calculer la quantité d’eau qui s’écoule d’un robinet au débit variable ? Toutes ces questions se résolvent avec un même outil : l’intégrale. Dans ce chapitre, tu vas d’abord la voir comme une aire, puis découvrir le lien spectaculaire avec les primitives qui rend le calcul facile. Tu apprendras ensuite ses propriétés, la valeur moyenne d’une fonction, le calcul d’aires entre deux courbes, l’intégration par parties et enfin comment approcher une intégrale par un programme Python.
1. L’intégrale d’une fonction continue positive
Dans un repère orthogonal (O ; I, J), on appelle unité d’aire (u.a.) l’aire du rectangle OIKJ construit sur les points unités des deux axes. Si l’unité de l’axe des abscisses vaut 2 cm et celle de l’axe des ordonnées 3 cm, une unité d’aire vaut 2 × 3 = 6 cm².
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] (avec a ≤ b), de courbe représentative 𝒞f. L’intégrale de f entre a et b, notée ∫ab f(x) dx, est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par 𝒞f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
Le symbole ∫ est un « S » allongé (comme « somme »). On lit « intégrale de a à b de f(x) dx ». a et b sont les bornes. La lettre x est une variable muette : ∫ab f(x) dx = ∫ab f(t) dt, le résultat ne dépend que de f, de a et de b.
a) ∫15 (0,5x + 1) dx est l’aire d’un trapèze de bases 1,5 et 3,5 et de hauteur 4 : (1,5 + 3,5) × 4 ÷ 2 = 10 u.a.
b) La courbe de x ↦ √(4 − x²) est le demi-cercle de centre O et de rayon 2 situé au-dessus de l’axe : ∫−22 √(4 − x²) dx = π × 2² ÷ 2 = 2π u.a.
L’intégrale est une aire seulement si la fonction est positive sur [a ; b]. Nous verrons au paragraphe 3 ce qui se passe quand la courbe passe sous l’axe. Par ailleurs, une intégrale est un nombre en unités d’aire : pense à convertir en cm² ou en m² si on te demande une aire « réelle ».
2. Intégrale et primitive : le théorème fondamental
Calculer une aire en comptant des carreaux ne marche que pour des figures simples. Le théorème suivant donne une méthode générale : il relie l’intégrale à la primitive (rappel : F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F ′ = f).
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par F(x) = ∫ax f(t) dt est dérivable sur [a ; b] et F ′(x) = f(x) : c’est la primitive de f qui s’annule en a.
Démonstration (dans le cas où f est croissante). Soit x dans [a ; b[ et h > 0 tel que x + h ≤ b. La différence F(x + h) − F(x) est l’aire de la bande comprise entre les abscisses x et x + h. Comme f est croissante, cette bande contient le rectangle de largeur h et de hauteur f(x), et elle est contenue dans le rectangle de largeur h et de hauteur f(x + h). Donc h × f(x) ≤ F(x + h) − F(x) ≤ h × f(x + h), puis, en divisant par h > 0 :
f(x) ≤ F(x+h) − F(x)h ≤ f(x + h).
La fonction f étant continue en x, f(x + h) tend vers f(x) quand h tend vers 0. D’après le théorème des gendarmes, le taux d’accroissement de F en x tend vers f(x) : F est dérivable en x et F ′(x) = f(x). Le cas h < 0 se traite de la même façon. ∎
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (théorème admis dans le cas général).
- Si f est continue sur [a ; b] et si F est une primitive quelconque de f, alors ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), que l’on note [ F(x) ]ab.
Pourquoi ? La fonction G : x ↦ ∫ax f(t) dt est une primitive de f, donc F = G + k avec k constante. Alors F(b) − F(a) = G(b) − G(a) = ∫ab f(x) dx − 0.
Voici les primitives à connaître (sur un intervalle où chaque fonction est définie et continue). Ce sont celles de 1ère, complétées par les formules du cours de dérivation de Terminale.
| Fonction f | Une primitive F | Condition |
|---|---|---|
| xn | [[xn+1/n+1]] | n entier, n ≠ −1 |
| 1x | ln(x) | x > 0 |
| 1x² | − 1x | x ≠ 0 |
| 1√x | 2√x | x > 0 |
| ex | ex | sur ℝ |
| cos(x) | sin(x) | sur ℝ |
| sin(x) | − cos(x) | sur ℝ |
| u ′ un | [[un+1/n+1]] | n ≠ −1 |
| u ′u | ln(u) | u > 0 |
| u ′ eu | eu | |
| u ′√u | 2√u | u > 0 |
- Repérer la forme de f et choisir une primitive F (vérifie en dérivant si tu as un doute).
- Écrire ∫ab f(x) dx = [ F(x) ]ab.
- Calculer F(b) − F(a) en mettant des parenthèses autour de F(a).
Calcul de ∫03 (2x + 1) dx. Une primitive de x ↦ 2x + 1 est F(x) = x² + x. Donc ∫03 (2x + 1) dx = [ x² + x ]03 = (9 + 3) − (0 + 0) = 12. On retrouve l’aire du trapèze de bases 1 et 7 et de hauteur 3 : (1 + 7) × 3 ÷ 2 = 12.
Calcul de ∫01 2x·ex² dx. On reconnaît u ′ eu avec u(x) = x², donc F(x) = ex² et l’intégrale vaut e1 − e0 = e − 1 ≈ 1,72.
- Oublier de soustraire F(a), ou se tromper de signe quand F(a) est négatif : écris toujours F(b) − (F(a)).
- Intégrer un produit « terme à terme » : ∫ab x·ex dx n’est pas le produit des intégrales de x et de ex (voir le paragraphe 7).
- Ajouter une constante k : inutile, elle disparaît dans F(b) − F(a).
3. Intégrale d’une fonction de signe quelconque
Soit f continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I (pas forcément rangés dans l’ordre) et F une primitive de f sur I. On pose ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie.
- ∫aa f(x) dx = 0.
- ∫ba f(x) dx = − ∫ab f(x) dx (échanger les bornes change le signe).
Que représente alors l’intégrale quand f prend des valeurs négatives ? Regarde la parabole de f(x) = x² − 4 : entre −2 et 2 elle est sous l’axe des abscisses.
- Si f est négative sur [a ; b] (a ≤ b), alors ∫ab f(x) dx ≤ 0 et l’aire du domaine entre 𝒞f et l’axe vaut − ∫ab f(x) dx (c’est l’aire sous la courbe de − f).
- Si f change de signe, l’intégrale est une aire « algébrique » : les parties au-dessus de l’axe comptent +, celles en dessous comptent −. L’aire géométrique totale s’obtient en découpant aux points où f change de signe.
Pour f(x) = x² − 4, une primitive est F(x) = x³3 − 4x.
• ∫−22 (x² − 4) dx = F(2) − F(−2) = (83 − 8) − (−83 + 8) = −323. L’aire entre la courbe et l’axe est donc 323 u.a. (la fonction est négative sur [−2 ; 2]).
• ∫03 (x² − 4) dx = F(3) − F(0) = (9 − 12) − 0 = −3. Ce nombre mélange une partie négative (de 0 à 2) et une partie positive (de 2 à 3) : ce n’est pas l’aire géométrique.
4. Propriétés de l’intégrale
Dans toute cette partie, f et g sont continues sur un intervalle I, et a, b, c sont dans I.
Pour tous réels λ et μ : ∫ab (λ f(x) + μ g(x)) dx = λ ∫ab f(x) dx + μ ∫ab g(x) dx.
Pourquoi ? Si F et G sont des primitives de f et g, alors λF + μG est une primitive de λf + μg ; on évalue en b puis en a et on soustrait.
∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx.
Pourquoi ? F(b) − F(a) = (F(c) − F(a)) + (F(b) − F(c)). Cette relation est vraie quel que soit l’ordre de a, b et c ; elle sert à découper une intégrale, par exemple là où une fonction change de signe.
- Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ab f(x) dx ≥ 0.
- Croissance : si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx.
- Encadrement : si m ≤ f ≤ M sur [a ; b], alors m(b − a) ≤ ∫ab f(x) dx ≤ M(b − a).
Pourquoi ? La croissance découle de la positivité appliquée à g − f ≥ 0 et de la linéarité. L’encadrement s’obtient en intégrant les constantes m et M (∫ab m dx = m(b − a)).
Ces inégalités exigent a ≤ b. Et la réciproque de la positivité est fausse : une intégrale positive n’implique pas que la fonction soit positive partout (∫−12 x dx = 1,5 > 0 alors que x ↦ x est négative sur [−1 ; 0[).
Pour x ∈ [0 ; 1], 0 ≤ x² ≤ 1, donc −1 ≤ −x² ≤ 0 et, la fonction exponentielle étant croissante, e−1 ≤ e−x² ≤ 1. En intégrant sur [0 ; 1] (longueur 1) : e−1 ≤ ∫01 e−x² dx ≤ 1, alors qu’on ne sait pas écrire de primitive de e−x² avec les fonctions usuelles.
5. Valeur moyenne d’une fonction
Soit f continue sur [a ; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre μ = 1b − a ∫ab f(x) dx.
Interprétation graphique. Le rectangle de base [a ; b] et de hauteur μ a la même aire que le domaine sous la courbe (si f est positive) : μ × (b − a) = ∫ab f(x) dx. C’est la hauteur à laquelle on « aplatit » la courbe sans changer l’aire.
De plus, f est continue donc, d’après l’encadrement du paragraphe 4, μ est compris entre le minimum et le maximum de f sur [a ; b] ; par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel c de [a ; b] tel que f(c) = μ.
La température (en °C) d’une serre pendant les 6 premières heures de la journée est modélisée par T(t) = −0,5t² + 4t + 10, pour t ∈ [0 ; 6]. Une primitive de T est F(t) = −t³6 + 2t² + 10t. Donc ∫06 T(t) dt = F(6) − F(0) = (−36 + 72 + 60) − 0 = 96, et la température moyenne vaut 966 = 16 °C.
Pour une fonction affine, la valeur moyenne sur [a ; b] est la valeur prise au milieu de l’intervalle. Pour une fonction constante, c’est cette constante. Pour une fonction non affine, ce n’est pas la moyenne de f(a) et f(b).
6. Aires entre deux courbes
Si f et g sont continues sur [a ; b] et si f ≥ g sur [a ; b], l’aire du domaine compris entre 𝒞f (au-dessus), 𝒞g (en dessous) et les droites x = a et x = b est ∫ab (f(x) − g(x)) dx u.a.
- Trouver les abscisses d’intersection (on résout f(x) = g(x)) si les bornes ne sont pas données.
- Étudier le signe de f(x) − g(x) : quelle courbe est au-dessus ? Découper l’intervalle si cela change.
- Calculer l’intégrale de (au-dessus) − (en dessous), puis convertir l’unité d’aire.
Soit f(x) = −x² + 4 et g(x) = x + 2. f(x) = g(x) ⇔ x² + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 ou x = 1. Sur [−2 ; 1], f(x) − g(x) = −(x + 2)(x − 1) ≥ 0 : la parabole est au-dessus de la droite. Alors 𝒜 = ∫−21 (−x² − x + 2) dx = [ −x³3 − x²2 + 2x ]−21 = 76 − (−103) = 92 u.a.
Écris toujours « courbe du haut − courbe du bas ». Si tu inverses, tu obtiens l’opposé, c’est-à-dire un nombre négatif : un signal d’alerte, une aire n’est jamais négative !
7. Intégration par parties
Comment calculer ∫01 x·ex dx ? Aucune formule du tableau ne convient, car on a un produit. On utilise la formule de dérivation d’un produit, à l’envers.
Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] dont les dérivées u ′ et v ′ sont continues. Alors
∫ab u′(x)·v(x) dx = [ u(x)·v(x) ]ab − ∫ab u(x)·v′(x) dx.
Démonstration. Le produit uv est dérivable et (uv) ′ = u ′v + uv ′, fonction continue. Donc uv est une primitive de u ′v + uv ′ et ∫ab (u′v + uv′) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a). On conclut par linéarité. ∎
- Repérer dans l’intégrale un produit de deux facteurs. Celui que l’on sait primitiver sera u ′ ; l’autre sera v.
- Écrire u, u ′, v, v ′ dans un petit tableau.
- Appliquer la formule, puis calculer le crochet et la nouvelle intégrale, plus simple que la première.
Conseil : on choisit pour v la fonction qui se simplifie en dérivant (un polynôme, ln(x)), et pour u ′ celle que l’on sait intégrer (ex, cos, sin).
On pose v(x) = x, v ′(x) = 1 ; u ′(x) = ex, u(x) = ex. Alors
∫01 x·ex dx = [ x·ex ]01 − ∫01 ex dx = (e − 0) − (e − 1) = 1.
Pour ∫1e ln(x) dx, on écrit ln(x) = 1 × ln(x) avec u ′(x) = 1, u(x) = x ; v(x) = ln(x), v ′(x) = 1x. D’où ∫1e ln(x) dx = [ x·ln(x) ]1e − ∫1e 1 dx = (e − 0) − (e − 1) = 1.
- Mal choisir : dans ∫01 x·ex dx, poser v = ex et u ′ = x donnerait une intégrale plus compliquée (avec x²).
- Oublier le crochet ou son signe « − » devant la nouvelle intégrale.
- Parfois, il faut intégrer par parties deux fois (par exemple pour ∫01 x²·ex dx).
8. Approcher une intégrale : la méthode des rectangles
Souvent on ne connaît pas de primitive, ou on ne veut qu’une valeur approchée. L’idée : découper [a ; b] en n intervalles de même longueur h = b − an et remplacer l’aire sous la courbe par la somme des aires de n rectangles de largeur h.
Pour une fonction continue, positive et croissante sur [a ; b], les rectangles « sous la courbe » donnent un minorant et les rectangles « au-dessus » un majorant. Les abscisses sont xk = a + kh :
h × [f(x0) + f(x1) + … + f(xn−1)] ≤ ∫ab f(x) dx ≤ h × [f(x1) + f(x2) + … + f(xn)].
La différence entre les deux sommes vaut h(f(b) − f(a)) = (b − a)(f(b) − f(a))n : elle tend vers 0 quand n augmente. Pour une fonction décroissante, les rôles des deux sommes sont échangés.
Un algorithme en Python. Ce programme renvoie les deux sommes pour une fonction f donnée :
def rectangles(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
somme_gauche = 0
somme_droite = 0
for k in range(n):
somme_gauche = somme_gauche + f(a + k * h)
somme_droite = somme_droite + f(a + (k + 1) * h)
return h * somme_gauche, h * somme_droite
def carre(x):
return x * x
print(rectangles(carre, 0, 1, 100))
Pour f(x) = x² sur [0 ; 1], dont la vraie valeur est 13 ≈ 0,3333, on obtient :
| Nombre de rectangles n | Somme « sous la courbe » | Somme « au-dessus » | Écart |
|---|---|---|---|
| 4 | 0,21875 | 0,46875 | 0,25000 |
| 10 | 0,285 | 0,385 | 0,100 |
| 100 | 0,32835 | 0,33835 | 0,01000 |
| 1 000 | 0,332834 | 0,333834 | 0,001000 |
« Pour gagner un chiffre exact après la virgule, il faut en général multiplier n par 10. La méthode des rectangles est simple mais lente : il existe des méthodes plus efficaces, comme celle des trapèzes, que tu pourras explorer plus tard ! »
9. Bilan : choisir la bonne stratégie
| Tu veux… | Tu utilises… |
|---|---|
| calculer l’aire d’une figure simple (triangle, trapèze, demi-disque) | la formule de géométrie, puis l’interprétation de l’intégrale comme aire |
| calculer ∫ab f(x) dx quand tu connais une primitive | [ F(x) ]ab = F(b) − F(a) |
| intégrer un produit « polynôme × ex / cos / sin » ou « polynôme × ln » | l’intégration par parties |
| comparer ou encadrer sans calculer | positivité, croissance, encadrement par m(b − a) et M(b − a) |
| une aire entre deux courbes | intégrale de (haut) − (bas) après étude du signe |
| une valeur approchée | méthode des rectangles (algorithme) |
À retenir
- Pour f continue et positive, ∫ab f(x) dx est l’aire (en u.a.) sous la courbe entre x = a et x = b.
- Théorème fondamental : x ↦ ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a. Donc ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) pour toute primitive F de f.
- ∫aa f(x) dx = 0 et ∫ba f(x) dx = − ∫ab f(x) dx.
- Linéarité et relation de Chasles : on peut séparer sommes, multiples et découper l’intervalle.
- Si a ≤ b : f ≥ 0 ⇒ intégrale ≥ 0 ; f ≤ g ⇒ ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx ; m ≤ f ≤ M ⇒ m(b − a) ≤ intégrale ≤ M(b − a).
- Valeur moyenne de f sur [a ; b] : μ = 1b − a ∫ab f(x) dx.
- Aire entre deux courbes (f ≥ g) : ∫ab (f(x) − g(x)) dx. Si f ≤ 0, l’aire est − ∫ab f(x) dx.
- Intégration par parties : ∫ab u′(x)v(x) dx = [ u(x)v(x) ]ab − ∫ab u(x)v′(x) dx.
- Méthode des rectangles : encadrement par deux sommes de n rectangles ; l’écart est (b − a)(f(b) − f(a))n pour f monotone.