Calcul intégral : exercices de maths Terminale

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Exercices de maths Terminale : exercices de maths Terminale

22 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !

Sommaire

1 Intégrales et aires connues ★★★

Sans chercher de primitive, calcule chaque intégrale en la reconnaissant comme l’aire d’une figure simple (fais un schéma).

∫₀⁶ (x ÷ 3) dx
∫₁⁴ (5 − x) dx
∫₀³ 2 dx
∫₋₂² √(4 − x²) dx

2 Calcul avec une primitive ★★★

Calcule les intégrales suivantes en donnant d’abord une primitive.

∫₀² (3x² + 2x) dx
∫₁³ (4x − 1) dx
∫₁⁴ 1√x dx
∫₀¹ e^2x dx

3 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

Si f est continue et positive sur [a ; b] avec a ≤ b, alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
∫₋₁¹ x³ dx = 0.
∫₀² x² dx = (∫₀² x dx)².
Si ∫_a^b f(x) dx = 0, alors f est la fonction nulle sur [a ; b].
∫₃¹ x dx est un nombre négatif.

4 Linéarité ★★★

On sait que ∫₀¹ f(x) dx = 3 et ∫₀¹ g(x) dx = −2. Calcule :

∫₀¹ (2f(x) − 3g(x)) dx
∫₀¹ (f(x) + 4) dx
∫₁⁰ f(x) dx
∫₀¹ (g(x) − f(x)) dx

5 Relation de Chasles ★★★

Une fonction f est continue sur [0 ; 7]. On donne ∫₀² f(x) dx = 5, ∫₂⁷ f(x) dx = −1 et ∫₀⁵ f(x) dx = 3.

Calcule ∫₀⁷ f(x) dx et ∫₇² f(x) dx.
Calcule ∫₂⁵ f(x) dx.
Calcule ∫₅⁷ f(x) dx.

6 Lecture graphique ★★★

Voici la courbe d’une fonction f affine par morceaux sur [0 ; 6] (une unité d’aire correspond à un carreau).

Lis les valeurs f(0), f(2), f(5), f(6).
Décompose le domaine sous la courbe et calcule ∫₀⁶ f(x) dx.
En déduis la valeur moyenne de f sur [0 ; 6].

7 Valeurs moyennes simples ★★★

Calcule la valeur moyenne de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

f(x) = 2x + 1 sur [0 ; 4].
g(x) = 3 sur [1 ; 6].
h(x) = x sur [−2 ; 4].
Vérifie que, pour les fonctions affines f et h, la valeur moyenne est la valeur au milieu de l’intervalle.

8 Signe et aire ★★★

Soit f(x) = x² − x − 2.

Factorise f(x) et étudie son signe sur ℝ.
Calcule ∫₋₁² f(x) dx. Que représente l’opposé de ce nombre ?
Calcule ∫₋₂³ f(x) dx, puis l’aire géométrique du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = −2 et x = 3.

9 Primitives de forme u′·g(u) ★★★

Calcule la valeur exacte de chaque intégrale.

∫₀¹ (e^x + x) dx
∫₁² 1x² dx
∫₀¹ 2xx² + 1 dx
∫₀¹ x·e^x² dx

10 Fonctions composées ★★★

Calcule la valeur exacte de :

∫₀¹ x(x² + 1)³ dx
∫₀² xx² + 1 dx
∫₀¹ 12x + 1 dx

11 Intégrales trigonométriques ★★★

Calcule la valeur exacte de :

∫₀^π/2 (2cos x − sin x) dx
∫₀^π sin(2x) dx
∫₀^π/6 cos(2x) dx
Quelle est l’aire (en u.a.) sous la courbe du sinus sur [0 ; π] ?

12 Encadrer sans calculer ★★★

On pose J = ∫₀¹ e^−x² dx (on ne sait pas calculer une primitive de e^−x²).

Montre que, pour tout x ∈ [0 ; 1], e⁻¹ ≤ e^−x² ≤ 1. En déduis un encadrement de J.
On admet que, pour tout réel t, e^t ≥ 1 + t. Montre que e^−x² ≥ 1 − x², puis que J ≥ 23.
Donne finalement le meilleur encadrement obtenu, puis une valeur approchée de J à la calculatrice.

13 Distance et vitesse moyenne ★★★

Un cycliste accélère sur une ligne droite. Sa vitesse (en m/s) à l’instant t (en s) est v(t) = 0,3t² + 2 pour t ∈ [0 ; 10]. La distance parcourue entre deux instants est l’intégrale de la vitesse.

Calcule la distance parcourue pendant ces 10 secondes.
Quelle est la vitesse moyenne sur cet intervalle, en m/s puis en km/h ?
Pour la fonction carré f(x) = x² sur [0 ; 3], calcule la valeur moyenne μ et trouve le réel c de [0 ; 3] tel que f(c) = μ.

14 Aire entre une parabole et une droite ★★★

On considère f(x) = x² et g(x) = 2x + 3.

Résous f(x) = g(x).
Quelle courbe est au-dessus de l’autre entre ces deux abscisses ?
Calcule l’aire du domaine délimité par les deux courbes. Une unité vaut 1 cm sur chaque axe : donne l’aire en cm².

15 Intégrations par parties (1) ★★★

Calcule, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur exacte de :

∫₀¹ (x + 1)e^−x dx
∫₀^π x·sin x dx
∫₀^π/2 x·cos x dx

16 Intégrations par parties (2) avec le logarithme ★★★

Calcule la valeur exacte de :

∫₁^e x·ln x dx
∫₁^e x²·ln x dx
∫₁² ln x dx

17 Deux intégrations par parties ★★★

On veut calculer K = ∫₀¹ x²·e^x dx.

Montre à l’aide d’une intégration par parties que K = e − 2 ∫₀¹ x·e^x dx.
Calcule ∫₀¹ x·e^x dx par une seconde intégration par parties, puis déduis la valeur exacte de K.

18 Une suite d’intégrales ★★★

Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^x dx.

Calcule I₀.
À l’aide d’une intégration par parties, montre que pour tout entier n, I_n+1 = e − (n + 1)I_n.
En déduis I₁, I₂ et I₃.
Montre que 0 ≤ I_n ≤ en + 1 pour tout n, puis détermine la limite de la suite (I_n).

19 Fonction définie par une intégrale ★★★

On définit sur [0 ; +∞[ la fonction F par F(x) = ∫₀^x e^−t² dt.

Justifie que F est dérivable et donne F ′(x). En déduis le sens de variation de F et la valeur de F(0).
Montre que, pour tout x ≥ 0, F(x) ≤ x. En déduis F(1) ≤ 1.
Montre que pour tout t ≥ 1, e^−t² ≤ e^−t. En déduis que, pour tout x ≥ 1, F(x) ≤ 1 + e⁻¹.
Que peut-on dire de F quand x tend vers +∞ ?

20 Aire entre les courbes de exp(x) et exp(−x) ★★★

Soit f(x) = e^x et g(x) = e^−x. On note 𝒟 le domaine du plan compris entre 𝒞_f, 𝒞_g et la droite d’équation x = 1, du côté des abscisses positives.

Montre que les deux courbes ont un seul point commun, d’abscisse 0.
Étudie le signe de f(x) − g(x) pour x ≥ 0.
Calcule l’aire de 𝒟 en u.a. (valeur exacte puis arrondi au centième).

21 Remplissage d’une cuve ★★★

Une cuve se remplit avec un débit (en litres par minute) qui varie : q(t) = t·e^−t/2, pour t ∈ [0 ; 4] (en minutes). Le volume versé entre 0 et T est ∫₀^T q(t) dt.

Montre que la fonction Q : t ↦ −(2t + 4)e^−t/2 est une primitive de q.
Calcule le volume, en litres, versé pendant les 4 minutes (valeur exacte, puis arrondie au centilitre).
Quel est le débit moyen sur [0 ; 4] ? Compare avec le débit maximal sur cet intervalle, atteint pour t = 2.

22 Méthode des rectangles et programme ★★★

On veut approcher ∫₀¹ √x dx (dont la valeur exacte est 23 ≈ 0,6667) par la méthode des rectangles.

Justifie que f : x ↦ √x est croissante et positive sur [0 ; 1].
Avec n = 5 rectangles de largeur 0,2, écris les deux sommes qui encadrent l’intégrale, puis calcule-les à 10⁻³ près à la calculatrice.

Voici un programme. Que renvoie-t-il, et que représentent ses deux résultats ?

from math import sqrt

def encadre(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    bas = 0
    haut = 0
    for k in range(n):
        bas = bas + f(a + k * h)
        haut = haut + f(a + (k + 1) * h)
    return h * bas, h * haut

print(encadre(sqrt, 0, 1, 5))
print(encadre(sqrt, 0, 1, 100))