Calcul intégral : contrôle de maths Terminale

1 Calculs d’intégrales / 4 pts

Calcule la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes.

1. ∫₁³ (2x − 1x²) dx
2. ∫₀¹ 3x·e^x² dx
3. ∫₀^π/2 (3 sin x − cos x) dx

2 Propriétés de l’intégrale / 3 pts

Une fonction f est continue sur [0 ; 5]. On sait que ∫₀² f(x) dx = 4 et ∫₂⁵ f(x) dx = −1.

1. Calcule ∫₀⁵ f(x) dx.
2. Calcule ∫₀⁵ (3f(x) − 2) dx.
3. Détermine la valeur moyenne de f sur [0 ; 5].
4. Calcule ∫₅² f(x) dx et ∫₀² (f(x) + x) dx.

3 Intégration par parties / 4 pts

Calcule la valeur exacte de chaque intégrale à l’aide d’une intégration par parties.

1. ∫₀¹ (2x + 1)e^x dx
2. ∫₁^e ln xx² dx

4 Aire et valeur moyenne / 5 pts

Dans un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère les fonctions f(x) = −x² + 4x et g(x) = 2x, définies sur ℝ.

1. Détermine les abscisses des points d’intersection de 𝒞_f et 𝒞_g.
2. Étudie la position relative des deux courbes sur [0 ; 2].
3. Calcule l’aire du domaine délimité par les deux courbes, en cm².
4. Calcule la valeur moyenne de f sur [0 ; 4].

5 Méthode des rectangles / 4 pts

On souhaite encadrer L = ∫₁² 1x dx en découpant [1 ; 2] en 5 intervalles de même longueur.

1. Quelle est la longueur h de chaque intervalle ? Justifie que x ↦ 1x est décroissante sur [1 ; 2].
2. Écris la somme des aires des rectangles « sous la courbe » et celle des rectangles « au-dessus » (explique ton choix des hauteurs), puis calcule-les à 10⁻³ près.
3. Donne la valeur exacte de L et vérifie qu’elle appartient à l’encadrement.
4. Quel est l’écart entre les deux sommes pour n rectangles ? Combien de rectangles faut-il pour que cet écart soit inférieur à 0,001 ?