Aller au contenu
Accueil › Exercices de maths › Produit scalaire et plans de l’espace : exercices de maths Terminale

Produit scalaire et plans de l’espace : exercices de maths Terminale

  • par
Rate this post
Exercices de maths Terminale : exercices de maths Terminale

22 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !

1 Produits scalaires en coordonnées ★★★

Dans un repère orthonormé, on donne u(2 ; −1 ; 3), v(4 ; 5 ; −1) et w(1 ; −2 ; 2).

  1. Calcule u·v. Que peux-tu dire de u et v ?
  2. Calcule ‖u‖ et ‖w‖.
  3. Calcule u·w puis une valeur approchée de l’angle entre u et w, au dixième de degré près.

2 Produits scalaires dans un cube ★★★

ABCDEFGH est un cube d’arête 4 cm. Calcule, en justifiant par une projection orthogonale :

  1. AB·AG ;
  2. AC·AG ;
  3. AF·AH, puis la mesure de l’angle FAH.

ABCDEFGH

3 Orthogonaux ou non ? ★★★

Dans un repère orthonormé, dis si les vecteurs sont orthogonaux :

  1. (3 ; −1 ; 2) et (1 ; 1 ; −1) ;
  2. (2 ; 0 ; −1) et (1 ; 5 ; 2) ;
  3. (1 ; 1 ; 1) et (1 ; −2 ; 2).

d. Détermine le réel t pour que (t ; 2 ; −1) soit orthogonal à (3 ; 4 ; 2).

4 Lire un vecteur normal, tester un point ★★★

a. Donne un vecteur normal à chacun des plans : P1 : 3x − y + 2z − 5 = 0 ; P2 : x + 4z = 7 ; P3 : y = 2.

b. Parmi A(1 ; 1 ; −1), B(2 ; 1 ; 0) et C(0 ; −3 ; 1), lesquels appartiennent à P1 ?

5 Équation à partir d’un point et d’un normal ★★★

Détermine une équation cartésienne du plan :

  1. passant par A(2 ; −1 ; 3) et de vecteur normal n(1 ; 4 ; −2) ;
  2. passant par B(−1 ; 2 ; 0) et de vecteur normal n(3 ; 0 ; −1) ;
  3. passant par l’origine O et de vecteur normal (0 ; 0 ; 1).

6 Distance d’un point à un plan ★★★

Calcule la distance du point au plan :

  1. A(1 ; 2 ; −3) et P : 2x − 2y + z + 7 = 0 ;
  2. O(0 ; 0 ; 0) et Q : 3x + 4y + 12z − 26 = 0 ;
  3. C(1 ; 1 ; 1) et R : x + y + z − 3 = 0.

7 Parallèles, perpendiculaires, sécants ★★★

Étudie la position relative de P et Q :

  1. P : 2x − 4y + 6z + 1 = 0 et Q : x − 2y + 3z − 5 = 0 ;
  2. P : 2x + y − z = 0 et Q : x − y + z + 3 = 0 ;
  3. P : x + y + z − 1 = 0 et Q : 2x − y + z + 4 = 0.

8 La diagonale (EC) et le plan (BDG) ★★★

ABCDEFGH est un cube d’arête 1, dans le repère orthonormé (A ; AB, AD, AE).

  1. Montre que la droite (EC) est orthogonale au plan (BDG).
  2. Déduis-en une équation cartésienne du plan (BDG).
  3. Détermine les coordonnées du point K, intersection de (EC) et de (BDG).
  4. Calcule la distance du point E au plan (BDG) de deux façons.

9 Plan par trois points ★★★

On donne A(1 ; 2 ; 0), B(3 ; 1 ; 1) et C(0 ; 0 ; 2).

  1. Montre que A, B, C ne sont pas alignés.
  2. Détermine un vecteur normal puis une équation du plan (ABC).
  3. Les points D(5 ; 1 ; 1) et E(1 ; 1 ; 2) appartiennent-ils à ce plan ?

10 Intersection de deux plans ★★★

P : 2x − y + z − 3 = 0 et Q : x + y − 2z + 6 = 0.

  1. Montre que P et Q sont sécants.
  2. Donne une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.
  3. P et Q sont-ils perpendiculaires ?

11 Droite et plan ★★★

On considère la droite d passant par A(2 ; 0 ; −1) de vecteur directeur u(1 ; −2 ; 2) et le plan P : 2x + y + z − 7 = 0.

  1. d est-elle parallèle à P ?
  2. Détermine leur point d’intersection.
  3. La droite d′ passant par O et de vecteur directeur (1 ; −1 ; −1) est-elle parallèle à P ? Est-elle incluse dans P ?

12 Projeté orthogonal sur un plan ★★★

Soit A(3 ; −1 ; 2) et P : x − 2y + 2z − 4 = 0.

  1. Donne une représentation paramétrique de la droite d passant par A et orthogonale à P.
  2. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur P.
  3. Calcule la distance de A à P.

13 Distance entre deux plans parallèles ★★★

P : 2x − y + 2z − 1 = 0 et Q : 2x − y + 2z + 8 = 0.

  1. Montre que P et Q sont strictement parallèles.
  2. Trouve un point de P, puis calcule la distance entre P et Q.

14 Plan médiateur ★★★

A(1 ; −2 ; 3) et B(5 ; 0 ; −1).

  1. Détermine une équation du plan médiateur de [AB].
  2. Vérifie que M(0 ; 1 ; −1) est équidistant de A et B.

15 Plan tangent à une sphère ★★★

La sphère S a pour centre Ω(1 ; 2 ; −1) et pour rayon 2. Le plan P a pour équation 2x + 3y + 6z + 12 = 0.

  1. Montre que P est tangent à S.
  2. Détermine le point de contact H.

16 Tétraèdre trirectangle ★★★

Dans un repère orthonormé, O(0 ; 0 ; 0), A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0), C(0 ; 0 ; 2).

OABC

  1. Détermine une équation du plan (ABC).
  2. Calcule la distance de O au plan (ABC).
  3. Calcule le volume du tétraèdre OABC avec la base OAB, puis déduis-en l’aire du triangle ABC.
  4. Vérifie l’aire de ABC avec les vecteurs AB et AC.

17 Volume du tétraèdre BDEG ★★★

ABCDEFGH est un cube d’arête 1 dans le repère (A ; AB, AD, AE).

  1. Montre que x + y + z − 1 = 0 est une équation de (BDE).
  2. Calcule la distance de G à (BDE).
  3. Calcule l’aire du triangle BDE (de côtés égaux).
  4. Déduis-en le volume du tétraèdre BDEG, puis retrouve-le en retranchant au cube quatre « coins » de même type.

18 Famille de plans à paramètre ★★★

Pour tout réel m, on note Pm le plan d’équation mx + (m + 1)y + (2m − 1)z − 2 = 0, et Q le plan 3x − y + 2z = 0.

  1. Pour quelle valeur de m les plans Pm et Q sont-ils perpendiculaires ? Donne alors une équation de Pm.
  2. Existe-t-il une valeur de m pour laquelle Pm est parallèle à Q ?
  3. Montre que Pm n’est jamais confondu avec Q.

19 Intersection de trois plans ★★★

Étudie l’intersection des trois plans P : x + y + z = 6, Q : 2x − y + z = 3 et R : x + 2y − z = 2. Vérifie que leurs vecteurs normaux sont deux à deux non colinéaires, résous le système puis interprète le résultat.

20 Vrai ou faux ? Justifie ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

  1. Deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
  2. Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles.
  3. Un plan admet un unique vecteur normal.
  4. Les plans 2x − y + z = 1 et −4x + 2y − 2z = −2 sont confondus.

21 Panneau solaire ★★★

Un panneau solaire plan est fixé sur un toit. Dans un repère orthonormé (unité : le mètre, z est l’altitude), il passe par A(0 ; 0 ; 2), B(4 ; 0 ; 3) et C(0 ; 3 ; 4).

  1. Détermine une équation du plan du panneau.
  2. Un drone est en M(1 ; 1 ; 10). À quelle distance du plan se trouve-t-il ? (arrondi au centimètre)
  3. Le drone descend verticalement (x et y constants) jusqu’à toucher le plan. À quelle altitude le touche-t-il ?

22 Hauteur d’une pyramide ★★★

Dans un repère orthonormé, la pyramide SABCD a pour base le carré ABCD avec A(0 ; 0 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(4 ; 4 ; 0), D(0 ; 4 ; 0), et pour sommet S(2 ; 2 ; 3).

ABCDS

  1. Détermine une équation du plan (SBC).
  2. Calcule la distance de A au plan (SBC).
  3. Calcule l’aire de SBC puis le volume du tétraèdre ASBC. Vérifie par un raisonnement de volume de la pyramide.

Voir le corrigé des exercices

← Revoir le coursFaire le QCM →