1 Produit scalaire et orthogonalité / 4 pts
Durée du contrôle : 55 minutes, calculatrice autorisée pour la question c.
Dans un repère orthonormé, on donne u(2 ; 1 ; −2), v(1 ; 2 ; 3) et w(3 ; −2 ; 2).
- Calcule ‖u‖. (1 pt)
- u et w sont-ils orthogonaux ? Justifie. (1 pt)
- Calcule u·v, puis l’angle entre u et v, arrondi au dixième de degré. (1 pt)
- Détermine t pour que (t ; 1 ; −1) soit orthogonal à u. (1 pt)
2 Plan par trois points / 3 pts
On donne A(2 ; 1 ; 0), B(1 ; 3 ; −1), C(4 ; 0 ; 1).
- Détermine une équation cartésienne du plan (ABC). (2 pts)
- D(3 ; 2 ; 0) appartient-il à (ABC) ? (1 pt)
3 Positions relatives / 3 pts
P : 2x + y − z − 4 = 0 et Q : x − y + 2z + 1 = 0.
- Montre que P et Q sont sécants. (1 pt)
- Donne une représentation paramétrique de leur intersection. (1,5 pt)
- Cette droite coupe le plan (z = 0) en quel point ? (0,5 pt)
4 Distance et projeté orthogonal / 4 pts
A(1 ; −2 ; 4) et P : 2x − y + 2z − 3 = 0.
- Calcule la distance de A à P. (1,5 pt)
- Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur P. (2 pts)
- En déduis le symétrique de A par rapport à P. (0,5 pt)
5 Tétraèdre et volume / 3 pts
O(0 ; 0 ; 0), A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3).
- Montre que 6x + 3y + 2z − 6 = 0 est une équation de (ABC). (1 pt)
- Calcule la distance de O à (ABC). (0,5 pt)
- Calcule le volume de OABC, puis l’aire du triangle ABC. (1,5 pt)
6 Sphère et plan tangent / 3 pts
La sphère S a pour centre Ω(2 ; −1 ; 3) et pour rayon 4. P : x − 2y + 2z + 2 = 0.
- Montre que P est tangent à S. (1,5 pt)
- Détermine les coordonnées du point de contact. (1,5 pt)
