Les statistiques servent à résumer et à comparer des données : temps de trajet, notes, tailles, prix… Dans ce chapitre, tu apprends à calculer des indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, écart interquartile), à regrouper des données en classes, à lire ou construire des graphiques (barres, histogramme, boîte à moustaches) et à comparer deux séries en justifiant ta conclusion.
1. Rappels : vocabulaire, effectifs, fréquences
Vocabulaire
La population est l’ensemble des individus étudiés ; le caractère est ce que l’on observe chez chacun. Il est qualitatif s’il ne se mesure pas (un sport, une couleur) et quantitatif s’il se mesure ou se compte (une taille, un nombre de frères et sœurs). L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui la présentent ; l’effectif total est le nombre d’individus de la population.
La population est l’ensemble des individus étudiés ; le caractère est ce que l’on observe chez chacun. Il est qualitatif s’il ne se mesure pas (un sport, une couleur) et quantitatif s’il se mesure ou se compte (une taille, un nombre de frères et sœurs). L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui la présentent ; l’effectif total est le nombre d’individus de la population.
Fréquence
La fréquence d’une valeur est le quotient (effectif de la valeur) ÷ (effectif total). Elle s’exprime par une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut 1 (soit 100 %).
La fréquence d’une valeur est le quotient (effectif de la valeur) ÷ (effectif total). Elle s’exprime par une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut 1 (soit 100 %).
Exemple
On interroge 30 élèves sur le sport qu’ils pratiquent. Le caractère « sport » est qualitatif.
On interroge 30 élèves sur le sport qu’ils pratiquent. Le caractère « sport » est qualitatif.
| Sport | Foot | Danse | Natation | Judo | Aucun | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 9 | 6 | 7 | 3 | 5 | 30 |
| Fréquence (%) | 30,0 | 20,0 | 23,3 | 10,0 | 16,7 | 100 |
Pour le foot : 9 ÷ 30 = 0,3 = 30 %. Les fréquences sont arrondies au dixième, leur somme reste 100.
2. La moyenne
Moyenne d’une série
La moyenne d’une série de valeurs est le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs.
La moyenne d’une série de valeurs est le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs.
Exemple
Léa a obtenu 12 ; 15 ; 9 ; 14 et 11 en maths. Somme : 12 + 15 + 9 + 14 + 11 = 61. Moyenne : 61 ÷ 5 = 12,2.
Léa a obtenu 12 ; 15 ; 9 ; 14 et 11 en maths. Somme : 12 + 15 + 9 + 14 + 11 = 61. Moyenne : 61 ÷ 5 = 12,2.
Moyenne pondérée (série avec effectifs)
Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne les produits, puis on divise par l’effectif total.
Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne les produits, puis on divise par l’effectif total.
Exemple
Nombre de frères et sœurs dans une classe de 25 élèves :
Nombre de frères et sœurs dans une classe de 25 élèves :
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 9 | 6 | 3 | 1 | 25 |
Somme : 0×6 + 1×9 + 2×6 + 3×3 + 4×1 = 0 + 9 + 12 + 9 + 4 = 34. Moyenne : 34 ÷ 25 = 1,36 frère ou sœur par élève. Cette moyenne n’est pas un nombre entier : ce n’est pas gênant, c’est un résumé de la série.
Piège
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : un seul très grand ou très petit nombre peut la déplacer beaucoup. C’est pourquoi on la complète par la médiane.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : un seul très grand ou très petit nombre peut la déplacer beaucoup. C’est pourquoi on la complète par la médiane.
3. La médiane
Médiane
La médiane d’une série est une valeur qui partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
La médiane d’une série est une valeur qui partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Calculer une médiane
1) Range les valeurs dans l’ordre croissant. 2) Si l’effectif total N est impair, la médiane est la valeur centrale, de rang (N + 1) ÷ 2. 3) Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
1) Range les valeurs dans l’ordre croissant. 2) Si l’effectif total N est impair, la médiane est la valeur centrale, de rang (N + 1) ÷ 2. 3) Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
Deux exemples (temps de trajet en minutes)
Série de 7 valeurs : 12 ; 5 ; 20 ; 8 ; 15 ; 30 ; 10. Rangée : 5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30. N = 7 est impair, le rang central est 4 : la médiane est 12 min.
On ajoute un 8ème trajet de 25 min : 5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30. N = 8 est pair, on prend les valeurs de rang 4 et 5 : (12 + 15) ÷ 2 = 13,5 min. Ici la médiane n’est pas une valeur de la série.
Série de 7 valeurs : 12 ; 5 ; 20 ; 8 ; 15 ; 30 ; 10. Rangée : 5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30. N = 7 est impair, le rang central est 4 : la médiane est 12 min.
On ajoute un 8ème trajet de 25 min : 5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30. N = 8 est pair, on prend les valeurs de rang 4 et 5 : (12 + 15) ÷ 2 = 13,5 min. Ici la médiane n’est pas une valeur de la série.
Médiane et valeurs extrêmes
Si on remplace 30 min par 90 min dans la première série, la moyenne passe de 14,29 min à 22,86 min mais la médiane reste égale à 12 min : la médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes.
Si on remplace 30 min par 90 min dans la première série, la moyenne passe de 14,29 min à 22,86 min mais la médiane reste égale à 12 min : la médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes.
4. Étendue, quartiles, écart interquartile
Étendue
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : étendue = maximum − minimum. Elle mesure la dispersion totale de la série.
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : étendue = maximum − minimum. Elle mesure la dispersion totale de la série.
Quartiles
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série rangée telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. L’écart interquartile est Q3 − Q1 : il décrit la dispersion de la moitié centrale des données.
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série rangée telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. L’écart interquartile est Q3 − Q1 : il décrit la dispersion de la moitié centrale des données.
Trouver Q1 et Q3
Avec N valeurs rangées dans l’ordre croissant : Q1 est la valeur de rang N ÷ 4 (arrondi au rang entier supérieur si ce n’est pas un entier) ; Q3 est la valeur de rang 3N ÷ 4 (même arrondi).
Avec N valeurs rangées dans l’ordre croissant : Q1 est la valeur de rang N ÷ 4 (arrondi au rang entier supérieur si ce n’est pas un entier) ; Q3 est la valeur de rang 3N ÷ 4 (même arrondi).
Exemple (N = 15)
Temps de trajet de 15 élèves, rangés : 5 ; 8 ; 10 ; 10 ; 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 20 ; 25 ; 25 ; 30 ; 35 ; 45.
Médiane : rang 8, donc 18 min. Q1 : 15 ÷ 4 = 3,75, on prend le rang 4, donc Q1 = 10 min. Q3 : 3 × 15 ÷ 4 = 11,25, on prend le rang 12, donc Q3 = 25 min.
Étendue : 45 − 5 = 40 min. Écart interquartile : 25 − 10 = 15 min.
Contrôle : 4 valeurs sur 15 (≈ 26,7 %) sont ≤ 10, mais seulement 3 sur 15 (20 %) sont ≤ 8 : c’est bien 10 le premier quartile.
Temps de trajet de 15 élèves, rangés : 5 ; 8 ; 10 ; 10 ; 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 20 ; 25 ; 25 ; 30 ; 35 ; 45.
Médiane : rang 8, donc 18 min. Q1 : 15 ÷ 4 = 3,75, on prend le rang 4, donc Q1 = 10 min. Q3 : 3 × 15 ÷ 4 = 11,25, on prend le rang 12, donc Q3 = 25 min.
Étendue : 45 − 5 = 40 min. Écart interquartile : 25 − 10 = 15 min.
Contrôle : 4 valeurs sur 15 (≈ 26,7 %) sont ≤ 10, mais seulement 3 sur 15 (20 %) sont ≤ 8 : c’est bien 10 le premier quartile.
À savoir
Au moins 25 % des valeurs sont ≤ Q1, au moins 50 % sont ≤ la médiane, au moins 75 % sont ≤ Q3. Entre Q1 et Q3 se trouvent environ la moitié des valeurs. Si on remplace le maximum 45 par 145, l’étendue passe à 140 mais l’écart interquartile reste 15 : il ignore les valeurs extrêmes.
Au moins 25 % des valeurs sont ≤ Q1, au moins 50 % sont ≤ la médiane, au moins 75 % sont ≤ Q3. Entre Q1 et Q3 se trouvent environ la moitié des valeurs. Si on remplace le maximum 45 par 145, l’étendue passe à 140 mais l’écart interquartile reste 15 : il ignore les valeurs extrêmes.
5. Regrouper en classes
Classe
Quand les valeurs sont nombreuses ou très variées, on les regroupe par classes, c’est-à-dire des intervalles de même amplitude. La classe [30 ; 60[ contient les valeurs x avec 30 ≤ x < 60 (30 inclus, 60 exclu). On donne alors l’effectif de chaque classe.
Quand les valeurs sont nombreuses ou très variées, on les regroupe par classes, c’est-à-dire des intervalles de même amplitude. La classe [30 ; 60[ contient les valeurs x avec 30 ≤ x < 60 (30 inclus, 60 exclu). On donne alors l’effectif de chaque classe.
Exemple : temps passé sur un téléphone
24 élèves ont noté leur temps d’écran quotidien (en minutes) : 10 ; 25 ; 40 ; 15 ; 55 ; 70 ; 95 ; 20 ; 65 ; 80 ; 35 ; 110 ; 45 ; 60 ; 125 ; 30 ; 50 ; 85 ; 75 ; 100 ; 18 ; 140 ; 58 ; 68. En classes de 30 minutes :
24 élèves ont noté leur temps d’écran quotidien (en minutes) : 10 ; 25 ; 40 ; 15 ; 55 ; 70 ; 95 ; 20 ; 65 ; 80 ; 35 ; 110 ; 45 ; 60 ; 125 ; 30 ; 50 ; 85 ; 75 ; 100 ; 18 ; 140 ; 58 ; 68. En classes de 30 minutes :
| Classe (min) | [0 ; 30[ | [30 ; 60[ | [60 ; 90[ | [90 ; 120[ | [120 ; 150[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 7 | 7 | 3 | 2 | 24 |
Histogramme
Pour des classes de même amplitude, on représente les effectifs par un histogramme : chaque classe est un rectangle, collé aux autres, dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
Les classes [30 ; 60[ et [60 ; 90[ ont le plus grand effectif (7) : ce sont les classes modales.
Moyenne approchée avec des classes
Quand on ne connaît que les classes, on remplace chaque classe par son centre (milieu de l’intervalle), puis on calcule une moyenne pondérée. Le résultat est une valeur approchée.
Ici, centres : 15 ; 45 ; 75 ; 105 ; 135. Moyenne approchée = (15×5 + 45×7 + 75×7 + 105×3 + 135×2) ÷ 24 = 1500 ÷ 24 ≈ 62,5 min. La vraie moyenne des 24 valeurs brutes est 61,4 min : l’approximation est bonne.
Quand on ne connaît que les classes, on remplace chaque classe par son centre (milieu de l’intervalle), puis on calcule une moyenne pondérée. Le résultat est une valeur approchée.
Ici, centres : 15 ; 45 ; 75 ; 105 ; 135. Moyenne approchée = (15×5 + 45×7 + 75×7 + 105×3 + 135×2) ÷ 24 = 1500 ÷ 24 ≈ 62,5 min. La vraie moyenne des 24 valeurs brutes est 61,4 min : l’approximation est bonne.
6. Lire et construire des graphiques
Choisir le bon graphique
Diagramme en barres : comparer des effectifs de modalités. Diagramme circulaire : montrer une répartition (parts d’un tout) ; l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif (360° pour le total). Courbe : suivre une évolution dans le temps. Histogramme : données regroupées en classes.
Diagramme en barres : comparer des effectifs de modalités. Diagramme circulaire : montrer une répartition (parts d’un tout) ; l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif (360° pour le total). Courbe : suivre une évolution dans le temps. Histogramme : données regroupées en classes.
Diagramme circulaire
120 élèves se rendent au collège ainsi : bus 48, à pied 30, vélo 18, voiture 24. L’angle d’un secteur vaut 360° × effectif ÷ 120 = 3° × effectif. Bus : 3 × 48 = 144° ; à pied : 90° ; vélo : 54° ; voiture : 72°. Vérification : 144 + 90 + 54 + 72 = 360.
120 élèves se rendent au collège ainsi : bus 48, à pied 30, vélo 18, voiture 24. L’angle d’un secteur vaut 360° × effectif ÷ 120 = 3° × effectif. Bus : 3 × 48 = 144° ; à pied : 90° ; vélo : 54° ; voiture : 72°. Vérification : 144 + 90 + 54 + 72 = 360.
Le secteur « Bus » mesure 144° : il représente 40 % des élèves (144 ÷ 360).
Piège de lecture
Regarde toujours l’origine de l’axe vertical. Un axe qui ne commence pas à 0 exagère les différences entre les barres.
Regarde toujours l’origine de l’axe vertical. Un axe qui ne commence pas à 0 exagère les différences entre les barres.
7. Le diagramme en boîte
Diagramme en boîte (ou boîte à moustaches)
Il résume une série par cinq nombres : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum. La boîte va de Q1 à Q3, un trait marque la médiane, et deux « moustaches » vont jusqu’au minimum et au maximum. Les graduations sont régulières.
Il résume une série par cinq nombres : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum. La boîte va de Q1 à Q3, un trait marque la médiane, et deux « moustaches » vont jusqu’au minimum et au maximum. Les graduations sont régulières.
Longueur totale = étendue (40) ; longueur de la boîte = écart interquartile (15). Chaque quart de la série occupe une portion du dessin, même si ces portions sont de longueurs différentes.
8. Comparer deux séries
Méthode
1) Compare un indicateur de position : médiane (ou moyenne). 2) Compare un indicateur de dispersion : étendue ou écart interquartile. 3) Rédige une phrase avec les nombres et le contexte.
1) Compare un indicateur de position : médiane (ou moyenne). 2) Compare un indicateur de dispersion : étendue ou écart interquartile. 3) Rédige une phrase avec les nombres et le contexte.
Deux classes de 3ème au même devoir (15 élèves chacune)
| Minimum | Q1 | Médiane | Q3 | Maximum | Moyenne | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3ème A | 6 | 10 | 12 | 15 | 19 | 12,3 |
| 3ème B | 3 | 9 | 13 | 16 | 20 | 12,4 |
Les médianes sont voisines (12 pour A, 13 pour B). La classe A est plus homogène : son écart interquartile est 5 contre 7, et son étendue est 13 contre 17. La classe B est plus dispersée, avec la note la plus basse mais aussi la plus haute.
Mathbot conseille
« Une moyenne seule ne dit pas tout : donne toujours un indicateur de position ET un indicateur de dispersion avant de conclure ! »
« Une moyenne seule ne dit pas tout : donne toujours un indicateur de position ET un indicateur de dispersion avant de conclure ! »
9. Le tableur et l’interprétation
Un tableur calcule vite sur de grandes séries. Si les valeurs sont dans les cellules B2 à B16 :
=SOMME(B2:B16)donne la somme ;=MOYENNE(B2:B16)la moyenne ;=MEDIANE(B2:B16)la médiane ;=MIN(B2:B16)et=MAX(B2:B16)les extrêmes ;=MAX(B2:B16)-MIN(B2:B16)l’étendue ;=B2/B$18*100une fréquence en pourcentage (le total est en B18, le signe $ bloque la ligne quand on recopie vers le bas).
Attention aux quartiles du tableur
Les fonctions de quartile d’un tableur utilisent souvent une méthode d’interpolation : elles peuvent donner un résultat différent de celui de la définition du cours. À l’écrit, on applique la méthode du cours (rang N ÷ 4 arrondi au supérieur).
Les fonctions de quartile d’un tableur utilisent souvent une méthode d’interpolation : elles peuvent donner un résultat différent de celui de la définition du cours. À l’écrit, on applique la méthode du cours (rang N ÷ 4 arrondi au supérieur).
Interpréter une série
Une conclusion statistique se rédige avec une phrase complète et des unités : « La moitié des élèves mettent au plus 18 minutes pour venir au collège ; un quart met plus de 25 minutes. » Rappelle-toi que « au moins 50 % » ne veut pas dire « exactement 50 % ».
Une conclusion statistique se rédige avec une phrase complète et des unités : « La moitié des élèves mettent au plus 18 minutes pour venir au collège ; un quart met plus de 25 minutes. » Rappelle-toi que « au moins 50 % » ne veut pas dire « exactement 50 % ».
À retenir
- Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs ; avec des effectifs, on pondère par les effectifs.
- Médiane : on range, puis valeur centrale (N impair) ou moyenne des deux valeurs centrales (N pair).
- Étendue = maximum − minimum ; écart interquartile = Q3 − Q1.
- Q1 : rang N ÷ 4, Q3 : rang 3N ÷ 4, toujours arrondi au rang supérieur.
- La moyenne et l’étendue sont sensibles aux valeurs extrêmes ; la médiane et l’écart interquartile beaucoup moins.
- Classes : même amplitude, histogramme, moyenne approchée avec les centres des classes.
- Pour comparer deux séries : une mesure de position, une mesure de dispersion, une phrase de conclusion.