Repérage et espace : exercices de maths 3ème

1 Lire des coordonnées ★★★

Lis les coordonnées des six points du repère orthonormé ci-dessous.

2 Placer des points ★★★

Dans un repère orthonormé (unité : 1 carreau), place les points E(−4 ; 2), F(0 ; −3), G(3 ; 1) et H(−2 ; −3). Dans quelle zone se trouve chaque point ?

3 Distances et milieu sur un axe ★★★

Sur une droite graduée, on place A(−7), B(5) et C(−2,5). Calcule AB, AC et BC, puis donne l’abscisse du milieu de [AB].

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. Le point (−3 ; 5) est en haut à gauche de l’origine.
2. Un point d’abscisse 0 est sur l’axe des ordonnées.
3. Les points (2 ; −5) et (−5 ; 2) sont confondus.
4. Le point (4 ; 0) est sur l’axe des ordonnées.
5. Un point dont l’abscisse et l’ordonnée sont négatives est en bas à gauche.

5 Milieux ★★★

Calcule les coordonnées du milieu de chaque segment : a. [AB] avec A(−2 ; 5) et B(6 ; −1) ; b. [CD] avec C(−3 ; −4) et D(5 ; 2) ; c. [EF] avec E(0,5 ; 3) et F(2,5 ; −1).

6 Latitude et longitude ★★★

Voici quatre villes (coordonnées géographiques approchées) : Le Cap (34° S ; 18° E), Lima (12° S ; 77° O), Tokyo (36° N ; 140° E), Chicago (42° N ; 88° O).

1. Pour chaque ville, dis dans quel hémisphère (Nord ou Sud) et de quel côté de Greenwich (Est ou Ouest) elle se trouve.
2. Quelle ville est la plus proche de l’équateur ? la plus à l’est ?
3. Quelle est la latitude de tout point de l’équateur ? la longitude de tout point du méridien de Greenwich ?

7 Échelle d’une carte ★★★

Une carte est à l’échelle 150000.

1. Deux villages sont distants de 4,2 cm sur la carte. Quelle est la distance réelle en km ?
2. Un sentier de 3 km mesure combien de cm sur la carte ?
3. Une route de 8,5 km mesure combien de cm sur la carte ?

8 Calculer des distances ★★★

Dans un repère orthonormé, calcule la distance AB dans chaque cas (valeur exacte puis arrondi au dixième si besoin) : a. A(1 ; 2) et B(5 ; 5) ; b. A(−2 ; 1) et B(4 ; −3) ; c. A(−3 ; −1) et B(2 ; 11).

9 Un triangle isocèle ? ★★★

Dans un repère orthonormé, on place A(0 ; 4), B(−3 ; −1) et C(3 ; −1).

1. Calcule AB, AC et BC.
2. Quelle est la nature du triangle ABC ?
3. Calcule son périmètre au dixième près, puis son aire.

10 Un parallélogramme ★★★

Dans un repère orthonormé : A(−2 ; 1), B(3 ; 2), C(4 ; −2) et D(−1 ; −3).

1. Calcule les coordonnées du milieu de [AC] et du milieu de [BD].
2. Que peux-tu en conclure pour ABCD ?
3. ABCD est-il un rectangle ? Justifie avec les longueurs des diagonales.

11 Trouver un symétrique ★★★

Dans un repère, A(2 ; −3) et M(−1 ; 4). Calcule les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à M, puis vérifie ton résultat.

12 Sections d’un pavé ★★★

Un pavé droit mesure 8 cm de long, 5 cm de large et 6 cm de haut. On le coupe par un plan parallèle à la face de dimensions 8 cm × 5 cm (la base).

1. Quelle est la nature de la section ? Donne ses dimensions et son aire.
2. Même question pour un plan parallèle à la face de dimensions 5 cm × 6 cm.
3. Un plan parallèle à l’arête de 8 cm, mais non parallèle à une face, coupe le pavé. Que peux-tu dire de la section ?

13 Section d’un cône ★★★

Un cône de révolution a pour hauteur SO = 12 cm et pour rayon de base 5 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à 4 cm du sommet.

1. Calcule le coefficient de réduction k.
2. Donne le rayon de la section (valeur exacte, puis arrondie au dixième) et son aire arrondie au dixième.
3. Calcule le volume du grand cône (valeur exacte), puis celui du petit cône arrondi au dixième.

14 Section d’une boule ★★★

Une boule a pour rayon 13 cm. On la coupe par un plan situé à 5 cm de son centre.

1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calcule son rayon, puis son aire arrondie au dixième.
3. Quel est le rayon de la section si le plan passe par le centre ? Quelle est alors l’aire arrondie au dixième ?

15 Longueur d’un parallèle ★★★

On prend 6 370 km pour le rayon de la Terre. Calcule la longueur de l’équateur, puis celle du parallèle de latitude 60° Nord (arrondies au km). Que remarques-tu ?

16 Pyramide coupée ★★★

Une pyramide a pour sommet S et pour base un carré de côté 6 cm ; sa hauteur est 10 cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à 4 cm du sommet.

1. Quel est le coefficient de réduction ?
2. Quelle est la nature de la section ? Donne son côté et son aire.
3. Calcule le volume de la grande pyramide puis celui de la petite.

17 Une maquette à l’échelle ★★★

Une statue de 3,2 m de haut est reproduite en maquette à l’échelle 120.

1. Quelle est la hauteur de la maquette en cm ?
2. La maquette contient 0,5 L de plâtre. Quel est le volume de la statue réelle, en litres ?
3. Il faut 150 cm² de peinture pour la maquette. Quelle est l’aire à peindre sur la statue, en m² ?

18 Triangle rectangle ? ★★★

Dans un repère orthonormé, K(−5 ; 2), L(−1 ; −1) et M(2 ; 3). Démontre que le triangle KLM est rectangle et isocèle, puis calcule son aire.

19 Points sur un cercle ★★★

Dans un repère orthonormé, le cercle (𝒞) a pour centre Ω(1 ; −1) et pour rayon 5. Pour chaque point, dis s’il est sur le cercle : A(4 ; 3), B(−3 ; 2), D(6 ; 1), E(−2 ; −5). Montre ensuite que [AE] est un diamètre.

20 Un rectangle sans le tracer ★★★

Dans un repère orthonormé : A(−3 ; 0), B(−1 ; 4), C(5 ; 1) et D(3 ; −3). Démontre que ABCD est un rectangle. Est-ce un carré ?

21 Tronc de pyramide ★★★

Une pyramide de sommet S a pour base un carré de côté 8 cm ; sa hauteur est 12 cm. Un plan parallèle à la base, à 9 cm de celle-ci, la coupe en deux solides : une petite pyramide au sommet et un « tronc ».

1. À quelle distance du sommet se trouve le plan ? En déduire k.
2. Donne le côté et l’aire de la section.
3. Calcule le volume de la grande pyramide, celui de la petite, puis celui du tronc.

22 Distances sur le globe ★★★

On prend 6 370 km pour le rayon de la Terre. Une ville P est située par 49° N et 2° E ; une ville Q par 33° S et 2° E.

1. Que peux-tu dire de la position de P et Q par rapport à un méridien ?
2. Calcule la longueur de l’arc de méridien entre P et Q (au km près).
3. Calcule le rayon, puis la longueur du parallèle de latitude 45° N (au km près).

23 Agrandir une boule ★★★

Une boule de rayon 3 cm est agrandie en une boule de rayon 7,5 cm.

1. Quel est le coefficient d’agrandissement ?
2. Calcule l’aire de la petite sphère (4πR²) et déduis-en celle de la grande, arrondie au dixième.
3. Calcule le volume de la petite boule (4πR³3) et déduis-en celui de la grande, arrondi au dixième.

24 Surfaces sur une carte ★★★

Une carte est à l’échelle 125000.

1. Quelle surface réelle, en hectares, représente 1 cm² sur la carte ? (1 ha = 10 000 m²)
2. Une parcelle occupe 12 cm² sur la carte. Quelle est son aire réelle ?
3. Un champ de 20 ha occupera combien de cm² sur cette carte ?