Trigonométrie dans le triangle rectangle : exercices de maths 3ème

1 Vocabulaire du triangle ★★★

Le triangle EFG est rectangle en F (figure ci-dessous). On s’intéresse à l’angle ∠EGF.

1. Quelle est l’hypoténuse ?
2. Quel est le côté opposé à ∠EGF ?
3. Quel est le côté adjacent à ∠EGF ?
4. Même question pour l’angle ∠FEG : donne le côté opposé et le côté adjacent.

2 Écrire les relations ★★★

Le triangle RST est rectangle en S. Écris le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle ∠SRT, puis de l’angle ∠RTS, sous forme de quotients de côtés.

3 Vrai ou faux ? ★★★

MNP est un triangle rectangle en N. Pour chaque égalité, dis si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. sin ∠MPN = MN ÷ MP
2. tan ∠NMP = NP ÷ MN
3. cos ∠MPN = MN ÷ MP
4. tan ∠MPN = MN ÷ NP
5. cos ∠NMP = NP ÷ MP

4 Premiers pas avec la calculatrice ★★★

Mets ta calculatrice en mode degrés. Donne l’arrondi au centième de : a. sin 20° ; b. cos 70° ; c. tan 35° ; d. cos 48°. Que remarques-tu pour a. et b. ?

5 Retrouver un angle ★★★

Trouve l’angle aigu x, arrondi au degré : a. sin x = 0,5 ; b. cos x = 0,8 ; c. tan x = 2 ; d. sin x = 0,9.

6 Quel rapport choisir ? ★★★

Dans un triangle rectangle, on connaît un angle aigu α. Pour chaque cas, indique le rapport trigonométrique à utiliser (cosinus, sinus ou tangente) et écris la relation.

1. On connaît l’hypoténuse et on cherche le côté opposé à α.
2. On connaît le côté adjacent à α et on cherche l’hypoténuse.
3. On connaît le côté opposé à α et on cherche le côté adjacent.
4. On connaît le côté opposé et l’hypoténuse et on cherche α.

7 Une longueur avec la tangente ★★★

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et ∠ABC = 40°.

Calcule la longueur AC, arrondie au millimètre.

8 Une hypoténuse avec le sinus ★★★

DEF est un triangle rectangle en E tel que EF = 8 cm et ∠EDF = 35°. Calcule DF, arrondie au millimètre.

9 Un angle avec la tangente ★★★

GHI est un triangle rectangle en H tel que GH = 4 cm et HI = 7 cm. Calcule la mesure de l’angle ∠HGI arrondie au degré, puis celle de ∠HIG.

10 Adjacent connu, deux inconnues ★★★

JKL est un triangle rectangle en K tel que JK = 5,4 cm et ∠KJL = 62°. Calcule KL puis JL, arrondis au millimètre.

11 Triangle entièrement résolu ★★★

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BC = 12 cm.

1. Calcule AC.
2. Calcule les mesures des angles ∠BAC et ∠BCA, arrondies au degré.
3. Vérifie que la somme des trois angles est bien de 180°.

12 L’échelle du peintre ★★★

Un peintre appuie une échelle de 4,2 m contre un mur vertical. L’échelle fait un angle de 72° avec le sol horizontal.

1. À quelle hauteur du sol l’échelle touche-t-elle le mur ? (arrondi au centimètre)
2. À quelle distance du mur se trouve le pied de l’échelle ? (arrondi au centimètre)

13 Une rampe pour fauteuil roulant ★★★

Pour franchir une marche de 45 cm de haut, on installe une rampe plane de 5,5 m de long, posée au sol.

1. Fais un schéma de la situation.
2. Calcule l’angle que fait la rampe avec le sol, arrondi au dixième de degré.
3. La réglementation demande un angle d’au plus 5° environ. Cette rampe convient-elle ?

14 Hauteur d’un clocher ★★★

À 17 h, l’ombre d’un clocher sur le sol horizontal mesure 14,5 m. Les rayons du soleil forment un angle de 41° avec le sol. Calcule la hauteur du clocher, arrondie au dixième de mètre.

15 Chasse à l’erreur ★★★

Lucas travaille dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, avec AB = 7 cm et ∠ABC = 50°. Il veut calculer BC et écrit :

« cos 50° = BC ÷ 7, donc BC = 7 × cos 50° ≈ 4,5 cm. »

1. Sa réponse est-elle plausible ? Pourquoi ?
2. Explique son erreur et corrige-la.

16 Triangle isocèle ★★★

ABC est un triangle isocèle de base [AB] tel que AB = 10 cm et ∠CAB = ∠CBA = 50°. H est le milieu de [AB].

1. Justifie que le triangle AHC est rectangle en H.
2. Calcule la hauteur CH, arrondie au millimètre.
3. Calcule la longueur AC, arrondie au millimètre.
4. Calcule l’aire du triangle ABC, arrondie au cm².

17 Dimensions d’un rectangle ★★★

Dans le rectangle ABCD, la diagonale [AC] mesure 13 cm et forme avec le côté [AB] un angle ∠CAB = 25°.

1. Calcule la longueur AB et la largeur BC, arrondies au millimètre.
2. Calcule le périmètre du rectangle, arrondi au centimètre.
3. Vérifie tes résultats avec le théorème de Pythagore.

18 Le toit d’un garage ★★★

Le pignon d’un garage est un triangle ASB isocèle en S, avec AB = 8 m. Les deux pentes du toit forment avec l’horizontale un angle de 30°. H est le milieu de [AB].

1. Calcule la hauteur SH du pignon, arrondie au centimètre.
2. Calcule la longueur d’un versant AS, arrondie au centimètre.
3. Le toit est un rectangle de longueur 6 m sur chaque versant. Calcule l’aire totale de la couverture, arrondie au m².

19 Hauteur d’une tour : deux observations ★★★

Pour mesurer la hauteur d’une tour [SH] posée sur un sol horizontal, on se place en A, et on voit le sommet S sous un angle de 30° (∠SAH). On avance de 50 m vers la tour jusqu’en B (A, B et H alignés) et on voit alors le sommet sous un angle de 45° (∠SBH).

1. Exprime AH puis BH en fonction de la hauteur h = SH.
2. Que vaut AH − BH ? En déduis une équation d’inconnue h.
3. Résous-la et donne la hauteur de la tour au mètre près.

20 Deux bateaux devant un phare ★★★

Le sommet S d’un phare est à 60 m au-dessus du niveau de la mer ; H est le point de la mer à la verticale de S. Depuis un bateau B1, on voit S sous un angle de 40° au-dessus de l’horizontale ; depuis un bateau B2, plus proche, on le voit sous 65°. Les deux bateaux et le point H sont alignés, du même côté du phare.

1. Calcule HB1 et HB2, arrondis au dixième de mètre.
2. En déduis la distance B1B2 entre les deux bateaux, arrondie au mètre.

21 Un cône de révolution ★★★

Un cône de révolution de sommet S a pour base un disque de centre O et de rayon 5 cm. Sa hauteur [SO] mesure 12 cm. M est un point du cercle de base.

1. Justifie que le triangle SOM est rectangle et calcule SM (la génératrice du cône).
2. Calcule l’angle ∠OSM, arrondi au degré, avec la tangente.
3. Retrouve ce résultat avec le sinus puis avec le cosinus.
4. En déduis l’angle d’ouverture du cône (angle entre deux génératrices opposées), à 1° près.

22 Démontrer des relations ★★★

ABC est un triangle rectangle en A. On note α = ∠ABC, a = BC, b = AC et c = AB.

1. Exprime cos α, sin α et tan α avec a, b et c.
2. Démontre que cos² α + sin² α = 1.
3. Démontre que tan α = sin α ÷ cos α.
4. Applique le b. à un angle α tel que cos α = 0,6 : que vaut sin α ? (on prendra α aigu)

23 Descente d’un avion ★★★

Un avion amorce sa descente d’atterrissage à une altitude de 1 000 m en suivant une trajectoire rectiligne qui fait un angle de 3° avec l’horizontale. On suppose le sol parfaitement horizontal.

1. Fais un schéma de la situation.
2. À quelle distance horizontale de la piste (mesurée au sol) l’avion se trouve-t-il au début de la descente ? Donne le résultat en kilomètres, arrondi au dixième.
3. Quelle distance l’avion parcourt-il réellement dans les airs ? Arrondi au dixième de km.

24 Un triangle qui n’est pas rectangle ★★★

Dans le triangle ABC, la hauteur [AH] issue de A mesure 6 m, avec ∠ABC = 40° et ∠ACB = 55°. H est un point du côté [BC].

1. Calcule BH et HC, arrondis au centimètre.
2. En déduis BC, arrondi au centimètre.
3. Calcule les longueurs AB et AC au centimètre près.