Corrigé des exercices de maths 5ème : Parallélogrammes

1 Vocabulaire ★★★

1. Le côté opposé à [AB] est [DC].
2. L’angle opposé à ∠ABC est ∠CDA.
3. Le sommet opposé à C est A.
4. Les diagonales sont [AC] et [BD].

2 Longueurs et périmètre ★★★

MNPQ est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur.

1. PQ = MN = 7,5 cm et QM = NP = 4 cm.
2. P = 2 × (7,5 + 4) = 2 × 11,5 = 23 cm.

3 Angles d’un parallélogramme ★★★

• ∠ABC et ∠DAB sont deux angles consécutifs : ils sont supplémentaires. ∠ABC = 180° − 72° = 108°.

• ∠BCD est opposé à ∠DAB : ∠BCD = 72°.

• ∠CDA est opposé à ∠ABC : ∠CDA = 108°.

Vérification : 72° + 108° + 72° + 108° = 360°.

4 Les diagonales ★★★

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu O.

O est le milieu de [EG] : EO = OG = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.

O est le milieu de [FH] : FO = OH = 6,4 ÷ 2 = 3,2 cm.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, comme pour tout losange.
2. Faux. Un parallélogramme quelconque a des angles qui ne mesurent pas 90° (par exemple 70° et 110°).
3. Vrai. Un carré a quatre angles droits, c’est donc un rectangle particulier.
4. Faux. Il faut deux paires de côtés opposés égaux. Un trapèze isocèle a deux côtés opposés égaux sans être un parallélogramme.

6 Quel quadrilatère ? ★★★

1. Un losange (quatre côtés égaux).
2. Un rectangle.
3. Ses diagonales ont le même milieu : c’est un parallélogramme ; elles sont perpendiculaires : c’est un losange.
4. Ses diagonales ont le même milieu : c’est un parallélogramme ; elles sont de même longueur : c’est un rectangle.

7 Premiers calculs d’aire ★★★

On utilise 𝒜 = base × hauteur.

1. 8 × 3,5 = 28 cm².
2. 12 × 5 = 60 m².
3. 6 × 2,5 = 15 dm².

8 Reconnaître ou non ★★★

1. I est le milieu de [MP] et de [NQ] : les diagonales se coupent en leur milieu, donc MNPQ est un parallélogramme.
2. Si RSTU était un parallélogramme, ses côtés opposés ST et RU auraient la même longueur. Or ST = 3 cm et RU = 4 cm. Donc RSTU n’est pas un parallélogramme.
3. EFGH a deux côtés opposés parallèles et de même longueur : c’est un parallélogramme.

9 Angles consécutifs ★★★

• ∠BCD est consécutif à ∠ABC : ∠BCD = 180° − 118° = 62°.

• ∠DAB est consécutif à ∠ABC : ∠DAB = 180° − 118° = 62°.

• ∠CDA est opposé à ∠ABC : ∠CDA = 118°.

Vérification : 118° + 62° + 118° + 62° = 360°.

10 Un parallélogramme de 38 cm ★★★

Le périmètre est 2 × (a + b) = 38, donc a + b = 19 cm.

Si le petit côté vaut x, le grand vaut x + 3 : x + (x + 3) = 19, donc 2x = 16 et x = 8.

Le petit côté mesure 8 cm et le grand 11 cm. Vérification : 2 × (8 + 11) = 38 cm.

11 Construire au compas ★★★

1. Trace [AB] de 6 cm. 2. Avec le rapporteur, trace en A un angle de 60° et reporte AD = 4 cm. 3. Pointe le compas en B avec l’écartement 4 cm (AD), puis en D avec l’écartement 6 cm (AB) : les deux arcs se coupent en C. 4. Relie BC et DC.

Les côtés opposés ont la même longueur deux à deux (DC = AB = 6 cm et BC = AD = 4 cm) : ABCD est un parallélogramme.

12 Avec les diagonales ★★★

On trace [AC], on place O à 4,5 cm de A, puis on trace une droite quelconque passant par O (différente de (AC)) et on place B et D à 3 cm de O de part et d’autre.

Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.

Si on choisit les diagonales perpendiculaires, ABCD est un losange ; si on choisit [BD] de 9 cm, ABCD est un rectangle.

13 Le symétrique d’un sommet ★★★

D est le symétrique de A par rapport à I : I est le milieu de [AD]. I est aussi le milieu de [BC] (donnée).

Les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ont donc le même milieu I. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

Donc ABDC est un parallélogramme.

14 Aire, périmètre et deuxième hauteur ★★★

1. 𝒜 = 9 × 4 = 36 cm².
2. P = 2 × (9 + 5) = 28 cm.
3. L’aire est la même avec l’autre base : 5 × h = 36, donc h = 36 ÷ 5 = 7,2 cm.

15 Tableau à compléter ★★★

1. 𝒜 = 12 × 7 = 84 cm².
2. h = 10 ÷ 2,5 = 4 m.
3. c = 51 ÷ 6 = 8,5 cm.
4. On convertit : 0,3 m = 30 cm, donc 𝒜 = 40 × 30 = 1 200 cm², soit 0,12 m² (1 m² = 10 000 cm²).

16 Parallélogramme particulier ? ★★★

1. Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
2. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange.
3. Il est à la fois rectangle (diagonales égales) et losange (côtés consécutifs égaux) : c’est un carré.
4. Il a un angle droit : c’est un rectangle. Ses diagonales sont perpendiculaires : c’est un losange. Il est donc un carré.

17 Les angles d’un losange ★★★

1. Un losange a quatre côtés égaux : P = 4 × 5 = 20 cm.
2. ∠ABC est consécutif à ∠DAB : ∠ABC = 180° − 50° = 130°.
3. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, donc ∠AOB = 90°. Les diagonales d’un losange coupent ses angles en deux : ∠OAB = 50° ÷ 2 = 25° et ∠OBA = 130° ÷ 2 = 65°. Vérification dans le triangle AOB : 25° + 65° + 90° = 180°.

18 Les angles d’un rectangle ★★★

1. Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu : BD = AC = 13 cm, donc OB = 13 ÷ 2 = 6,5 cm.
2. OA = OB = 6,5 cm : le triangle OAB est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux : ∠OBA = ∠OAB = 35°.
3. La somme des angles d’un triangle est 180° : ∠AOB = 180° − 35° − 35° = 110°.

19 Un jardin en parallélogramme ★★★

1. 𝒜 = 24 × 15 = 360 m².
2. 360 ÷ 40 = 9 : il faut 9 sachets.
3. 9 × 12,50 = 112,50 : Lola paiera 112,50 €.

20 Aire du losange ★★★

1. Un losange est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leur milieu O, donc OA = OC = 5 cm et OB = OD = 3 cm. Elles sont perpendiculaires : les quatre triangles AOB, BOC, COD et DOA sont rectangles en O, avec des côtés de l’angle droit de 5 cm et 3 cm. Ils sont identiques.
2. Aire d’un triangle rectangle : (5 × 3) ÷ 2 = 7,5 cm². Aire du losange : 4 × 7,5 = 30 cm².

On retrouve la formule (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm².

21 Trouver l’erreur ★★★

1. Karim a multiplié deux côtés consécutifs. Or l’aire se calcule avec un côté et la hauteur perpendiculaire à ce côté. Comme l’autre côté est oblique, il est plus long que la hauteur.
2. 𝒜 = 10 × 4,8 = 48 cm².
3. 6 × h = 48, donc h = 48 ÷ 6 = 8 cm.

22 Un cercle et deux diamètres ★★★

[AC] et [BD] sont des diamètres : O est leur milieu à tous les deux, donc ABCD est un parallélogramme. Les diamètres ont la même longueur (6 cm) : c’est un rectangle. Ils sont perpendiculaires : c’est un losange. Donc ABCD est un carré.

Son aire se calcule par la formule du losange : (6 × 6) ÷ 2 = 18 cm².

23 Un nouveau parallélogramme dans la figure ★★★

Ce que je sais : ABCD est un parallélogramme, donc (AB) // (DC). E est sur (AB) et F est sur (DC) : donc (AE) // (CF). De plus AE = CF par hypothèse.

Ce que j’utilise : un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

Conclusion : dans le quadrilatère AECF, les côtés opposés [AE] et [CF] sont parallèles et de même longueur. Donc AECF est un parallélogramme.