Primitives et équations différentielles : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Primitives usuelles et composées / 4 pts

1. F(x) = x⁴ − x³ + 2x. (1 pt)
2. G(x) = 12e^2x + 3 ln(x). (1 pt)
3. u = x³ − 1, u ′ = 3x² : h = u ′u³, donc H(x) = (x³−1)⁴4. (1 pt)
4. Une primitive de cos(3x) est 13sin(3x). Avec u = x² + 1 > 0, xx²+1 = 12 × u′u a pour primitive 12ln(x² + 1). Donc K(x) = 13sin(3x) + 12ln(x² + 1). (1 pt)

2 Primitive avec condition initiale / 3 pts

Avec u = x² + 1 > 0 : 4xx²+1 = 2 × u′u, de primitive 2 ln(x² + 1). Une primitive de e^−x est −e^−x. (1,5 pt)

Donc F(x) = 2 ln(x² + 1) − e^−x + C. (0,5 pt)

F(0) = 0 − 1 + C = 1, donc C = 2 et F(x) = 2 ln(x² + 1) − e^−x + 2. (1 pt)

3 Équations différentielles du premier ordre / 4 pts

1. Les solutions sont Ce^−3x (0,5 pt). y(0) = C = 5, donc y(x) = 5e^−3x. (1 pt)
2. La solution constante est −−84 = 2. (1 pt) Les solutions sont y(x) = Ce^4x + 2. (0,5 pt) y(0) = C + 2 = −1 donne C = −3. Donc y(x) = −3e^4x + 2. (1 pt)

4 Équation avec solution particulière / 4 pts

1. g ′(x) = 3. Et 2g(x) + 1 − 6x = 6x + 2 + 1 − 6x = 3. Égalité vérifiée, g est solution. (1 pt)
2. Les solutions de y ′ = 2y sont Ce^2x. (1 pt)
3. y est solution de (E) si et seulement si y − g est solution de y ′ = 2y. Les solutions de (E) sont y(x) = Ce^2x + 3x + 1. (1 pt) f(0) = C + 1 = 0 donne C = −1, donc f(x) = −e^2x + 3x + 1. (1 pt)

5 Un gâteau qui refroidit / 5 pts

1. T ′ = −0,1T + 2 : la solution constante est 20. (0,5 pt) T(t) = 20 + Ce^−0,1t. (0,5 pt) T(0) = 20 + C = 180 donne C = 160. T(t) = 20 + 160e^−0,1t. (1 pt)
2. T(15) = 20 + 160e^−1,5 ≈ 55,7 °C. (1 pt)
3. 20 + 160e^−0,1t = 40 équivaut à e^−0,1t = 18. (1 pt) Donc −0,1t = −ln 8, t = 10 ln 8 ≈ 20,8 minutes : environ 21 minutes. (1 pt) Calculatrice autorisée pour cet exercice.