Corrigé des exercices de maths 5ème : Probabilités

Sommaire

1 Aléatoire ou pas ? ★★★

a. Aléatoire : on connaît les 6 résultats possibles mais pas celui qui sortira.

b. Pas aléatoire : le résultat est toujours 42.

c. Aléatoire : on ne peut pas prévoir quelle carte sortira.

d. Pas aléatoire : la longueur est toujours la même (aux erreurs de mesure près).

e. Aléatoire : on ne sait pas où la roue s’arrêtera.

2 Les issues d’un dé ★★★

a. Il y a 8 issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8.

b. A = {2 ; 4 ; 6 ; 8}.

c. « Inférieur à 4 » signifie strictement plus petit : B = {1 ; 2 ; 3}.

d. Impossible : « obtenir 10 ». Certain : « obtenir un nombre compris entre 1 et 8 ». (D’autres réponses sont possibles.)

3 Une roue colorée ★★★

a. Les issues sont : rouge, bleu, vert, jaune.

b. 4 secteurs rouges et 2 secteurs bleus (1 vert et 1 jaune).

c. Les secteurs sont égaux : il y a équiprobabilité, avec 8 issues en tout. P(rouge) = 48 = 12 ; P(bleu) = 28 = 14 ; P(vert) = 18 ; P(jaune) = 18.

d. 12 + 14 + 18 + 18 = 48 + 28 + 18 + 18 = 88 = 1. On retrouve bien 1.

4 Sur l’échelle des probabilités ★★★

a. 0,5 : une chance sur deux (Pile et Face équiprobables).

b. 1 : événement certain.

c. 0 : événement impossible, le dé n’a pas de face 7.

d. 0,5 : 3 nombres pairs (2 ; 4 ; 6) sur 6, donc 36 = 0,5.

5 Une urne de dix boules ★★★

a. Les boules sont indiscernables au toucher et tirées au hasard : chacune a la même chance (une sur 10) d’être prise.

b. Total : 4 + 3 + 2 + 1 = 10 boules. P(rouge) = 410 = 25 = 0,4 ; P(bleue) = 310 = 0,3 ; P(verte) = 210 = 15 = 0,2 ; P(jaune) = 110 = 0,1.

c. 4 + 3 = 7 boules conviennent : P(rouge ou bleue) = 710 = 0,7. (On retrouve 0,4 + 0,3.)

6 Vrai ou faux ? ★★★

a. Faux : une probabilité est comprise entre 0 et 1.

b. Vrai : une probabilité nulle correspond à un événement impossible.

c. Vrai : 34 = 0,75 est compris entre 0 et 1.

d. Vrai : 0,9 est proche de 1, l’événement se produit dans environ 9 cas sur 10.

e. Faux : elle est toujours positive ou nulle.

7 Probabilités au dé ★★★

Il y a équiprobabilité et 6 issues possibles.

a. P(A) = 16.

b. B = {2 ; 4 ; 6} : P(B) = 36 = 12.

c. C = {5 ; 6} : P(C) = 26 = 13.

d. D = {3 ; 6} : P(D) = 26 = 13.

8 Un jeu de 32 cartes ★★★

Il y a équiprobabilité et 32 issues.

a. 4 as : P = 432 = 18.

b. 8 cœurs : P = 832 = 14.

c. Un roi de cœur et un roi de carreau : P = 232 = 116.

d. 3 figures dans chacune des 4 couleurs, soit 12 cartes : P = 1232 = 38.

e. C’est le contraire de la question a : 1 − 18 = 78. Vérification : 32 − 4 = 28 cartes, 2832 = 78.

9 Roue de 12 secteurs ★★★

a. A = {4 ; 8 ; 12}. B = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11} (1 n’est pas premier).

b. P(A) = 312 = 14 ; P(B) = 512.

c. Le contraire de A est « obtenir un nombre qui n’est pas un multiple de 4 ». P = 1 − 14 = 34 (9 issues sur 12).

d. P(non B) = 1 − 512 = 1212 − 512 = 712.

10 Le sachet de bonbons ★★★

a. 6 + 9 + 5 = 20 bonbons.

b. P(fraise) = 620 = 310 = 0,3 ; P(citron) = 920 = 0,45 ; P(menthe) = 520 = 14 = 0,25. Somme : 0,3 + 0,45 + 0,25 = 1.

c. P(non citron) = 1 − 0,45 = 0,55 (soit 1120, car 6 + 5 = 11 bonbons).

d. Non. Les parfums ne sont pas en même nombre : il n’y a pas équiprobabilité entre les trois parfums. La bonne probabilité est 14, pas 13.

11 Composition d’une urne ★★★

a. Rouges : 0,35 × 20 = 7 boules. Bleues : 14 × 20 = 5 boules.

b. Vertes : 20 − 7 − 5 = 8 boules.

c. Directement : P(verte) = 820 = 0,4. Avec le contraire : 1 − 0,35 − 0,25 = 0,4. Les deux méthodes donnent le même résultat.

12 Deux pièces de monnaie ★★★

a.

1 € \ 2 €	Pile	Face
Pile	(P ; P)	(P ; F)
Face	(F ; P)	(F ; F)

Il y a 4 issues équiprobables.

b. Une seule issue, (F ; F) : P = 14.

c. (P ; F) et (F ; P) : P = 24 = 12.

d. Le contraire de « au moins un Face » est « aucun Face », donc (P ; P) : P = 1 − 14 = 34. (Vérification : (P ; F), (F ; P), (F ; F) font 3 issues sur 4.)

13 Un dé suspect ★★★

a. 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 11 = 50. Oui.

b. Fréquences : face 1 : 750 = 0,14 ; face 2 : 850 = 0,16 ; face 3 : 950 = 0,18 ; face 4 : 0,16 ; face 5 : 0,14 ; face 6 : 1150 = 0,22.

c. P(6) = 16 ≈ 0,167. La fréquence observée, 0,22, est un peu plus grande.

d. Non. 50 lancers, c’est peu : un petit écart est normal. Pour douter du dé, il faudrait beaucoup plus de lancers.

14 Les lettres d’un mot ★★★

Le mot compte 13 lettres : M-A-T-H-E-M-A-T-I-Q-U-E-S. Il y a équiprobabilité.

a. Il y a 2 M : P(A) = 213.

b. Voyelles : A, E, A, I, U, E, soit 6 : P(B) = 613.

c. C est le contraire de B : P(C) = 1 − 613 = 713 (7 consonnes : M, T, H, M, T, Q, S).

d. Il n’y a pas de Z : événement impossible, P(D) = 0.

15 Somme de deux dés ★★★

a.

rouge \ bleu	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables (les couples de dés). Les sommes elles-mêmes ne sont pas équiprobables.

b. La somme 7 apparaît 6 fois : P = 636 = 16.

c. La somme 2 n’apparaît qu’une fois (1 + 1) : P = 136.

d. Sommes 10 (3 fois), 11 (2 fois), 12 (1 fois) : 6 cas. P = 636 = 16.

e. Il y a 18 sommes paires sur 36 : P = 1836 = 12.

16 L’erreur de Léa ★★★

a. Léa suppose que les quatre couleurs ont la même chance. Or il n’y a pas le même nombre de secteurs de chaque couleur : les couleurs ne sont pas équiprobables. Ce sont les secteurs qui le sont.

b. 1 secteur jaune sur 8 : P(jaune) = 18.

c. Le rouge, avec 4 secteurs : P(rouge) = 48 = 12.

d. 14 = 28 : il faudrait 2 secteurs jaunes sur 8.

17 L’évolution des fréquences ★★★

a. 1220 = 0,60 ; 2240 = 0,55 ; 3160 ≈ 0,52 ; 4180 ≈ 0,51 ; 49100 = 0,49.

b. Les fréquences varient de moins en moins et se rapprochent de 0,5 : 0,60 puis 0,55 puis 0,52 puis 0,51 puis 0,49.

c. Elles se rapprochent de 0,5, probabilité théorique de « Pile » pour une pièce équilibrée. Rien ne permet de dire que la pièce est truquée.

18 Retrouver le nombre de boules ★★★

a. 12 boules sont rouges et représentent 40 % du total. Si N est le nombre total, 12N = 0,4 donc N = 12 ÷ 0,4 = 30 boules (vérification : 1230 = 0,4).

b. 30 − 12 = 18 boules noires.

c. P(noire) = 1830 = 35 = 0,6. On a bien 1 − 0,4 = 0,6.

19 Changer les chances ★★★

a. 20 jetons au total : P(rouge) = 520 = 14.

b. Il y a maintenant 10 rouges sur 25 jetons : P(rouge) = 1025 = 25 = 0,4.

c. Pour avoir une probabilité de 12, il faut autant de rouges que de bleus : 15 rouges, donc 15 − 5 = 10 jetons rouges à ajouter. Vérification : 15 rouges sur 30 jetons, 1530 = 12.

20 Un jeu est-il équitable ? ★★★

a. Chacun a 2 issues sur 6 : P = 26 = 13 pour chacun. Le jeu est équitable.

b. Nombres premiers : 2, 3, 5, soit 3 issues (1 n’est pas premier). Dina : 36 = 12. Émile gagne avec 1, 4, 6 : 36 = 12. Le jeu est équitable.

c. Farid : {3 ; 6}, P = 26 = 13. Gaëlle : {2 ; 4 ; 6}, P = 36 = 12. Gaëlle a le plus de chances. (Les deux événements peuvent se produire ensemble avec le 6, mais le calcul de chaque probabilité reste le même.)