Corrigé des exercices de maths 2de : Probabilités et échantillonnage

1 Dé à 8 faces ★★★

Il y a 8 issues équiprobables, donc p(événement) = nombre d’issues favorables ÷ 8.

1. A = {4 ; 8} : 2 issues. p(A) = 28 = 14.
2. B = {6 ; 7 ; 8} : 3 issues. p(B) = 38.
3. C = {2 ; 3 ; 5 ; 7} (1 n’est pas premier) : 4 issues. p(C) = 48 = 12.

2 Roue de loterie ★★★

1. La somme des probabilités vaut 1 : p(bleu) = 1 − (0,35 + 0,25 + 0,15) = 1 − 0,75 = 0,25.
2. Rouge et bleu sont incompatibles : p = 0,35 + 0,25 = 0,60.
3. « Ne pas obtenir vert » est le contraire de « obtenir vert » : p = 1 − 0,15 = 0,85.

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
2. Faux. Les issues sont PP, PF, FP, FF (équiprobables). « Un pile et un face » = {PF ; FP}, soit 24 = 12.
3. Vrai. p(Ā) = 1 − p(A) = 1 − 0,3 = 0,7.
4. Faux. A = {2 ; 4 ; 6}, B = {1 ; 2 ; 3}, A ∩ B = {2} n’est pas vide. A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6}, donc p(A ∪ B) = 56. Vérification : 36 + 36 − 16 = 56.

4 Jeu de 32 cartes ★★★

32 cartes équiprobables.

1. 4 rois : p = 432 = 18.
2. 8 cœurs : p = 832 = 14.
3. 1 seule carte : p = 132.
4. 3 figures par couleur, donc 3 × 4 = 12 figures : p = 1232 = 38.

5 Le sac de jetons ★★★

1. p(vert) = 412 = 13.
2. 7 jetons ne sont pas rouges (4 + 3) : p = 712. Autre méthode : 1 − 512 = 712.
3. 5 + 3 = 8 jetons : p = 812 = 23.

6 Le contraire à la rescousse ★★★

1. En retard est le contraire de à l’heure : 1 − 0,82 = 0,18.
2. 500 × 0,18 = 90. On peut s’attendre à environ 90 trains en retard (ce n’est pas une certitude : c’est une estimation).
3. 1 − 37 = 77 − 37 = 47.

7 Un dé truqué ★★★

1. 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,15 = 0,75, donc p(6) = 1 − 0,75 = 0,25.
2. Pair = {2 ; 4 ; 6} : p = 0,1 + 0,2 + 0,25 = 0,55.

8 Intersection et réunion avec un dé ★★★

1. A = {1 ; 3 ; 5} et B = {4 ; 5 ; 6}.
2. Seul 5 est dans les deux : A ∩ B = {5}. A ∪ B = {1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
3. p(A) = 36 = 12 ; p(B) = 36 = 12 ; p(A ∩ B) = 16 ; p(A ∪ B) = 56.
   Vérification : p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 36 + 36 − 16 = 56. La formule est vérifiée.

9 Sportifs de la classe ★★★

Notons F : « fait du football » et K : « fait du basket ». |F| = 16, |K| = 11, |F ∩ K| = 5.

1. Formule de la réunion : 16 + 11 − 5 = 22 élèves pratiquent au moins un sport.
2. p(F ∪ K) = 2228 = 1114. Le contraire (aucun sport) : 1 − 1114 = 314 (soit 6 élèves sur 28).
3. Basket uniquement : 11 − 5 = 6 élèves, donc p = 628 = 314.

10 Au cinéma ★★★

1. Adultes : 140, donc enfants : 240 − 140 = 100. Film B : 240 − 125 = 115. Adultes au film B : 140 − 90 = 50. Enfants au film A : 125 − 90 = 35. Enfants au film B : 100 − 35 = 65 (contrôle : 115 − 50 = 65).

   	Film A	Film B	Total
   Adultes	90	50	140
   Enfants	35	65	100
   Total	125	115	240

2. p(enfant) = 100240 = 512. p(adulte ∩ A) = 90240 = 38.
3. p(E ∪ B) = p(E) + p(B) − p(E ∩ B) = 100240 + 115240 − 65240 = 150240 = 58. Vérification : le contraire est « adulte au film A », 90240 ; 1 − 38 = 58.

11 Deux tirages avec remise ★★★

1. Chaque tirage : p(V) = 410 = 0,4 et p(R) = 0,6. L’arbre a deux étapes, avec ces mêmes probabilités à chaque étape.
2. p(VV) = 0,4 × 0,4 = 0,16. p(RR) = 0,6 × 0,6 = 0,36.
3. VR ou RV : 0,4 × 0,6 + 0,6 × 0,4 = 0,24 + 0,24 = 0,48. Contrôle : 0,16 + 0,36 + 0,48 = 1.

12 Somme de deux dés ★★★

1. 6 × 6 = 36 issues équiprobables. Tableau des sommes :

   1er \ 2e	1	2	3	4	5	6
   1	2	3	4	5	6	7
   2	3	4	5	6	7	8
   3	4	5	6	7	8	9
   4	5	6	7	8	9	10
   5	6	7	8	9	10	11
   6	7	8	9	10	11	12

2. La somme 7 apparaît 6 fois (une par ligne) : p = 636 = 16.
3. 10 apparaît 3 fois, 11 deux fois, 12 une fois : 6 cases. p = 636 = 16.
4. On compte 18 sommes paires : p = 1836 = 12.

13 Une pièce équilibrée ★★★

1. n = 50 ≥ 25 et p = 0,5 est dans [0,2 ; 0,8] : les conditions sont remplies.
2. 1√50 ≈ 0,1414. Bornes : 0,5 − 0,1414 ≈ 0,359 et 0,5 + 0,1414 ≈ 0,641. Intervalle : [0,359 ; 0,641].
3. f = 2950 = 0,58. Comme 0,359 ≤ 0,58 ≤ 0,641, la fréquence est dans l’intervalle : elle est compatible avec une pièce équilibrée.

14 Boules rouges à 30 % ★★★

p = 0,3 et n = 100 (conditions vérifiées). 1√100 = 0,1, donc l’intervalle de fluctuation est [0,2 ; 0,4].

La fréquence observée est f = 41100 = 0,41. Comme 0,41 > 0,4, elle est en dehors de l’intervalle. Ce résultat est inhabituel : on peut douter de l’affirmation « 30 % de boules rouges » (avec un risque d’environ 5 % de se tromper, car le hasard peut parfois produire un tel échantillon).

15 Fréquences et probabilités ★★★

1. f = 118200 = 0,59.
2. n = 200, p = 0,5. 1√200 ≈ 0,0707. Intervalle : [0,429 ; 0,571]. Comme 0,59 > 0,571, la fréquence est en dehors : on peut douter de l’affirmation de Léa (la probabilité n’est sans doute pas 0,5).

16 Les langues en 2de ★★★

1. Au moins une langue : 120 − 15 = 105 élèves. Par la formule : 105 = 70 + 55 − x, donc x = 125 − 105 = 20 élèves apprennent les deux.
2. Espagnol seulement : 70 − 20 = 50 ; allemand seulement : 55 − 20 = 35 ; les deux : 20 ; aucune : 15 (50 + 20 + 35 + 15 = 120).
3. p = 50120 = 512.
4. Exactement une : 50 + 35 = 85. p = 85120 = 1724.

17 Tirages sans remise ★★★

1. Premier tirage : p(R) = 35, p(N) = 25. Si la première est rouge, il reste 2 rouges et 2 noires sur 4 boules : p(R) = 24, p(N) = 24. Si la première est noire, il reste 3 rouges et 1 noire : p(R) = 34, p(N) = 14.35R24RRR : 31024NRN : 31025N34RNR : 31014NNN : 110
2. p(RR) = 35 × 24 = 620 = 310.
3. Même couleur : RR ou NN. p(NN) = 25 × 14 = 220 = 110. Total : 310 + 110 = 410 = 25.
4. p(RN) = 35 × 24 = 310 ; p(NR) = 25 × 34 = 620 = 310. Somme : 310 + 310 + 310 + 110 = 1010 = 1.

18 Au moins un pile, au moins un six ★★★

1. Le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c’est-à-dire FFF. Il y a 2 × 2 × 2 = 8 issues équiprobables, donc p(FFF) = 18. Ainsi p(au moins un pile) = 1 − 18 = 78.
2. À chaque lancer, p(pas de 6) = 56. Aucun 6 en 4 lancers : 56 × 56 × 56 × 56 = 6251296. Donc p(au moins un 6) = 1 − 6251296 = 6711296 ≈ 0,518.

19 Clients de la boulangerie ★★★

1. p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B), donc p(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2.
2. Pain sans viennoiserie : p(A) − p(A ∩ B) = 0,5 − 0,2 = 0,3.
3. C’est le contraire de A ∪ B : 1 − 0,7 = 0,3.
4. Non : p(A ∩ B) = 0,2 ≠ 0, donc des clients achètent les deux.

20 Lire un programme Python ★★★

1. Il répète n fois un événement de probabilité 0,3 (random() est inférieur à 0,3 avec une probabilité de 0,3) et compte les réussites.
2. Il renvoie la fréquence de réussites dans un échantillon de taille 400 : un nombre proche de 0,3, mais qui change à chaque exécution.
3. p = 0,3, n = 400. 1√400 = 120 = 0,05. Intervalle : [0,25 ; 0,35].
4. 0,36 > 0,35 : la fréquence est en dehors de l’intervalle. C’est un résultat rare (moins de 5 % des cas environ) ; si on soupçonne que la probabilité n’est pas 0,3, on peut la remettre en cause.
5. Remplacer 0.3 par 0.6 dans la condition random() < 0.6.

21 Vingt échantillons simulés ★★★

1. n = 100, p = 0,3 : 1√100 = 0,1. Intervalle : [0,2 ; 0,4].
2. Une fréquence est en dehors si le nombre est inférieur à 20 ou supérieur à 40. Ici, on en compte 1 sur 20.
3. 95 % de 20 échantillons correspond à 19 échantillons dans l’intervalle, soit environ 1 en dehors. Le comptage observé est tout à fait cohérent avec cette propriété (elle annonce « au moins 95 % » en théorie, et sur un petit nombre d’échantillons le résultat peut varier un peu).

22 Un dé est-il équilibré ? ★★★

1. f = 93150 = 0,62.
2. 1√150 ≈ 0,0816. Intervalle : [0,5 − 0,0816 ; 0,5 + 0,0816] ≈ [0,418 ; 0,582].
3. 0,62 > 0,582 : f est en dehors de l’intervalle. On remet en cause l’hypothèse « le dé est équilibré ». Le risque d’erreur est d’environ 5 % : un dé équilibré pourrait, très rarement, donner un tel échantillon.

23 Quelle taille d’échantillon ? ★★★

1. Les bornes sont p − 1√n et p + 1√n : amplitude = 2√n.
2. n = 25 : 25 = 0,4. n = 100 : 210 = 0,2. n = 400 : 220 = 0,1.
3. On veut 2√n ≤ 0,1, soit √n ≥ 20, donc n ≥ 400. Il faut au moins 400 individus. Pour diviser l’amplitude par 2, il faut multiplier la taille de l’échantillon par 4 : plus l’échantillon est grand, plus la fréquence est précise.