Corrigé des exercices de maths 2de : Droites du plan et systèmes d’équations

1 Points et droite ★★★

Un point appartient à d si ses coordonnées vérifient l’équation.

• A : −2 × 1 + 5 = 3 = y_A. A ∈ d.
• B : −2 × (−2) + 5 = 9 = y_B. B ∈ d.
• C : −2 × 3 + 5 = −1 ≠ −2. C ∉ d.
• D : −2 × 2 + 5 = 1 = y_D. D ∈ d.

2 Lire m et p ★★★

1. m = 3 et p = −4.
2. m = −0,5 et p = 1.
3. Droite horizontale : m = 0 et p = 7.
4. Droite verticale : elle n’a pas de coefficient directeur ni d’ordonnée à l’origine (elle coupe l’axe des abscisses en (−2 ; 0)).

3 Deux points, une droite ★★★

1. m = (7 − 1) / (2 − 0) = 3. A est sur l’axe des ordonnées, donc p = 1. y = 3x + 1. Contrôle : 3 × 2 + 1 = 7 ✔.
2. m = (0 − 4) / (3 − (−1)) = −44 = −1. Avec A : 4 = −1 × (−1) + p, donc p = 3. y = −x + 3. Contrôle avec B : −3 + 3 = 0 ✔.

4 Vecteurs directeurs ★★★

Pour a x + b y + c = 0, un vecteur directeur est (−b ; a).

1. a = 2, b = 5 : u(−5 ; 2).
2. a = 1, b = −4 : u(4 ; 1).
3. a = 3, b = 0 : u(0 ; 3). La droite est verticale (x = 73).
4. a = 0, b = 5 : u(−5 ; 0). La droite est horizontale (y = 85).

5 Forme réduite ★★★

1. y = −2x + 6.
2. −2y = −4x − 8, donc y = 2x + 4.
3. 6y = −3x + 12, donc y = −12x + 2.

6 Solution d’un système ? ★★★

Il faut vérifier les deux équations.

• (2 ; 3) : 2 × 2 + 3 = 7 ✔ et 2 − 3 = −1 ✔. Solution.
• (3 ; 1) : 6 + 1 = 7 ✔ mais 3 − 1 = 2 ≠ −1. Non.
• (1 ; 5) : 2 + 5 = 7 ✔ mais 1 − 5 = −4 ≠ −1. Non.
• (0 ; 7) : 7 ✔ mais 0 − 7 = −7 ≠ −1. Non.

Seul le couple (2 ; 3) est solution.

7 Parallèles ou sécantes ? ★★★

1. d₄ s’écrit y = 2x + 0,5. Les droites d₁, d₂ et d₄ ont le même coefficient directeur 2 et des ordonnées à l’origine différentes : elles sont strictement parallèles entre elles. d₃ a pour coefficient −2 : elle est sécante aux autres.
2. 2x + 3 = −2x + 3 ⇔ 4x = 0 ⇔ x = 0, puis y = 3. Point d’intersection : (0 ; 3).

8 Droite par deux points (fraction) ★★★

1. m = (−1 − 3) / (4 − (−2)) = −46 = −23. Avec A : 3 = −23 × (−2) + p = 43 + p, donc p = 53. y = −23x + 53. Contrôle avec B : −83 + 53 = −1 ✔.
2. On multiplie par 3 : 3y = −2x + 5, soit 2x + 3y − 5 = 0. Contrôle : A : −4 + 9 − 5 = 0 ✔ ; B : 8 − 3 − 5 = 0 ✔.

9 Droites verticale et horizontale ★★★

1. A et B ont la même abscisse 3 : (AB) est verticale, x = 3. C et D ont la même ordonnée 4 : (CD) est horizontale, y = 4.
2. Un vecteur directeur de (AB) est (0 ; 7), un de (CD) est (7 ; 0) : 0 × 0 − 7 × 7 = −49 ≠ 0, donc elles ne sont pas colinéaires : les droites sont sécantes. Leur point d’intersection a pour abscisse 3 et pour ordonnée 4 : (3 ; 4).

10 Point et vecteur directeur ★★★

1. Avec u(−b ; a) = (3 ; 4) : b = −3 et a = 4. L’équation est 4x − 3y + c = 0. Avec A : 8 + 3 + c = 0, donc c = −11. d : 4x − 3y − 11 = 0.
2. B : 20 − 9 − 11 = 0 ✔, B ∈ d. C : −4 + 15 − 11 = 0 ✔, C ∈ d. E : 0 − 3 − 11 = −14 ≠ 0, E ∉ d.

11 Alignement ★★★

m = (4 − (−2)) / (2 − (−1)) = 63 = 2. Avec A : −2 = 2 × (−1) + p, donc p = 0. (AB) : y = 2x.

• C : 2 × 5 = 10 = y_C : C ∈ (AB), les points A, B, C sont alignés.
• D : 2 × 4 = 8 ≠ 7 : D ∉ (AB), les points A, B, D ne sont pas alignés.

12 Parallèles, confondues, sécantes ★★★

1. a b′ − a′ b = 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0 : d // d′. Le point (1 ; 4) est sur d (3 − 8 + 5 = 0) ; sur d′ : 6 − 16 − 1 = −11 ≠ 0. Il n’est pas sur d′ : les droites sont strictement parallèles.
2. a b″ − a″ b = 3 × 2 − 1 × (−2) = 8 ≠ 0 : sécantes. On résout { 3x − 2y = −5 ; x + 2y = 9 }. En additionnant : 4x = 4, x = 1, puis 1 + 2y = 9 donne y = 4. Intersection : (1 ; 4). Contrôle : 3 − 8 + 5 = 0 ✔ et 1 + 8 − 9 = 0 ✔.

Remarque : le point (1 ; 4) est justement celui utilisé en a).

13 Parallèle par un point ★★★

1. Même coefficient directeur −3 : y = −3x + p. Avec A : 1 = −6 + p, donc p = 7. y = −3x + 7.
2. Même vecteur directeur : 4x − 5y + c = 0. Avec B : −4 − 15 + c = 0, donc c = 19. 4x − 5y + 19 = 0.

14 Substitution ★★★

(S₁) On remplace y : x + 3(2x − 8) = 11, soit 7x − 24 = 11, donc x = 5. Alors y = 2 × 5 − 8 = 2. Vérification : 5 + 6 = 11 ✔. Solution : (5 ; 2).

(S₂) De la première équation : x = 2y − 1. Dans la seconde : 4(2y − 1) + 3y = 18, soit 11y − 4 = 18, donc y = 2. Alors x = 3. Vérification : 3 − 4 = −1 ✔ et 12 + 6 = 18 ✔. Solution : (3 ; 2).

15 Combinaison ★★★

(S₁) Les coefficients de y sont déjà opposés : on additionne, 7x = 21, donc x = 3. Dans la première : 6 + 3y = 12, donc y = 2. Vérification : 15 − 6 = 9 ✔. Solution : (3 ; 2).

(S₂) On multiplie la première équation par 3 et la seconde par 4 : { 12x + 15y = 9 ; 12x + 8y = 16 }. On soustrait : 7y = −7, donc y = −1. Dans la seconde : 3x − 2 = 4, donc x = 2. Vérification : 8 − 5 = 3 ✔. Solution : (2 ; −1).

16 Les billets de cinéma ★★★

Soit a le prix d’une place adulte et k celui d’une place enfant (en euros). Le système est { 3a + 2k = 28,5 ; 2a + 3k = 24 }.

On multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2 : { 9a + 6k = 85,5 ; 4a + 6k = 48 }. En soustrayant : 5a = 37,5, donc a = 7,5. Dans la seconde : 15 + 3k = 24, donc k = 3.

Vérification : 3 × 7,5 + 2 × 3 = 22,5 + 6 = 28,5 ✔.

Une place adulte coûte 7,50 € et une place enfant 3 €.

17 Deux clubs de sport ★★★

1. Club A : y = 15x + 20. Club B : y = 10x + 50.
2. On résout 15x + 20 = 10x + 50 : 5x = 30, x = 6, puis y = 15 × 6 + 20 = 110. Le point d’intersection est (6 ; 110). Contrôle : 10 × 6 + 50 = 110 ✔.
3. Les coûts sont égaux (110 €) au bout de 6 mois. Le coefficient directeur de B est plus petit : au-delà de 6 mois, B est moins cher. Pour x = 7 : A coûte 125 € et B coûte 120 €. Le club B est plus avantageux à partir de 7 mois.

18 Pièces de monnaie ★★★

Soit x le nombre de pièces de 1 € et y le nombre de pièces de 2 €. On a { x + y = 25 ; x + 2y = 38 }.

On soustrait les deux équations : y = 13. Puis x = 25 − 13 = 12.

Vérification : 12 + 2 × 13 = 38 ✔.

La tirelire contient 12 pièces de 1 € et 13 pièces de 2 €.

19 Aire d’un triangle ★★★

1. A : x + 1 = −2x + 7 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2, y = 3 : A(2 ; 3). B : 0 = x + 1 donc B(−1 ; 0). C : 0 = −2x + 7 donc x = 72 : C(3,5 ; 0).
2. La base BC est sur l’axe des abscisses : BC = 3,5 − (−1) = 4,5 cm. La hauteur issue de A est l’ordonnée de A : 3 cm. Aire = (4,5 × 3) / (2) = 6,75 cm².

20 Intersection avec les axes ★★★

1. Pour y = 0 : 3x = 24, x = 8 : E(8 ; 0). Pour x = 0 : 4y = 24, y = 6 : F(0 ; 6).
2. On remplace y par x : 3x + 4x = 24, donc x = 247. G(247 ; 247).
3. Le triangle OEF est rectangle en O : aire = (8 × 6) / (2) = 24 cm².

21 Paramètre et parallélisme ★★★

1. Les droites sont parallèles si et seulement si m × m − 8 × 2 = 0, soit m² = 16, donc m = 4 ou m = −4.
2. Pour m = 4 : d : 4x + 2y − 1 = 0 et d′ : 8x + 4y + 3 = 0. En multipliant d par 2 : 8x + 4y − 2 = 0 ; la constante diffère de celle de d′ (+3). Strictement parallèles.
   Pour m = −4 : d : −4x + 2y − 1 = 0 et d′ : 8x − 4y + 3 = 0. En multipliant d par −2 : 8x − 4y + 2 = 0 ≠ d′ (+3). Strictement parallèles.
   Dans les deux cas, les droites ne sont jamais confondues.

22 Système sans solution ou infini ★★★

1. On multiplie la seconde équation par 2 : −2x + 4y = 10. En additionnant avec la première : 0 = 16, ce qui est impossible. Aucune solution : les droites 2x − 4y = 6 et −x + 2y = 5 sont strictement parallèles (même vecteur directeur (4 ; 2) à un coefficient près, déterminant 2 × 2 − (−1) × (−4) = 0).
2. La première équation est le triple de la seconde (3 × (x + 2y) = 3 × 3). Elles sont équivalentes : une infinité de solutions, tous les couples (x ; y) vérifiant x + 2y = 3, par exemple (1 ; 1) ou (3 ; 0). Les droites sont confondues.

23 Rencontre de deux cyclistes ★★★

1. Léa : d = 12t. Tom : il roule depuis t − 0,5 heure, donc d = 20(t − 0,5) = 20t − 10.
2. On résout 12t = 20t − 10 : 8t = 10, donc t = 1,25 h, soit 1 h 15 min. Alors d = 12 × 1,25 = 15 km. Contrôle : 20 × 1,25 − 10 = 15 ✔.

Tom rejoint Léa à 15 h 15, à 15 km du village.

24 Tarifs de location ★★★

2(f + 3j) = 84, soit f + 3j = 42. Et 3(f + 2j) = 90, soit f + 2j = 30. Système : { f + 3j = 42 ; f + 2j = 30 }.

En soustrayant : j = 12. Puis f = 30 − 24 = 6. Vérification : 2 × (6 + 36) = 84 ✔ et 3 × (6 + 24) = 90 ✔.

Coût de 4 vélos pendant 5 jours : 4 × (6 + 5 × 12) = 4 × 66 = 264 €.

Le forfait est de 6 € par vélo, le prix de 12 € par vélo et par jour, et la location demandée coûte 264 €.