Fonction exponentielle : contrôle de maths 1ère

1 Calcul sur les exponentielles / 4 pts

1. Simplifie : A = e
×e
/ e
et B = (e^x + e^−x)² − (e^x − e^−x)².

2. Résous dans ℝ : e^x²−2x = e³.

3. Résous dans ℝ : e^1−2x < e^x+4.

2 Étude d’une fonction produit / 5 pts

Soit g(x) = (3 − x)e^x/2 pour x réel.

1. Montre que g ′(x) = 1−x2 e^x/2.
2. Dresse le tableau de variations de g. Donne son maximum (valeur exacte puis arrondie à 10⁻³).
3. Détermine l’équation de la tangente à la courbe de g en x = 0.
4. Résous g(x) = 0 puis donne le signe de g(x).

3 Une propriété qui caractérise l’exponentielle / 3 pts

Soit f une fonction dérivable sur ℝ telle que f ′(x) = 2f(x) pour tout x, et f(0) = 3. On pose φ(x) = f(x) e^−2x.

1. Calcule φ ′(x) et conclus que φ est constante. Quelle est sa valeur ?
2. Exprime f(x) puis calcule f(0,5) à 10⁻³ près.

4 Concentration d’un médicament / 4 pts

Calculatrice autorisée. La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang, t heures après l’injection, est C(t) = 12e^−0,2t.

1. Calcule C(0) et C(3) (arrondi à 10⁻³).
2. Calcule C ′(t). Quel est le sens de variation de C ? Quelle est la vitesse de variation à t = 0 ?
3. Le traitement doit être renouvelé lorsque la concentration passe sous 1,5 mg/L. Au bout de combien d’heures entières ?

5 Capital à intérêts continus / 4 pts

Calculatrice autorisée. Un capital de 200 € évolue selon u_n = 200e^0,05n, où n est le nombre d’années.

1. Montre que (u_n) est géométrique ; donne sa raison (arrondie à 10⁻³) et u₀.
2. Calcule u₁₀ à 10⁻² près.
3. Détermine le plus petit entier n tel que u_n ≥ 400.
4. En utilisant e^x ≥ x + 1, justifie que e^0,05 ≥ 1,05. Que peut-on en conclure sur ce placement comparé à un taux annuel de 5 % ?