Trigonométrie : exercices de maths 1ère

1 Degrés vers radians ★★★

Convertis en radians, sous la forme d’une fraction de π :

1. 30°
2. 45°
3. 120°
4. 150°
5. 270°
6. 15°

2 Radians vers degrés ★★★

Convertis en degrés :

1. π5
2. 3π4
3. 7π6
4. 5π3
5. 2π9
6. 11π12

3 Arcs et secteurs ★★★

Dans chaque cas, calcule la grandeur demandée (valeur exacte, puis valeur approchée au centième si besoin).

1. Longueur de l’arc d’un cercle de rayon 6 cm intercepté par un angle de π3 rad.
2. Longueur de l’arc d’un cercle de rayon 4 cm intercepté par un angle de 1,5 rad.
3. Un arc de 9 cm est tracé sur un cercle de rayon 5 cm : quelle est la mesure de l’angle au centre, en radians puis en degrés (arrondi au dixième) ?
4. Aire du secteur d’angle π3 rad dans un cercle de rayon 6 cm.

4 Mesures principales ★★★

Donne la mesure principale (dans ]−π ; π]) de chacun des angles suivants :

1. 7π3
2. −11π4
3. 13π6
4. 25π4
5. −5π
6. 17π3

5 Valeurs remarquables ★★★

Donne la valeur exacte de :

1. cos π3
2. sin π4
3. cos π6
4. sin π2
5. cos π
6. sin 0
7. sin π6
8. cos π2

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Il existe un réel x tel que cos x = 1,2.
2. Pour tout réel x : sin² x + cos² x = 1.
3. Pour tout réel x : cos(π − x) = cos x.
4. Pour tout réel x : sin(x + 2π) = sin x.
5. Pour tout réel x : cos(−x) = −cos x.
6. Si sin x = 12, alors x = π6.

7 Sinus ou cosinus déduit ★★★

Dans chaque cas, calcule la valeur exacte demandée.

1. cos x = 35 et x ∈ [0 ; π]. Calcule sin x.
2. sin x = −513 et x ∈ ]−π2 ; 0[. Calcule cos x.
3. cos x = −√53 et sin x > 0. Calcule sin x.

8 Angles associés : calculs ★★★

Donne la valeur exacte de :

1. cos 5π6
2. sin 7π6
3. cos(−π3)
4. sin 2π3
5. cos 5π4
6. sin(−3π4)
7. cos 11π6
8. sin 4π3

9 Simplifier des expressions ★★★

Simplifie, pour tout réel x :

1. A = cos(π − x) + cos(π + x) + cos(−x)
2. B = sin(π + x) − sin(π − x) + sin(−x)
3. D = cos(π2 + x) + sin(π − x)
4. E = cos(π2 − x)² + sin(π2 − x)²

10 Équations de base ★★★

Résous :

1. cos x = √32 sur ]−π ; π]
2. cos x = −12 sur ]−π ; π]
3. sin x = −√22 sur ]−π ; π]
4. sin x = 12 sur [0 ; 2π[
5. cos x = 0 sur [0 ; 2π[

11 Équations à ramener ★★★

Résous sur [0 ; 2π[ :

1. 2cos x − 1 = 0
2. 2sin x + √3 = 0
3. √2 cos x + 1 = 0
4. sin x = 2

12 Parité ★★★

Étudie la parité de chaque fonction définie sur ℝ :

1. f(x) = x sin x
2. g(x) = sin x + x
3. h(x) = sin x cos x
4. k(x) = sin x + 1
5. m(x) = cos x + x²

13 Périodicité pour calculer ★★★

En utilisant la périodicité (période 2π), calcule la valeur exacte de :

1. cos 25π3
2. sin(−19π6)
3. cos(2027π)
4. sin 41π4
5. cos(−33π2)

14 Une roue de vélo ★★★

Une roue de vélo a un rayon de 33 cm.

1. De quelle distance avance le vélo quand la roue tourne d’un angle de 7π4 rad ? (valeur approchée au dixième de cm)
2. Combien de tours la roue effectue-t-elle sur un trajet de 100 m ? (arrondi au dixième)

15 Lecture graphique ★★★

On a tracé la courbe de la fonction cosinus sur [−2π ; 2π] ainsi que la droite d’équation y = 12.

1. Résous graphiquement cos x = 12 sur [−2π ; 2π].
2. Vérifie ces valeurs par le calcul.
3. Résous cos x ≥ 12 sur [−2π ; 2π].

16 Un triangle équilatéral dans le cercle ★★★

Dans le repère (O ; I, J), on place sur le cercle trigonométrique les points M(π2), N(7π6) et P(11π6).

1. Donne les coordonnées exactes des trois points.
2. Calcule les longueurs MN, NP et MP. Que peux-tu dire du triangle MNP ?
3. Calcule son aire (valeur exacte puis arrondie au centième).

17 L’hexagone régulier ★★★

On place sur le cercle trigonométrique les six points A_k d’angle k × π3 pour k = 0, 1, …, 5.

1. Donne les coordonnées exactes de A₀, A₁, …, A₅.
2. Calcule la longueur A₀A₁. En déduire le périmètre de l’hexagone.
3. Compare ce périmètre à la circonférence du cercle. Est-ce cohérent ?
4. Calcule l’aire de l’hexagone.

18 Équations qui se ramènent à des équations de base ★★★

Résous sur [0 ; 2π[ :

1. 2cos² x − 1 = 0
2. 2sin² x − sin x − 1 = 0

19 Équations avec deux angles ★★★

Résous :

1. cos x = cos π5 sur ]−π ; π]
2. sin x = sin 2π7 sur ]−π ; π]
3. cos x = sin x sur [0 ; 2π[ (indice : sin x = cos(π2 − x))

20 Inéquations ★★★

Résous :

1. cos x ≥ 12 sur ]−π ; π]
2. sin x < −√22 sur ]−π ; π]
3. cos x ≤ −√32 sur [0 ; 2π[

21 Étude d’une fonction ★★★

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2cos x − 1.

1. Calcule f(0), f(π3), f(π2) et f(π).
2. Montre que f est paire et 2π-périodique.
3. Dresse le tableau de variations de f sur [0 ; π].
4. Quels sont le maximum et le minimum de f sur ℝ ?
5. Résous f(x) = 0, puis f(x) > 0 sur [−π ; π].

22 La grande roue ★★★

Une grande roue a un rayon de 20 m. Son centre est à 22 m au-dessus du sol. Une nacelle est repérée par l’angle θ (en radians) que fait le segment centre-nacelle avec l’horizontale, mesuré dans le sens direct à partir de la position « à droite du centre ». Sa hauteur au-dessus du sol est H(θ) = 22 + 20 sin θ.

1. Calcule H(0), H(π2) et H(7π6).
2. Quelle est la hauteur minimale de la nacelle ? Pour quel θ de [0 ; 2π[ est-elle atteinte ?
3. Pour quelles valeurs de θ dans [0 ; 2π[ la nacelle est-elle à 32 m de hauteur ?
4. Pour quelle fraction d’un tour la nacelle est-elle à plus de 32 m ? Si un tour dure 9 minutes, quelle durée cela représente-t-il ?

23 Identités à démontrer ★★★

Démontre que, pour tout réel x :

1. (cos x + sin x)² = 1 + 2 sin x cos x ;
2. (cos x − sin x)² + (cos x + sin x)² = 2 ;
3. en déduire que si cos x + sin x = 12, alors sin x cos x = −38.