Limites de suites : exercices de maths Terminale

1 Limites de référence ★★★

Donne la limite de chaque suite, sans justification longue.

1. u_n = n³
2. v_n = −n²
3. w_n = 1/n³
4. x_n = 5 − 2n
5. y_n = √n + 10

2 Premier rang qui dépasse un seuil ★★★

a. Pour u_n = 3n + 2, détermine le plus petit entier n tel que u_n > 1 000.

b. Pour v_n = 5 − 2n, détermine le plus petit entier n tel que v_n < −100.

3 Lire un nuage de points ★★★

On a représenté ci-dessous les premiers termes d’une suite (u_n).

1. Que peux-tu conjecturer sur le sens de variation et la limite de (u_n) ?
2. On donne u_n = 1 + 6/(n + 1). Justifie la limite conjecturée.
3. À partir de quel rang a-t-on |u_n − 1| < 0,5 ?

4 Limite et bande autour de ℓ ★★★

Soit u_n = 4 + 1/n pour n ≥ 1.

1. Quelle est la limite de (u_n) ?
2. Trouve le plus petit rang n à partir duquel |u_n − 4| < 0,001.

5 Opérations simples ★★★

Calcule la limite de chaque suite.

1. u_n = 5 + 3/n²
2. v_n = (n + 1) × n²
3. w_n = (2 + 1/n)(3 − 1/n)
4. x_n = 4 − n²

6 Suites (q^n) ★★★

Étudie la limite de chaque suite.

1. (3/2)ⁿ
2. (0,8)ⁿ
3. (−0,5)ⁿ
4. (−2)ⁿ
5. (√2/2)ⁿ

7 Vrai ou faux ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Si lim_n→+∞ u_n = +∞, alors (u_n) est croissante.
2. Toute suite convergente est bornée.
3. Toute suite bornée converge.
4. Toute suite décroissante et minorée converge.

8 Fractions simples ★★★

Calcule la limite de chaque suite.

1. u_n = (2n + 1)/n
2. v_n = (n² + 1)/n²
3. w_n = 3/(n + 1)

9 Polynômes et fractions rationnelles ★★★

Détermine la limite de chaque suite en levant l’indétermination.

1. u_n = n² − 5n
2. v_n = −2n³ + n² + 1
3. w_n = (3n² + n)/(n² − 4)
4. x_n = (n² + 1)/(n + 3)
5. y_n = (4n + 1)/(n² + 2)

10 Quantité conjuguée ★★★

a. Montre que √(n + 3) − √n = 3/(√(n + 3) + √n) pour tout n ≥ 0, puis calcule la limite.

b. Calcule la limite de v_n = √(n² + n) − n.

11 Comparaison ★★★

Détermine la limite de chaque suite en utilisant le théorème de comparaison.

1. u_n = 2n + 3cos(n)
2. v_n = −n² + 4sin(n)

12 Théorème des gendarmes ★★★

Soit u_n = (2n + (−1)ⁿ)/(n + 1) pour n ≥ 0.

1. Montre que (2n − 1)/(n + 1) ≤ u_n ≤ (2n + 1)/(n + 1).
2. Déduis-en la limite de (u_n).

13 Suites géométriques ★★★

Détermine la limite de chaque suite.

1. u_n = 5 × (0,6)ⁿ
2. v_n = 3 × 2ⁿ − 1
3. w_n = 4 − 3 × (1/2)ⁿ

14 Somme de termes géométriques ★★★

a. Montre que S_n = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ = 2 − 1/2ⁿ et trouve la limite de (S_n).

b. Même question pour T_n = 1 + 3 + 9 + … + 3ⁿ.

15 Seuil avec Python (suite géométrique) ★★★

Un joueur dispose de 200 points de vie ; chaque tour, il en perd 10 %. Après n tours, il lui reste u_n = 200 × 0,9ⁿ points.

1. Quelle est la limite de (u_n) ?
2. Complète le programme pour qu’il renvoie le premier n tel que u_n < 5.

   n = 0
   u = 200
   while ……:
       u = 0.9 * u
       n = n + 1
   print(n)

3. Que renvoie le programme ?

16 Suite arithmético-géométrique ★★★

Soit u₀ = 2 et u_n+1 = 0,5 u_n + 3. On pose v_n = u_n − 6.

1. Montre que (v_n) est géométrique.
2. Exprime v_n puis u_n en fonction de n.
3. Déduis-en la limite de (u_n).

17 Quotient de deux suites exponentielles ★★★

Calcule la limite de u_n = (2ⁿ − 3ⁿ)/(2ⁿ + 3ⁿ). On pourra diviser par 3ⁿ.

18 Suite récurrente et racine ★★★

Soit u₀ = 0 et u_n+1 = √(u_n + 2).

1. Montre par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 2.
2. Montre que (u_n) est croissante.
3. Prouve que (u_n) converge et calcule sa limite.

19 Approximation de √2 (Héron) ★★★

Soit u₀ = 2 et u_n+1 = (u_n + 2/u_n)/2.

1. Calcule u₁ et u₂ sous forme de fractions.
2. Montre que u_n > 0 pour tout n, puis que u_n+1² − 2 = (u_n² − 2)²/(4u_n²). Déduis-en u_n ≥ √2 pour n ≥ 1.
3. Montre que (u_n) est décroissante à partir du rang 1, puis qu’elle converge vers √2.

20 Épargne et seuil ★★★

Un capital de 5 000 € est placé à 4 % par an ; chaque année, on ajoute 400 € après le calcul des intérêts. On note C_n le capital après n années : C₀ = 5 000 et C_n+1 = 1,04 C_n + 400.

1. Calcule C₁.
2. On pose D_n = C_n + 10 000. Montre que (D_n) est géométrique, puis exprime C_n en fonction de n.
3. Déduis-en la limite de (C_n).
4. À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 20 000 € ?

21 Concentration et seuil ★★★

Dans un bassin, la concentration d’un produit (en mg/L) vaut 50 au départ. Chaque semaine, elle perd 10 % puis on ajoute 4 mg/L : u₀ = 50 et u_n+1 = 0,9 u_n + 4.

1. Calcule u₁.
2. Montre que v_n = u_n − 40 est géométrique et exprime u_n.
3. Quelle est la limite de la concentration ?
4. Écris un programme Python qui renvoie le premier n tel que u_n < 41, et donne sa valeur.

22 Bernoulli et divergence ★★★

a. Démontre par récurrence que, pour tout réel a ≥ 0 et tout entier n, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.

b. Déduis-en la limite de (1,02)ⁿ.

c. Trouve, grâce à l’inégalité, un rang n à partir duquel 1,02ⁿ > 1 000.

23 Formes indéterminées délicates ★★★

Calcule la limite de chaque suite.

1. u_n = (n² − 3n)/(1 − 2n)
2. v_n = n − 3√n

24 Somme de racines ★★★

Soit S_n = 1/√1 + 1/√2 + … + 1/√n pour n ≥ 1.

1. Montre que S_n ≥ √n.
2. Déduis-en la limite de (S_n).