Corrigé des exercices de maths Terminale : Limites de suites

1 Limites de référence ★★★

On utilise les limites de référence et les opérations simples.

1. lim_n→+∞ n³ = +∞.
2. lim_n→+∞ n² = +∞ donc lim_n→+∞ (−n²) = −∞.
3. n³ → +∞ donc 1/n³ → 0.
4. −2n → −∞ donc 5 − 2n → −∞.
5. √n → +∞ donc √n + 10 → +∞.

2 Premier rang qui dépasse un seuil ★★★

1. 3n + 2 > 1 000 ⇔ 3n > 998 ⇔ n > 332,67… Le plus petit entier est n = 333. Vérification : u_333 = 1 001 > 1 000 et u_332 = 998 ≤ 1 000.
2. 5 − 2n < −100 ⇔ −2n < −105 ⇔ n > 52,5 (on change le sens en divisant par −2). Le plus petit entier est n = 53. Vérification : v_53 = −101 < −100 et v_52 = −99.

3 Lire un nuage de points ★★★

1. Les points descendent et se rapprochent de l’ordonnée 1 : (u_n) semble décroissante et de limite 1.
2. lim_n→+∞ (n + 1) = +∞, donc lim_n→+∞ 6/(n + 1) = 0 et lim_n→+∞ u_n = 1.
3. |u_n − 1| = 6/(n + 1) < 0,5 ⇔ n + 1 > 12 ⇔ n > 11. Donc à partir de n = 12 (u_12 = 1 + 6/13 ≈ 1,46, alors que u_11 = 1,5 ne convient pas).

4 Limite et bande autour de ℓ ★★★

1. lim_n→+∞ 1/n = 0 donc lim_n→+∞ u_n = 4.
2. |u_n − 4| = 1/n < 0,001 ⇔ n > 1 000. Le plus petit entier est n = 1 001 (u_1000 = 4,001 : la différence vaut exactement 0,001, pas strictement moins).

5 Opérations simples ★★★

1. lim_n→+∞ 3/n² = 0 donc lim_n→+∞ u_n = 5.
2. n + 1 → +∞ et n² → +∞, donc par produit lim_n→+∞ v_n = +∞.
3. 2 + 1/n → 2 et 3 − 1/n → 3, donc lim_n→+∞ w_n = 2 × 3 = 6.
4. n² → +∞ donc lim_n→+∞ x_n = −∞.

6 Suites (q^n) ★★★

1. 3/2 > 1 donc +∞.
2. 0 < 0,8 < 1 donc 0.
3. −1 < −0,5 < 0 donc 0.
4. q = −2 ≤ −1 : pas de limite (les termes valent alternativement des nombres positifs et négatifs de plus en plus grands en valeur absolue).
5. Comme √2 ≈ 1,414, √2/2 ≈ 0,707 ∈ ]−1 ; 1[ donc 0.

7 Vrai ou faux ★★★

1. Faux. u_n = n + 2(−1)ⁿ : u₀ = 2 et u₁ = 1 − 2 = −1 < u₀, donc non croissante, alors qu’elle tend vers +∞ (u_n ≥ n − 2).
2. Vrai. Une suite convergente reste dans un intervalle ]ℓ − 1 ; ℓ + 1[ à partir d’un rang ; il n’y a qu’un nombre fini de termes avant, donc elle est bornée.
3. Faux. (−1)ⁿ est bornée (entre −1 et 1) mais n’a pas de limite.
4. Vrai. C’est le théorème de convergence des suites monotones.

8 Fractions simples ★★★

1. u_n = 2 + 1/n → 2.
2. v_n = 1 + 1/n² → 1.
3. n + 1 → +∞, donc w_n → 0.

9 Polynômes et fractions rationnelles ★★★

1. u_n = n²(1 − 5/n) ; 1 − 5/n → 1 et n² → +∞ : +∞.
2. Terme dominant −2n³ : v_n = n³(−2 + 1/n + 1/n³) avec −2 + … → −2 : −∞.
3. w_n = (3 + 1/n)/(1 − 4/n²) → 3/1 : 3.
4. x_n = (n + 1/n)/(1 + 3/n) : numérateur → +∞, dénominateur → 1 : +∞ (degré 2 contre degré 1).
5. Degré 1 au numérateur, degré 2 au dénominateur : y_n = (4/n + 1/n²)/(1 + 2/n²) → 0/1 : 0.

10 Quantité conjuguée ★★★

1. (√(n + 3) − √n)(√(n + 3) + √n) = (n + 3) − n = 3, d’où l’égalité. Le dénominateur tend vers +∞, donc la limite est 0.
2. v_n = ((n² + n) − n²)/(√(n² + n) + n) = n/(√(n² + n) + n) = 1/(√(1 + 1/n) + 1) (on a divisé par n > 0 en haut et en bas, avec √(n² + n)/n = √(1 + 1/n)). Comme √(1 + 1/n) → 1, lim_n→+∞ v_n = 1/2.

11 Comparaison ★★★

1. Comme cos(n) ≥ −1, u_n ≥ 2n − 3. Or 2n − 3 → +∞, donc lim_n→+∞ u_n = +∞.
2. Comme sin(n) ≤ 1, v_n ≤ −n² + 4. Or −n² + 4 → −∞, donc lim_n→+∞ v_n = −∞.

12 Théorème des gendarmes ★★★

1. Comme −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, on a 2n − 1 ≤ 2n + (−1)ⁿ ≤ 2n + 1. On divise par n + 1 > 0, ce qui conserve les inégalités.
2. Les deux membres extrêmes sont de la forme (2 − 1/n)/(1 + 1/n) et (2 + 1/n)/(1 + 1/n) : ils tendent vers 2. D’après le théorème des gendarmes, lim_n→+∞ u_n = 2.

13 Suites géométriques ★★★

1. 0 < 0,6 < 1 donc lim_n→+∞ u_n = 0.
2. 2ⁿ → +∞ donc 3 × 2ⁿ − 1 → +∞.
3. (1/2)ⁿ → 0 donc lim_n→+∞ w_n = 4.

14 Somme de termes géométriques ★★★

1. Raison q = 1/2 : S_n = (1 − (1/2)ⁿ⁺¹)/(1 − 1/2) = 2(1 − (1/2)ⁿ⁺¹) = 2 − (1/2)ⁿ. Comme (1/2)ⁿ → 0, lim_n→+∞ S_n = 2.
2. Raison q = 3 : T_n = (3ⁿ⁺¹ − 1)/2. Comme 3ⁿ⁺¹ → +∞, lim_n→+∞ T_n = +∞.

15 Seuil avec Python (suite géométrique) ★★★

1. 0 < 0,9 < 1 donc lim_n→+∞ u_n = 0.
2. Il faut continuer tant que u est supérieur ou égal à 5 :

   n = 0
   u = 200
   while u >= 5:
       u = 0.9 * u
       n = n + 1
   print(n)

3. Le programme affiche 36 : 200 × 0,9³6 ≈ 4.51 < 5 alors que 200 × 0,9³5 ≈ 5.01 ≥ 5.

16 Suite arithmético-géométrique ★★★

1. v_n+1 = u_n+1 − 6 = 0,5u_n + 3 − 6 = 0,5u_n − 3 = 0,5(u_n − 6) = 0,5 v_n. Donc (v_n) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v₀ = 2 − 6 = −4.
2. v_n = −4 × 0,5ⁿ, donc u_n = 6 − 4 × 0,5ⁿ.
3. 0 < 0,5 < 1 donc 0,5ⁿ → 0, et lim_n→+∞ u_n = 6.

17 Quotient de deux suites exponentielles ★★★

u_n = ((2/3)ⁿ − 1)/((2/3)ⁿ + 1). Comme 0 < 2/3 < 1, (2/3)ⁿ → 0. Donc le numérateur tend vers −1, le dénominateur vers 1 : lim_n→+∞ u_n = −1.

18 Suite récurrente et racine ★★★

1. Initialisation : u₀ = 0 ∈ [0 ; 2]. Hérédité : si 0 ≤ u_n ≤ 2, alors 2 ≤ u_n + 2 ≤ 4 et, la racine étant croissante, √2 ≤ u_n+1 ≤ 2. Donc 0 ≤ u_n+1 ≤ 2.
2. u_n+1 − u_n = (u_n + 2 − u_n²)/(√(u_n + 2) + u_n) (quantité conjuguée) = (2 − u_n)(1 + u_n)/(√(u_n + 2) + u_n). Avec 0 ≤ u_n ≤ 2, le numérateur est ≥ 0 et le dénominateur > 0. Donc u_n+1 ≥ u_n.
3. Croissante et majorée par 2 : (u_n) converge vers ℓ. Par passage à la limite, ℓ = √(ℓ + 2), donc ℓ² − ℓ − 2 = 0, soit (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0. Comme ℓ ≥ 0, ℓ = 2.

19 Approximation de √2 (Héron) ★★★

1. u₁ = (2 + 1)/2 = 3/2 ; u₂ = (3/2 + 4/3)/2 = (17/6)/2 = 17/12.
2. u_n > 0 par récurrence (somme de deux positifs divisée par 2). Ensuite u_n+1² − 2 = (u_n² + 4 + 4/u_n²)/4 − 2 = (u_n² − 4 + 4/u_n²)/4 = (u_n² − 2)²/(4u_n²) ≥ 0. Donc u_n+1² ≥ 2 et u_n+1 ≥ √2 pour tout n ≥ 0, c’est-à-dire u_n ≥ √2 pour n ≥ 1.
3. u_n+1 − u_n = (2/u_n − u_n)/2 = (2 − u_n²)/(2u_n) ≤ 0 si u_n ≥ √2, donc (u_n) décroît à partir du rang 1. Décroissante et minorée par √2, elle converge vers ℓ ≥ √2 ; comme ℓ = (ℓ + 2/ℓ)/2, ℓ² = 2 et ℓ = √2.

20 Épargne et seuil ★★★

1. C₁ = 1,04 × 5 000 + 400 = 5 600 €.
2. D_n+1 = 1,04C_n + 400 + 10 000 = 1,04C_n + 10 400 = 1,04(C_n + 10 000) = 1,04 D_n. Donc (D_n) est géométrique de raison 1,04, avec D₀ = 15 000. D_n = 15 000 × 1,04ⁿ et C_n = 15 000 × 1,04ⁿ − 10 000.
3. 1,04 > 1 donc 1,04ⁿ → +∞ et lim_n→+∞ C_n = +∞.
4. On cherche 15 000 × 1,04ⁿ − 10 000 > 20 000 ⇔ 1,04ⁿ > 2. La calculatrice (ou le programme Python avec while) donne C_17 ≈ 19219 € et C_18 ≈ 20387 €. Le capital dépasse 20 000 € à partir de la 18ᵉ année.

21 Concentration et seuil ★★★

1. u₁ = 0,9 × 50 + 4 = 49 mg/L.
2. v_n+1 = 0,9u_n + 4 − 40 = 0,9u_n − 36 = 0,9(u_n − 40) = 0,9 v_n ; v₀ = 10. Donc v_n = 10 × 0,9ⁿ et u_n = 40 + 10 × 0,9ⁿ.
3. 0,9ⁿ → 0 donc lim_n→+∞ u_n = 40 mg/L.

4. n = 0
   u = 50
   while u >= 41:
       u = 0.9 * u + 4
       n = n + 1
   print(n)

   Le programme affiche 22 : 40 + 10 × 0,9²2 ≈ 40.985 < 41 alors que u_21 ≈ 41.094.

22 Bernoulli et divergence ★★★

1. Initialisation : n = 0 donne 1 ≥ 1. Hérédité : si (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na, en multipliant par 1 + a > 0 : (1 + a)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)a + na² ≥ 1 + (n + 1)a. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout n.
2. Avec a = 0,02 : 1,02ⁿ ≥ 1 + 0,02n, et 1 + 0,02n → +∞. Par comparaison, lim_n→+∞ 1,02ⁿ = +∞.
3. 1 + 0,02n > 1 000 ⇔ n > 49 950. Donc pour n ≥ 49 951, 1,02ⁿ ≥ 1 + 0,02n > 1 000 (le vrai rang est bien plus petit, mais l’inégalité suffit à prouver l’existence d’un rang).

23 Formes indéterminées délicates ★★★

1. u_n = (n − 3)/(1/n − 2) après division par n : le numérateur tend vers +∞, le dénominateur vers −2. Donc lim_n→+∞ u_n = −∞.
2. v_n = n(1 − 3/√n) ; 1 − 3/√n → 1 et n → +∞, donc lim_n→+∞ v_n = +∞.

24 Somme de racines ★★★

1. Pour tout k ≤ n, √k ≤ √n donc 1/√k ≥ 1/√n. En additionnant les n inégalités : S_n ≥ n × 1/√n = √n.
2. √n → +∞ ; par comparaison, lim_n→+∞ S_n = +∞.