Loi binomiale : exercices de maths Terminale

1 Bernoulli ou pas ? ★★★

Dans chaque situation, dis si l’on a un schéma de Bernoulli. Si oui, donne n, p et le succès ; sinon explique pourquoi.

1. On lance 12 fois un dé équilibré et on note si le 6 sort.
2. On tire 3 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes et on regarde si elles sont des cœurs.
3. Un élève répond au hasard à 15 questions, chacune ayant 4 propositions dont une seule est juste.
4. On lance 5 fois un dé et on note le résultat obtenu (de 1 à 6).

2 Coefficients binomiaux ★★★

Calcule à la main avec les factorielles : C(7 ; 2), C(9 ; 3) et C(10 ; 8). Vérifie C(7 ; 2) avec la relation de Pascal sachant que C(6 ; 1) = 6 et C(6 ; 2) = 15.

3 QCM au hasard ★★★

Un élève répond au hasard à un test de 12 questions ; chacune a 4 propositions dont une seule est correcte. Soit X le nombre de bonnes réponses.

1. Justifie que X suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
2. Écris P(X = 3) puis calcule-la à 0,001 près.
3. Calcule E(X).

4 Lancers de pièce ★★★

On lance 6 fois une pièce équilibrée. X est le nombre de « face ».

1. Donne la loi de X.
2. Calcule P(X = 2), P(X = 3) et P(X ≥ 1) (valeurs exactes sous forme de fractions).

5 Espérance, variance, écart type ★★★

Pour chaque loi, donne E(X), V(X) et σ(X) (écart type arrondi au centième si besoin) : B(40 ; 0,25), B(100 ; 0,02), B(50 ; 0,9).

6 Lire deux diagrammes ★★★

Deux diagrammes en bâtons représentent les lois B(10 ; 0,2) et B(10 ; 0,8), dans le désordre.

1. Associe chaque diagramme à sa loi, en justifiant.
2. Quelle est la valeur la plus probable dans chaque cas ?
3. Quel lien y a-t-il entre P(X = k) pour B(10 ; 0,2) et P(Y = 10 − k) pour B(10 ; 0,8) ?

7 Au moins un ★★★

Un joueur lance 5 fois une fléchette ; il atteint la cible avec la probabilité 0,1 à chaque lancer (lancers indépendants). Quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible au moins une fois ? Arrondis au millième.

8 Contrôle qualité ★★★

Une machine produit des pièces dont 2 % sont défectueuses. On prélève 30 pièces (production assez grande pour assimiler à des tirages indépendants). X est le nombre de pièces défectueuses.

1. Donne la loi de X.
2. Calcule P(X = 0) et P(X ≤ 2) au millième.
3. Calcule P(X ≥ 3).

9 Tir à l’arc ★★★

Un archer touche le centre de la cible avec la probabilité 0,7 à chaque flèche, indépendamment. Il tire 10 flèches. X est le nombre de flèches au centre.

1. Donne la loi de X.
2. Calcule P(X ≥ 8).
3. Calcule P(5 ≤ X ≤ 8).
4. Calcule E(X) et σ(X).

10 Vrai ou faux ★★★

Dans chaque cas, X suit B(20 ; 0,4). Dis si l’affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. E(X) = 8.
2. P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 5).
3. P(X < 3) = P(X ≤ 2).
4. V(X) = 4,8.
5. P(X = 20) = 0,4²⁰.

11 Sondage dans une grande ville ★★★

Dans une ville de 80 000 habitants, 30 % possèdent un vélo. On interroge 20 habitants au hasard ; la population étant très grande, on assimile à un tirage avec remise. X est le nombre de cyclistes dans l’échantillon.

1. Justifie que X suit B(20 ; 0,3).
2. Calcule P(X = 6).
3. Calcule P(X ≥ 10).
4. Quel est le nombre moyen de cyclistes par échantillon ?

12 Un jeu de dé ★★★

Pour jouer, on mise 4 €. On lance 5 fois un dé équilibré ; chaque 6 obtenu rapporte 6 €. Soit X le nombre de 6 et G le gain algébrique (gain moins mise).

1. Donne la loi de X et calcule E(X).
2. Exprime G en fonction de X et calcule E(G).
3. Le jeu est-il favorable au joueur ?
4. Calcule la probabilité de ne rien gagner du tout (aucun 6).

13 Valeur la plus probable ★★★

X suit B(20 ; 0,3).

1. Montre que P(X = k + 1) ÷ P(X = k) = (20 − k) × 0,3 ÷ ((k + 1) × 0,7).
2. Pour quelles valeurs de k ce rapport est-il supérieur ou égal à 1 ?
3. En déduis la valeur la plus probable de X et vérifie à la calculatrice.

14 Combien de tentatives ? ★★★

Un joueur réussit un tir avec la probabilité 0,12 à chaque essai (essais indépendants). Combien d’essais doit-il prévoir pour que la probabilité de réussir au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,99 ?

15 Lire un programme ★★★

On considère le programme suivant.

from math import comb

def f(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def g(n, p, k):
    s = 0
    for i in range(k + 1):
        s = s + f(n, p, i)
    return s

print(f(4, 0.5, 2))
print(1 - g(4, 0.5, 1))

1. Que calculent f(n, p, k) et g(n, p, k) ?
2. Quelles valeurs sont affichées ? Interprète-les pour X suivant B(4 ; 0,5).
3. Comment modifier la dernière ligne pour obtenir P(X ≥ 3) ?

16 Deux seuils ★★★

Un laboratoire teste des échantillons ; chacun est positif avec la probabilité 0,15, indépendamment des autres.

1. Combien d’échantillons faut-il tester pour que la probabilité d’en trouver au moins un positif dépasse 0,99 ?
2. Avec une probabilité de 0,1 par échantillon, combien faut-il en tester pour que P(X ≥ 2) ≥ 0,9 ? (Utilise la calculatrice ou Python, avec P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1).)

17 Somme des probabilités ★★★

X suit B(3 ; p) avec 0 < p < 1. On note q = 1 − p.

1. Écris la loi de X avec des expressions en p et q.
2. Montre que la somme des quatre probabilités vaut 1.
3. Calcule E(X) directement avec la définition et vérifie que tu trouves 3p.

18 Intervalle de fluctuation ★★★

X suit B(60 ; 0,5). À l’aide de la calculatrice ou de Python :

1. Détermine le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025.
2. Détermine le plus petit entier b tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975.
3. En déduis un intervalle [a ; b] avec P(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,95 et calcule cette probabilité.
4. Un joueur obtient 42 « face » sur 60 lancers. Ce résultat est-il compatible avec une pièce équilibrée au seuil de 95 % ?

19 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★★★

X suit B(200 ; 0,5).

1. Calcule E(X) et V(X).
2. Avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et δ = 20, majore P(|X − 100| ≥ 20).
3. Déduis-en un minorant de P(80 < X < 120).
4. Calcule la valeur exacte de P(81 ≤ X ≤ 119) à la calculatrice et compare.

20 Surréservation ★★★

Une compagnie aérienne vend 125 billets pour un vol de 120 places. Chaque passager se présente à l’embarquement avec la probabilité 0,93, indépendamment des autres. X est le nombre de passagers présents.

1. Justifie que X suit B(125 ; 0,93) et calcule E(X), σ(X).
2. Calcule la probabilité qu’il y ait plus de passagers présents que de places.
3. La compagnie souhaite que cette probabilité reste inférieure à 0,05. Est-ce le cas ?

21 Un test à choix multiples ★★★

Un test comporte 20 questions à 4 propositions (une seule juste). Un candidat répond au hasard. Il est reçu s’il obtient au moins 10 bonnes réponses. X est son nombre de bonnes réponses.

1. Donne la loi de X, E(X) et σ(X).
2. Calcule la probabilité d’être reçu en répondant au hasard.
3. Le candidat sait répondre juste avec certitude à 6 questions et répond au hasard aux 14 autres. Soit Y le nombre de bonnes réponses parmi ces 14 questions au hasard. Quelle est la probabilité d’être reçu ?

22 Dispersion et valeur de p ★★★

Pour n = 50, on compare les lois B(50 ; p).

1. Calcule σ pour p = 0,1, p = 0,5 et p = 0,9 (au centième).
2. Montre que pour tout p de [0 ; 1], p(1 − p) ≤ 14, avec égalité si et seulement si p = 0,5.
3. En déduis que σ(X) ≤ √n ÷ 2 pour toute loi B(n ; p). Donne cette borne pour n = 50.

23 Pièce équilibrée et triangle de Pascal ★★★

On lance 10 fois une pièce équilibrée. X est le nombre de « face ».

1. Montre que P(X = k) = C(10 ; k) ÷ 1024.
2. Sachant que C(10 ; 5) = 252, C(10 ; 4) = 210 et C(10 ; 3) = 120, calcule P(X = 5) et P(3 ≤ X ≤ 7).
3. Justifie sans calcul que la somme des C(10 ; k) pour k de 0 à 10 vaut 1024.