Dérivation, composée et convexité : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Dérivées de composées / 4 pts

1. f′(x) = 5 × 4 × (4x − 1)⁴ = 20(4x − 1)⁴. (1 pt)
2. g′(x) = −3e^−3x+1. (1 pt)
3. x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4 > 0, donc h est dérivable sur ℝ et h′(x) = 2x−22√(x²−2x+5) = x−1√(x²−2x+5). (1 pt)
4. k′(x) = 2e^2x + (2x + 5) × 2e^2x = (4x + 12)e^2x = 4(x + 3)e^2x. (1 pt)

2 Étude d’une fonction (calculatrice autorisée) / 6 pts

1. f′(x) = −e^x + (1 − x)e^x = −xe^x. (1 pt)
2. e^x > 0 : f′ a le signe de −x. f croît sur ]−∞ ; 0], décroît sur [0 ; +∞[ ; maximum f(0) = 1. En +∞, 1 − x → −∞ et e^x → +∞, donc f(x) → −∞. (1,5 pt : 0,5 sens, 0,5 limite, 0,5 tableau)

   x	−∞		0		+∞
   f′(x)		+	0	−
   f	0	↗	1	↘	−∞

3. f″(x) = −e^x − xe^x = −(x + 1)e^x. f″ > 0 ⇔ x < −1 : f est convexe sur ]−∞ ; −1] et concave sur [−1 ; +∞[. (1,5 pt)
4. f″ s’annule en −1 en changeant de signe : point d’inflexion A(−1 ; 2e⁻¹) (car f(−1) = 2e⁻¹ ≈ 0,74). f′(−1) = e⁻¹. Tangente : y = e⁻¹(x + 1) + 2e⁻¹ = e⁻¹(x + 3). (2 pts : 1 justification, 0,5 coordonnées, 0,5 tangente)

3 Lecture d’une dérivée / 4 pts

1. f est convexe là où f′ croît : sur [−3 ; 0] et sur [3 ; 5] ; concave là où f′ décroît : sur [0 ; 3]. (1 pt)
2. La convexité change en 0 et en 3 : points d’inflexion d’abscisses 0 et 3. (1 pt)
3. Sur chacun des trois intervalles, f′ est continue et strictement monotone. Sur [−3 ; 0] elle passe de −2 à 1 : une solution (théorème des valeurs intermédiaires, 0 est entre −2 et 1). Sur [0 ; 3] elle passe de 1 à −3 : une solution. Sur [3 ; 5] elle passe de −3 à 2 : une solution. Il y a donc 3 solutions. (1,5 pt)
4. Oui : f′(−3) = −2 < 0 et f′ est continue, donc f′ < 0 au voisinage de −3 : f est décroissante. (0,5 pt)

4 Optimisation : la canette (calculatrice autorisée) / 4 pts

1. V = πr²h = 330, d’où h = 330πr². L’aire totale vaut 2πr² (deux disques) + 2πrh (côté) = 2πr² + 660r. (1 pt)
2. S′(r) = 4πr − 660r² = 4πr³−660r². Elle s’annule pour 4πr³ = 660, soit r³ = 165π. (1 pt)
3. S″(r) = 4π + 1320r³ > 0 : S est convexe sur ]0 ; +∞[, donc son minimum est atteint là où S′ = 0. (1 pt) r = (165/π)^1/3 ≈ 3,74 cm et h = 330πr² ≈ 7,49 cm (on remarque que h = 2r). La surface minimale est environ 264,4 cm². (1 pt)

5 Une inégalité par convexité / 2 pts

1. L’exponentielle est convexe sur ℝ (dérivée seconde e^t > 0) : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d’équation y = t + 1. (1 pt)

2. Avec t = −x : e^−x ≥ 1 − x > 0 puisque x < 1. En passant à l’inverse (tout est positif) : e^x ≤ 11−x. (1 pt)