Dérivation, composée et convexité : contrôle de maths Terminale

1 Dérivées de composées / 4 pts

Dérive chacune des fonctions sur l’intervalle indiqué :

1. f(x) = (4x − 1)⁵ sur ℝ
2. g(x) = e^−3x+1 sur ℝ
3. h(x) = √(x² − 2x + 5) sur ℝ
4. k(x) = (2x + 5)e^2x sur ℝ

2 Étude d’une fonction (calculatrice autorisée) / 6 pts

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (1 − x)e^x. On admet que f(x) → 0 quand x → −∞.

1. Montre que f′(x) = −xe^x.
2. Étudie le sens de variation de f, calcule la limite de f en +∞ et dresse le tableau de variations.
3. Montre que f″(x) = −(x + 1)e^x et étudie la convexité de f.
4. Justifie que la courbe admet un point d’inflexion A, donne ses coordonnées exactes et une équation de la tangente en A.

3 Lecture d’une dérivée / 4 pts

Soit f une fonction deux fois dérivable sur [−3 ; 5]. Sa dérivée f′ est croissante sur [−3 ; 0] de −2 à 1, décroissante sur [0 ; 3] de 1 à −3, croissante sur [3 ; 5] de −3 à 2.

1. Donne les intervalles de convexité et de concavité de f.
2. Quelles sont les abscisses des points d’inflexion de la courbe de f ?
3. Combien l’équation f′(x) = 0 a-t-elle de solutions dans [−3 ; 5] ? Justifie.
4. Peut-on affirmer que f est décroissante au voisinage de x = −3 ? Justifie.

4 Optimisation : la canette (calculatrice autorisée) / 4 pts

On fabrique une canette cylindrique, sans épaisseur, de volume 330 cm³, de rayon r cm et de hauteur h cm. On cherche r qui minimise la quantité de métal, c’est-à-dire l’aire totale S.

1. Exprime h en fonction de r, puis montre que S(r) = 2πr² + 660r pour r > 0.
2. Calcule S′(r) et montre qu’elle s’annule pour r³ = 165π.
3. Justifie que S admet un minimum en cette valeur de r (étudie S″), puis donne r et h arrondis au centième.

5 Une inégalité par convexité / 2 pts

1. Justifie que pour tout réel t, e^t ≥ t + 1.

2. En déduire que, pour tout réel x < 1, e^x ≤ 11−x.