Dérivation, composée et convexité : exercices de maths Terminale

1 Composées avec l’exponentielle ★★★

Dérive chacune des fonctions sur ℝ :

1. f(x) = e^5x−1
2. g(x) = e^x²+1
3. h(x) = e^−x²+3x
4. k(x) = 3e^−2x

2 Composées avec une puissance ★★★

Dérive :

1. f(x) = (3x + 1)⁴ sur ℝ
2. g(x) = (x² − x + 2)³ sur ℝ
3. h(x) = (1 − 2x)⁵ sur ℝ
4. k(x) = 1(2x−1)² sur ]12 ; +∞[

3 Composées avec une racine ★★★

Précise l’ensemble de dérivabilité puis dérive :

1. f(x) = √(2x + 5)
2. g(x) = √(x² + 1)
3. h(x) = √(3 − x)

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. La dérivée de x ↦ e^x² est x ↦ e^x².
2. La dérivée de x ↦ (x + 1)³ est x ↦ 3(x + 1)².
3. La dérivée de x ↦ √(x² + 1) est x ↦ 12√(x²+1).
4. La fonction x ↦ e^−x est décroissante sur ℝ.

5 Dérivée seconde et inflexion ★★★

Soit f(x) = x³ − 6x² + 2.

1. Calcule f′(x) et f″(x).
2. Étudie la convexité de f.
3. Montre que la courbe admet un point d’inflexion et donne ses coordonnées.

6 Lire un tableau de variations de f′ ★★★

Soit f une fonction deux fois dérivable sur ℝ. Le tableau de variations de sa dérivée f′ est : f′ croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 2], croissante sur [2 ; +∞[, avec f′(−1) = 3 et f′(2) = −1.

1. Sur quels intervalles f est-elle convexe ? concave ?
2. La courbe a-t-elle des points d’inflexion ? Lesquels (abscisses) ?
3. Que peut-on dire du sens de variation de f au voisinage de 2 ?

7 Convexité des fonctions de référence ★★★

Étudie la convexité de : a. x ↦ x⁴ sur ℝ ; b. x ↦ √x sur ]0 ; +∞[ ; c. x ↦ 1x sur ℝ*.

8 Une fonction toujours croissante ★★★

Soit f(x) = (2x − 1)e^x² sur ℝ.

1. Calcule f′(x).
2. Montre que f est strictement croissante sur ℝ.
3. Donne l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.

9 Un minimum pour une puissance ★★★

Soit g(x) = (x² + 1)³ sur ℝ.

1. Calcule g′ et dresse le tableau de variations.
2. Calcule g″ et étudie la convexité.

10 Une racine dans un produit ★★★

Soit h(x) = x√(x + 1) sur ]−1 ; +∞[.

1. Montre que h′(x) = 3x+22√(x+1).
2. Dresse le tableau de variations de h ; donne son minimum (valeur exacte puis approchée au millième).
3. Admet que h″(x) = 3x+44(x+1)√(x+1). Que peut-on dire de la convexité ?

11 Une courbe qui s’aplatit ★★★

Soit f(x) = xe^−x sur ℝ.

1. Montre que f′(x) = (1 − x)e^−x et que f″(x) = (x − 2)e^−x.
2. Étudie les variations et la convexité de f.
3. Détermine l’équation de la tangente au point d’inflexion.

12 Quatre degrés, deux inflexions ★★★

Soit f(x) = x⁴ − 8x³ + 18x² sur ℝ. Calcule f′ et f″, factorise-les, puis détermine la convexité de f et ses points d’inflexion.

13 Une inégalité par la convexité ★★★

1. Justifie que pour tout réel x, e^x ≥ x + 1.

2. En déduire que, pour tout réel x, e^−x² ≥ 1 − x².

3. Montre que pour tout x < 1, e^x ≤ 11−x.

14 Tangente qui traverse la courbe ★★★

Soit f(x) = x³ − 3x² + 2x.

1. Montre que la courbe a un unique point d’inflexion A, et donne ses coordonnées.
2. Détermine l’équation de la tangente T en A.
3. Montre que f(x) − (−x + 1) = (x − 1)³. Que peut-on dire de la position de la courbe par rapport à T ?

15 La boîte de volume maximal ★★★

Dans une feuille de carton rectangulaire de 30 cm sur 20 cm, on découpe un carré de côté x cm à chaque coin, puis on replie pour former une boîte sans couvercle.

1. Quel est l’intervalle de variation de x ?
2. Montre que le volume est V(x) = 4x³ − 100x² + 600x.
3. Étudie les variations de V.
4. Pour quelle valeur de x le volume est-il maximal ? Donne la valeur de x au centième et le volume maximal arrondi au cm³.

16 Étude complète ★★★

Soit f(x) = (x² + x + 1)e^−x sur ℝ. On admet que f(x) tend vers 0 quand x → +∞.

1. Calcule f′ et f″ ; vérifie que f′(x) = −x(x − 1)e^−x et f″(x) = (x² − 3x + 1)e^−x.
2. Dresse le tableau de variations complet de f.
3. Étudie la convexité et donne les abscisses des points d’inflexion.
4. Trace l’allure de la courbe.

17 Le point le plus proche ★★★

Dans un repère orthonormé, on considère la courbe de la fonction racine carrée et le point A(4 ; 0). Pour x ≥ 0, M(x ; √x) est un point de la courbe.

1. Montre que AM² = x² − 7x + 16.
2. En déduire la position de M qui minimise la distance AM, puis la distance minimale (valeur exacte et valeur approchée au centième).
3. Retrouve le résultat en dérivant directement d(x) = √(x² − 7x + 16).

18 La courbe en cloche ★★★

Soit f(x) = e^−x² sur ℝ.

1. Calcule f′ et f″ et dresse le tableau de variations de f.
2. Étudie la convexité de f et détermine ses points d’inflexion.
3. Montre que f(x) ≥ 1 − x² pour tout réel x (on pourra utiliser e^t ≥ t + 1).

19 Trouver les paramètres ★★★

Soit f(x) = (ax + b)e^−x, avec a et b deux réels. On sait que f(0) = 2 et que la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscisse 3.

1. Exprime f′ et f″ en fonction de a et b.
2. Détermine a et b.
3. Étudie alors les variations de f et vérifie que l’abscisse 3 correspond bien à un point d’inflexion.

20 Une composée de deux fonctions ★★★

Soit f(x) = √(e^x + 1) sur ℝ.

1. Justifie que f est dérivable sur ℝ et calcule f′.
2. Calcule f″ et montre que f est convexe sur ℝ.
3. Détermine l’équation de la tangente en 0, puis démontre que pour tout réel x, √(e^x + 1) ≥ √24(x + 4).

21 Vrai ou faux avec contre-exemple ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donne un contre-exemple.

1. Si f′(a) = 0, alors le point d’abscisse a est un point d’inflexion.
2. Si f″(a) = 0, alors le point d’abscisse a est un point d’inflexion.
3. Si f est convexe sur ℝ, alors f est croissante sur ℝ.
4. Si f est convexe sur I, alors f′ est croissante sur I.
5. La somme de deux fonctions convexes sur I est convexe sur I.