Fonctions trigonométriques : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Valeurs exactes / 3 pts

Barème : 0,75 point par valeur.

1. cos 7π6 = cos(π + π6) = −cos π6 = −√32.
2. sin(−3π4) = −sin 3π4 = −sin(π − π4) = −sin π4 = −√22.
3. 13π3 = π3 + 4π, donc cos 13π3 = cos π3 = 12.
4. sin 11π6 = sin(2π − π6) = −sin π6 = −12.

2 Limite, parité et période / 3 pts

1. sin 5x2x = 52 × sin 5x5x → 52 × 1 = 52. (1 pt)
2. En divisant numérateur et dénominateur par x (> 0) : 2x + cos xx + 1 = (2 + cos x/x) / (1 + 1/x). Comme |cos x| ≤ 1, on a −1/x ≤ cos x/x ≤ 1/x, donc cos x/x → 0 (gendarmes). Le numérateur tend vers 2, le dénominateur vers 1 : la limite est 2. (1 pt)
3. f(−x) = sin(−x) cos(−x) = −sin x cos x = −f(x) : impaire. (0,5 pt) f(x + π) = sin(x + π) cos(x + π) = (−sin x)(−cos x) = f(x) : π est une période. (0,5 pt)

3 Équations et inéquation / 4 pts

1. sin x = √32 = sin π3 ⇔ x = π3 ou x = 2π3. S = {π3 ; 2π3}. (1,5 pt)
2. Avec X = cos x : 2X² + X − 1 = 0, discriminant 9, X = −1 + 34 = 12 ou X = −1 − 34 = −1. cos x = 12 ⇔ x = π3 ou 5π3 ; cos x = −1 ⇔ x = π. S = {π3 ; π ; 5π3}. (1,5 pt)
3. sin x = −12 pour x = 7π6 et x = 11π6 dans [0 ; 2π]. Le sinus est strictement supérieur à −12 avant 7π6 et après 11π6 : S = [0 ; 7π/6[ ∪ ]11π/6 ; 2π]. (1 pt)

4 Étude d’une fonction / 5 pts

1. f(−x) = −2 sin x + sin 2x = −f(x) : impaire ; f(x + 2π) = 2 sin(x + 2π) − sin(2x + 4π) = f(x). On étudie sur [0 ; π] et on complète par symétrie par rapport à O puis par translations. (1 pt)
2. f′(x) = 2cos x − 2cos 2x = 2cos x − 2(2cos² x − 1) = −4cos² x + 2cos x + 2 = −2(2cos² x − cos x − 1). Or (2cos x + 1)(cos x − 1) = 2cos² x − 2cos x + cos x − 1 = 2cos² x − cos x − 1. Donc f′(x) = −2(2cos x + 1)(cos x − 1). (1,5 pt)
3. Sur [0 ; π], cos x − 1 ≤ 0, donc −2(cos x − 1) ≥ 0 (nul seulement en 0) : f′ a le signe de 2cos x + 1, positif si x < 2π3. f(0) = 0 ; f(2π3) = 2 × √32 − sin 4π3 = √3 + √32 = 3√32 ; f(π) = 0 − sin 2π = 0.

   x	0	2π3	π
   signe de f′	0 +	0 −
   variations de f	0 ↗	3√32 ↘	0

   (1,5 pt)

4. f′(0) = −2 × 3 × 0 = 0 et f(0) = 0 : tangente horizontale d’équation y = 0. (1 pt)

5 Un ressort / 3 pts

1. Amplitude 0,05 m ; période 2π4π = 0,5 s. (1 pt)
2. x′(t) = 0,05 × (−4π sin(4πt)) = −0,2π sin(4πt) m/s. (1 pt)
3. x(t) = 0 ⇔ cos(4πt) = 0 ⇔ 4πt = π2 + kπ. La plus petite valeur positive est 4πt = π2, soit t = 18 = 0,125 s. (1 pt)

6 Une démonstration / 2 pts

1. (cos x + sin x)² = cos² x + 2 sin x cos x + sin² x = 1 + sin 2x. (1 pt)
2. sin 2x ≤ 1, donc (cos x + sin x)² ≤ 2, soit |cos x + sin x| ≤ √2, c’est-à-dire −√2 ≤ cos x + sin x ≤ √2. (1 pt)