Fonctions trigonométriques : exercices de maths Terminale

1 Degrés et radians ★★★

Complète en justifiant :

1. Convertis en radians : 48° ; 110°.
2. Convertis en degrés : 7π10 rad ; 5π12 rad.
3. Quel est l’angle, en radians, d’un quart de tour ? d’un huitième de tour ?

2 Valeurs exactes ★★★

Sans calculatrice, donne la valeur exacte de :

1. cos 5π6
2. sin(−π3)
3. cos 7π4
4. sin 9π2
5. cos(−π)
6. cos 25π3

3 Parité ★★★

Étudie la parité de chaque fonction (définie sur ℝ, ou sur ℝ* pour la deuxième) :

1. f(x) = x³ cos x
2. g(x) = sin xx
3. h(x) = cos x + sin x
4. k(x) = sin x cos x

4 Périodes ★★★

Détermine une période de chaque fonction :

1. f(x) = cos 3x
2. g(x) = sin(x2)
3. h(x) = cos(πx)
4. k(x) = 3 sin(2x − 1) + 4

5 Premières dérivées ★★★

Calcule la dérivée de chaque fonction sur ℝ :

1. f(x) = 3cos x − 2sin x
2. g(x) = x² + sin x
3. h(x) = 5sin x − x
4. k(x) = cos x + 4x

6 Équations de base ★★★

Résous dans [0 ; 2π[ :

1. sin x = √32
2. cos x = −12
3. sin x = −1
4. cos x = 2

7 Encadrements et extrema ★★★

Pour tout réel x, −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1. Déduis-en un encadrement de :

1. 3cos x + 2
2. 1 − 2sin x
3. cos² x − 3

Pour chaque fonction, donne un réel x où le maximum est atteint et un réel x où le minimum est atteint.

8 Limites en 0 ★★★

En utilisant lim_x→0 sin xx = 1, calcule :

1. lim_x→0 sin 3xx
2. lim_x→0 sin x2x
3. lim_x→0 sin 4x3x
4. lim_x→0 xsin x

9 Dérivées composées ★★★

Dérive sur ℝ :

1. f(x) = sin(2x + 1)
2. g(x) = cos(x²)
3. h(x) = sin x cos x
4. k(x) = 12 + sin x
5. l(x) = cos³ x
6. m(x) = x² cos x

10 Limites en 0 et en l’infini ★★★

Calcule, en justifiant :

1. lim_x→0 1 − cos xx²
2. lim_x→0 tan xx
3. lim_x→+∞ x + sin xx
4. lim_x→+∞ cos xx² + 1

11 Doubler l’angle ★★★

Résous dans [0 ; 2π[ : cos 2x = 12.

12 Un angle décalé ★★★

Résous dans ]−π ; π] : sin(x − π4) = √22.

13 Un second degré en sinus ★★★

Résous dans [0 ; 2π[ : 2sin² x + sin x − 1 = 0.

14 Trois inéquations ★★★

Résous :

1. sin x ≥ 12 dans [0 ; 2π]
2. cos x < √32 dans [−π ; π]
3. 2cos x + 1 ≥ 0 dans [0 ; 2π]

15 Étude de cos _x_ + [[x/2]] ★★★

Soit f(x) = cos x + x2 sur [0 ; π].

1. Calcule f′(x) et résous f′(x) = 0.
2. Étudie le signe de f′ et dresse le tableau de variations de f.
3. Combien l’équation f(x) = 12 a-t-elle de solutions dans [0 ; π] ? Justifie.

16 Tangentes ★★★

Détermine une équation de la tangente à la courbe :

1. de la fonction sinus au point d’abscisse 0 ;
2. de la fonction cosinus au point d’abscisse π6 ;
3. de la fonction cosinus au point d’abscisse π2.

17 Étude de cos 2_x_ + 2cos _x_ ★★★

Soit f(x) = cos 2x + 2cos x sur ℝ.

1. Montre que f est paire et 2π-périodique. Sur quel intervalle suffit-il de l’étudier ?
2. Montre que f′(x) = −2 sin x (2cos x + 1).
3. Dresse le tableau de variations de f sur [0 ; π].
4. Résous f(x) = 0 sur [0 ; π] (valeur exacte du cosinus de la solution).

18 Une identité et une dérivée ★★★

Pour tout réel x, on pose f(x) = sin⁴ x − cos⁴ x.

1. Factorise f(x) à l’aide de a² − b² et montre que f(x) = −cos 2x.
2. Calcule f′(x) directement à partir de l’expression de départ, puis simplifie.
3. Vérifie que le résultat est cohérent avec la dérivée de −cos 2x.

19 Étude de [[sin x/2 + cos x]] ★★★

Soit g(x) = sin x2 + cos x sur ℝ.

1. Justifie que g est définie sur ℝ, impaire et 2π-périodique.
2. Montre que g′(x) = 2cos x + 1(2 + cos x)².
3. Dresse le tableau de variations de g sur [0 ; π].
4. En déduire que, pour tout réel x, |g(x)| ≤ √33.

20 Limites par encadrement ★★★

Calcule :

1. lim_x→+∞ x sin(1x)
2. lim_x→0 tan 2xsin 3x
3. lim_x→+∞ x cos xx² + 1
4. lim_x→0 sin xx² + x

21 Combiner cosinus et sinus ★★★

Résous dans [0 ; 2π[ : √3 cos x + sin x = 1.

Indication : développe cos(x − π6).

22 La grande roue ★★★

Une grande roue de rayon 15 m a son centre à 17 m du sol. Elle fait un tour en 60 s. La hauteur de la nacelle (en m) à l’instant t (en s, avec 0 ≤ t ≤ 60) est h(t) = 17 − 15 cos(πt30). À t = 0, la nacelle est en bas.

1. Vérifie que h est 60-périodique, puis calcule h(0), h(10), h(15) et h(30).
2. Donne le minimum et le maximum de h.
3. À quels instants la hauteur vaut-elle 24,5 m ? Pendant combien de temps la nacelle est-elle à plus de 24,5 m ?
4. Calcule h′(t). Quelle est la vitesse verticale maximale (en m/s, arrondie au centième) et à quels instants est-elle atteinte ?

23 La marée ★★★

Dans un port, la hauteur d’eau (en m) à l’heure t après minuit est modélisée par h(t) = 5 + 2 cos(π6(t − 2)), pour 0 ≤ t < 24. Un bateau ne peut quitter le port que si la hauteur d’eau est d’au moins 6 m.

1. Quelle est la période de la marée ? Quelles sont les hauteurs minimale et maximale ?
2. À quelle heure la mer est-elle haute ? basse ?
3. Détermine les créneaux horaires où le bateau peut sortir.
4. Calcule h′(t). À quelle vitesse maximale (en m/h, arrondie au centième) le niveau varie-t-il ?