Fonctions trigonométriques : contrôle de maths Terminale

1 Valeurs exactes / 3 pts

Sans calculatrice, donne la valeur exacte de : cos 7π6 ; sin(−3π4) ; cos 13π3 ; sin 11π6.

2 Limite, parité et période / 3 pts

Réponds en justifiant :

1. Calcule lim_x→0 sin 5x2x.
2. Calcule lim_x→+∞ 2x + cos xx + 1.
3. Soit f(x) = sin x cos x. Montre que f est impaire, puis que π est une période de f.

3 Équations et inéquation / 4 pts

Résous dans [0 ; 2π] :

1. 2 sin x − √3 = 0
2. 2cos² x + cos x − 1 = 0
3. sin x > −12

4 Étude d’une fonction / 5 pts

Soit f(x) = 2 sin x − sin 2x définie sur ℝ.

1. Montre que f est impaire et 2π-périodique. Que peut-on en conclure pour l’intervalle d’étude ?
2. Montre que f′(x) = −2(2cos x + 1)(cos x − 1).
3. Dresse le tableau de variations de f sur [0 ; π] (on donnera f(2π3) en valeur exacte).
4. Donne l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0.

5 Un ressort / 3 pts

Un ressort oscille verticalement. Son allongement (en m) à l’instant t (en s) est x(t) = 0,05 cos(4πt).

1. Donne l’amplitude et la période du mouvement.
2. Calcule la vitesse v(t) = x′(t).
3. À quel premier instant t > 0 le ressort passe-t-il par sa position d’équilibre (x(t) = 0) ?

6 Une démonstration / 2 pts

Pour tout réel x :

1. Montre que (cos x + sin x)² = 1 + sin 2x.
2. En déduire que −√2 ≤ cos x + sin x ≤ √2.