Calcul intégral : corrigé du contrôle de maths Terminale

Rate this post

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.

Sommaire

Barème : a) 1,5 pt ; b) 1,5 pt ; c) 1 pt. Calculatrice non nécessaire.

(1,5 pt) Primitive : F(x) = x² + 1x (car la dérivée de 1x est −1x²). F(3) = 9 + 13 = 283 et F(1) = 1 + 1 = 2. Intégrale = 283 − 2 = 223.
(1,5 pt) 3xe^x² = 32 × 2xe^x² = 32 u ′e^u avec u(x) = x². Primitive : 32 e^x². Intégrale = 32 (e − 1) = 3(e − 1)2.
(1 pt) Primitive : −3 cos x − sin x. En π/2 : 0 − 1 = −1 ; en 0 : −3 − 0 = −3. Intégrale = −1 − (−3) = 2.

Barème : a) 0,5 pt ; b) 1 pt ; c) 0,5 pt ; d) 1 pt. Calculatrice non nécessaire.

Barème : a) 2 pts ; b) 2 pts. Calculatrice non nécessaire.

(2 pts) v(x) = 2x + 1, v ′ = 2 ; u ′ = u = e^x (0,5 pt). Alors l’intégrale vaut [ (2x + 1)e^x ]₀¹ − ∫₀¹ 2e^x dx = (3e − 1) − 2(e − 1) (1 pt) = 3e − 1 − 2e + 2 = e + 1 (0,5 pt).
(2 pts) v(x) = ln x, v ′ = 1x ; u ′ = 1x², u = −1x (0,5 pt). L’intégrale vaut [ −ln xx ]₁^e + ∫₁^e 1x² dx = −1e + [ −1x ]₁^e (1 pt) = −1e + (−1e + 1) = 1 − 2e ≈ 0,26 (0,5 pt).

Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1,5 pt ; d) 1,5 pt. Calculatrice non nécessaire.

(1 pt) f(x) = g(x) ⇔ −x² + 2x = 0 ⇔ x(2 − x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2. Points (0 ; 0) et (2 ; 4).
(1 pt) f(x) − g(x) = x(2 − x) : produit de deux facteurs positifs sur [0 ; 2]. Donc 𝒞_f est au-dessus de 𝒞_g sur [0 ; 2].
(1,5 pt) Aire = ∫₀² (−x² + 2x) dx = [ −x³3 + x² ]₀² = −83 + 4 = 43 u.a. Une unité d’aire vaut 1 cm², donc l’aire est 43 ≈ 1,33 cm².
(1,5 pt) ∫₀⁴ (−x² + 4x) dx = [ −x³3 + 2x² ]₀⁴ = −643 + 32 = 323. Valeur moyenne = 14 × 323 = 83 ≈ 2,67.

Barème : a) 0,5 pt ; b) 2 pts ; c) 1 pt ; d) 0,5 pt. Calculatrice autorisée pour les valeurs approchées.

(0,5 pt) h = 2 − 15 = 0,2. La dérivée de 1x est −1x² < 0, donc la fonction est décroissante.
(2 pts) La fonction étant décroissante, la hauteur minimale sur un intervalle est prise à droite et la maximale à gauche. Somme basse (hauteurs à droite) : S_b = 0,2 × (11,2 + 11,4 + 11,6 + 11,8 + 12) ≈ 0,646 (1 pt). Somme haute (hauteurs à gauche) : S_h = 0,2 × (1 + 11,2 + 11,4 + 11,6 + 11,8) ≈ 0,746 (1 pt). Donc 0,646 ≤ L ≤ 0,746.
(1 pt) L = [ln x]₁² = ln 2 ≈ 0,693. Elle est bien comprise entre 0,646 et 0,746.
(0,5 pt) L’écart vaut (2 − 1)(f(1) − f(2))n = 1 − 0,5n = 0,5n. Il est inférieur à 0,001 si n > 500, donc à partir de n = 501 rectangles (500 donne exactement 0,001, qui n’est pas strictement inférieur).