Dans l’espace, tout se passe comme dans le plan… avec une dimension de plus ! Les vecteurs s’additionnent et se multiplient par un réel de la même façon, mais une troisième direction apparaît : il faut apprendre à reconnaître quand des points sont alignés, quand ils sont coplanaires, et comment repérer un point avec trois coordonnées. Dans ce chapitre, tu vas manipuler des vecteurs de l’espace, décrire des droites et des plans, étudier leurs positions relatives et écrire des représentations paramétriques de droites. C’est la base de toute la géométrie dans l’espace de Terminale.
1. Les vecteurs de l’espace
Un vecteur AB⃗ est défini par une direction, un sens et une longueur (la norme). Deux représentants (A, B) et (C, D) définissent le même vecteur lorsque le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Pour quatre points A, B, C, D de l’espace : AB⃗ = CD⃗ si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati), c’est-à-dire si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
Toutes les règles de calcul vues dans le plan restent vraies dans l’espace.
- Relation de Chasles : pour tous points A, B, C, on a AC⃗ = AB⃗ + BC⃗.
- AB⃗ + BA⃗ = 0⃗ ; le vecteur BA⃗ est l’opposé de AB⃗.
- Pour un réel k, ku⃗ est colinéaire à u⃗ ; on a k(u⃗ + v⃗) = ku⃗ + kv⃗ et (k + k′)u⃗ = ku⃗ + k′u⃗.
- Un point I est le milieu de [AB] si et seulement si AI⃗ = 12AB⃗, ou encore IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Pour tout point M, si I est le milieu de [AB], on a aussi MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗ : c’est une relation très pratique.
Un vecteur w⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs u⃗ et v⃗ s’il existe deux réels α et β tels que w⃗ = αu⃗ + βv⃗. On définit de même une combinaison linéaire de trois vecteurs : w⃗ = αu⃗ + βv⃗ + γt⃗.
Dans le cube ABCDEFGH, on pose u⃗ = AB⃗, v⃗ = AD⃗ et w⃗ = AE⃗. Exprimons la diagonale AG⃗. Comme ABCD est un carré, AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = AB⃗ + AD⃗. Comme ACGE est un rectangle, CG⃗ = AE⃗. Par Chasles, AG⃗ = AC⃗ + CG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = u⃗ + v⃗ + w⃗.
Pour exprimer un vecteur à l’aide d’autres vecteurs, passe toujours par un même point de départ (souvent l’origine de la base) et applique Chasles pas à pas. Évite de deviner : chaque égalité doit être justifiée par un parallélogramme ou une définition.
2. Colinéarité et droites de l’espace
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires lorsque l’un est un multiple de l’autre : il existe un réel k tel que u⃗ = kv⃗ (si v⃗ est non nul). Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
- Trois points A, B, C avec A ≠ B sont alignés si et seulement si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires.
- Une droite d de l’espace est déterminée par un point A et un vecteur directeur u⃗ non nul : M ∈ d ⇔ AM⃗ = ku⃗ pour un réel k.
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Choisis un des points comme origine (par exemple A).
- Exprime AB⃗ et AC⃗ avec les mêmes vecteurs de départ.
- Montre que l’un est un multiple de l’autre : AC⃗ = kAB⃗.
- Conclus : « AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés ».
Exemple. Dans un tétraèdre ABCD, les points P et Q vérifient AP⃗ = AB⃗ + 2AC⃗ et AQ⃗ = 3AB⃗ + 6AC⃗. Alors AQ⃗ = 3AP⃗, donc AP⃗ et AQ⃗ sont colinéaires et A, P, Q sont alignés.
Dans l’espace, deux droites qui n’ont aucun point commun ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être « non coplanaires ». Colinéarité de vecteurs directeurs et absence de point commun ne suffisent pas à conclure : vérifie toujours les deux !
3. Plans de l’espace et coplanarité
Un plan, c’est une « feuille plate infinie ». On peut le définir de deux manières équivalentes.
Un plan est déterminé :
- soit par trois points non alignés A, B, C : on le note (ABC) ;
- soit par un point A et deux vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗ (ses vecteurs directeurs) : on le note (A ; u⃗, v⃗).
Le plan (A ; u⃗, v⃗) est l’ensemble des points M tels que AM⃗ = αu⃗ + βv⃗ pour deux réels α et β. En particulier, M ∈ (ABC) ⇔ AM⃗ = αAB⃗ + βAC⃗.
Dans le cube ABCDEFGH, soit I le milieu de [FH]. Le plan (AFH) est dirigé par AF⃗ et AH⃗, non colinéaires. Comme I est le milieu de [FH], AI⃗ = 12AF⃗ + 12AH⃗ : I appartient au plan (AFH).
Des vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si, en prenant un point A et les points B, C, D tels que AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AD⃗ = w⃗, les points A, B, C, D sont dans un même plan.
Si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, alors u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si et seulement si w⃗ est une combinaison linéaire de u⃗ et v⃗ : il existe des réels α, β tels que w⃗ = αu⃗ + βv⃗.
Démonstration. Soit A un point, B, C, D tels que AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AD⃗ = w⃗. Comme u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan (ABC). Alors D ∈ (ABC) ⇔ AD⃗ = αAB⃗ + βAC⃗ (caractérisation d’un plan) ⇔ w⃗ = αu⃗ + βv⃗. Ainsi A, B, C, D sont coplanaires exactement quand w⃗ est combinaison linéaire de u⃗ et v⃗. ∎
Quatre points A, B, C, D (avec A, B, C non alignés) sont coplanaires si et seulement si AD⃗ = αAB⃗ + βAC⃗ pour des réels α et β.
Trois vecteurs non nuls peuvent très bien être coplanaires sans qu’aucun ne soit colinéaire à un autre ! Par exemple, trois côtés d’un même triangle sont coplanaires. La bonne question est : « l’un d’eux est-il combinaison linéaire des deux autres ? ».
4. Positions relatives, parallélisme et sections
Deux droites d et d′ de l’espace sont :
- coplanaires (dans un même plan) : alors elles sont sécantes en un point, ou strictement parallèles, ou confondues ;
- non coplanaires : elles n’ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.
Une droite d et un plan 𝒫 sont : strictement parallèles (aucun point commun), ou bien d est incluse dans 𝒫, ou bien d est sécante à 𝒫 en un unique point.
Deux plans 𝒫 et 𝒫′ sont : strictement parallèles, ou confondus, ou sécants selon une droite.
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.
- Une droite d est parallèle à un plan 𝒫 si et seulement si elle est parallèle à une droite de 𝒫 ; autrement dit si son vecteur directeur est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs de 𝒫.
- Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.
- Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et les deux droites d’intersection sont parallèles.
Soient 𝒫 et 𝒫′ deux plans sécants selon une droite d″. Si 𝒫 contient une droite d et 𝒫′ une droite d′ avec d // d′, alors d″ est parallèle à d et à d′.
Pourquoi ? Imagine le faîtage d’un toit : si les deux bords du bas (les gouttières) sont parallèles, la ligne du haut (le faîtage) leur est aussi parallèle.
- Dès que deux points du plan sont sur une même face, trace le segment qui les joint : c’est un côté de la section.
- Les faces opposées d’un cube sont parallèles : le plan les coupe selon des segments parallèles.
- Si c’est insuffisant, prolonge deux droites coplanaires pour obtenir un nouveau point commun avec le plan, puis recommence.
Dans le cube ABCDEFGH, I, J, K sont les milieux respectifs de [AB], [BC] et [CG].
- I et J sont sur la face ABCD, J et K sur la face BCGF : on trace [IJ] et [JK].
- Dans le plan de la face BCGF, les droites (JK) et (BF) sont sécantes en un point P (en dessous de B). Dans le triangle rectangle PBJ et le triangle rectangle KCJ, on a BJ = CJ et les angles en J sont opposés par le sommet : les triangles sont superposables et PB = KC, soit la moitié d’une arête. Le point P est aussi dans le plan de la face ABFE qui contient I : la droite (PI) coupe [AE] en N, et comme IA = IB, les triangles rectangles PBI et NAI sont superposables : AN = PB, la moitié d’une arête. Le point N est le milieu de [AE].
- Les faces BCGF et ADHE sont parallèles : le plan (IJK) coupe ADHE selon la parallèle à (JK) passant par N ; elle coupe [EH] en son milieu M.
- Les faces ABCD et EFGH sont parallèles : la section sur EFGH est la parallèle à (IJ) passant par M ; elle coupe [GH] en son milieu L.
- Il reste à joindre K et L (même face CDHG), et M et N (même face ADHE). La section est l’hexagone IJKLMN.
Les parties cachées d’une section se tracent en pointillés, comme les arêtes cachées du solide. Une section d’un cube par un plan est un polygone de 3 à 6 côtés : une face du cube contient au plus un côté de la section.
5. Décomposition d’un vecteur et bases de l’espace
Trois vecteurs i⃗, j⃗, k⃗ forment une base de l’espace s’ils sont non coplanaires, c’est-à-dire si aucun d’eux n’est combinaison linéaire des deux autres.
Si (i⃗, j⃗, k⃗) est une base de l’espace, alors tout vecteur u⃗ s’écrit de façon unique u⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Le triplet (x ; y ; z) forme les coordonnées de u⃗ dans cette base.
Démonstration de l’unicité. Supposons u⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ = x′i⃗ + y′j⃗ + z′k⃗. Alors (x − x′)i⃗ + (y − y′)j⃗ + (z − z′)k⃗ = 0⃗. Si x ≠ x′, on peut écrire i⃗ = −((y − y′) ÷ (x − x′))j⃗ − ((z − z′) ÷ (x − x′))k⃗ : i⃗ serait combinaison linéaire de j⃗ et k⃗, ce qui contredit le fait que ces trois vecteurs sont non coplanaires. Donc x = x′, et de même y = y′ et z = z′. ∎
Dans le tétraèdre ABCD, I est le milieu de [BC] et J le milieu de [AD]. Exprimons IJ⃗ dans la base (AB⃗, AC⃗, AD⃗). Les vecteurs sont non coplanaires car A, B, C, D ne sont pas dans un même plan.
IJ⃗ = IA⃗ + AJ⃗. Or AI⃗ = 12(AB⃗ + AC⃗) (milieu de [BC]) donc IA⃗ = −12AB⃗ − 12AC⃗. De plus AJ⃗ = 12AD⃗. Ainsi IJ⃗ = −12AB⃗ − 12AC⃗ + 12AD⃗.
- Choisis une base ou trois vecteurs « de référence » issus d’un même sommet (par exemple AB⃗, AC⃗, AD⃗).
- Écris le vecteur cherché en passant par ce sommet : MN⃗ = MA⃗ + AN⃗.
- Remplace chaque vecteur à l’aide des données (milieu, relation AM⃗ = kAB⃗…).
- Regroupe les termes pour obtenir une écriture du type xAB⃗ + yAC⃗ + zAD⃗.
6. Repérage dans l’espace et coordonnées
Un repère de l’espace est un quadruplet (O ; i⃗, j⃗, k⃗) formé d’un point O (l’origine) et d’une base (i⃗, j⃗, k⃗). Il est orthonormé si les trois vecteurs sont de norme 1 et perpendiculaires deux à deux.
Pour tout point M, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que OM⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Les réels x, y, z sont l’abscisse, l’ordonnée et la cote de M. On écrit M(x ; y ; z).
Pour A(xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), u⃗(a ; b ; c), v⃗(a′ ; b′ ; c′) et un réel k :
- AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) ;
- u⃗ + v⃗ a pour coordonnées (a + a′ ; b + b′ ; c + c′) et ku⃗ a pour coordonnées (ka ; kb ; kc) ;
- le milieu de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB) ÷ 2 ; (yA + yB) ÷ 2 ; (zA + zB) ÷ 2).
Dans le cube ABCDEFGH, (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗) est un repère. On lit : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1). Alors BH⃗ a pour coordonnées (0 − 1 ; 1 − 0 ; 1 − 0) = (−1 ; 1 ; 1) et le milieu de [EC] est le point de coordonnées (12 ; 12 ; 12).
Deux vecteurs u⃗(a ; b ; c) et v⃗(a′ ; b′ ; c′), avec v⃗ non nul, sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que (a ; b ; c) = k(a′ ; b′ ; c′), c’est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles.
- Vérifie d’abord que u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires.
- Écris l’égalité vectorielle w⃗ = αu⃗ + βv⃗ : elle donne un système de trois équations à deux inconnues α et β.
- Résous avec deux équations, puis teste la troisième.
- S’il y a une solution : les vecteurs sont coplanaires. Sinon : ils ne le sont pas, et forment une base.
Dans le repère du cube, le point G(1 ; 1 ; 1) est-il dans le plan (AFH) ? On a AF⃗(1 ; 0 ; 1), AH⃗(0 ; 1 ; 1) non colinéaires et AG⃗(1 ; 1 ; 1). L’égalité AG⃗ = αAF⃗ + βAH⃗ donne : 1 = α, 1 = β et 1 = α + β. Les deux premières équations donnent α = β = 1, mais alors α + β = 2 ≠ 1. Le système n’a pas de solution : G n’appartient pas au plan (AFH).
La formule de distance AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²) n’est valable que dans un repère orthonormé. Les cubes de ce chapitre sont repérés par (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗) : ce repère est orthonormé si l’arête vaut 1.
7. Représentations paramétriques d’une droite
Dans un repère de l’espace, la droite d passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u⃗(a ; b ; c) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) vérifiant, pour un réel t :
x = xA + ta ; y = yA + tb ; z = zA + tc (t ∈ ℝ).
Démonstration. M ∈ d ⇔ AM⃗ et u⃗ sont colinéaires ⇔ il existe t tel que AM⃗ = tu⃗. En traduisant avec les coordonnées de AM⃗, qui sont (x − xA ; y − yA ; z − zA), on obtient x − xA = ta, y − yA = tb et z − zA = tc. ∎
Le réel t est un paramètre : à chaque valeur de t correspond un point de la droite. Pour t = 0, on trouve A ; pour t = 1, on obtient le point A + u⃗. Si t décrit [0 ; 1] et que u⃗ = AB⃗, le point M décrit le segment [AB] ; pour t ≥ 0 il décrit la demi-droite [AB).
Une droite a une infinité de représentations paramétriques : on peut changer le point de départ ou remplacer le vecteur directeur par un vecteur colinéaire. Deux systèmes d’apparence différente peuvent donc décrire la même droite !
- Calcule un vecteur directeur : AB⃗(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
- Écris le système avec le point A (ou B) et ce vecteur.
Exemple. A(1 ; 0 ; 2) et B(4 ; −2 ; 3). On a AB⃗(3 ; −2 ; 1) donc (AB) : x = 1 + 3t, y = −2t, z = 2 + t.
- Remplace x, y, z par les coordonnées du point dans le système.
- Résous la première équation pour trouver t.
- Vérifie les deux autres équations avec cette valeur de t.
Exemple. Avec la droite précédente, le point C(7 ; −4 ; 4) : x = 7 donne t = 2 ; alors y = −4 et z = 4 : C ∈ (AB). En revanche D(7 ; −4 ; 5) n’y est pas (z = 4 ≠ 5 pour t = 2).
- Compare les vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires : prends un point de d et teste s’il est sur d′. Oui : droites confondues ; non : strictement parallèles.
- Sinon, écris les deux représentations paramétriques (avec deux paramètres différents t et s) et égalise les trois coordonnées.
- Si le système a une solution unique : les droites sont sécantes en ce point. S’il n’a pas de solution : elles sont non coplanaires.
d : x = 1 + 2t, y = −1 + t, z = 3 − t et d′ : x = 3 − s, y = s, z = 2 + s. Les vecteurs directeurs (2 ; 1 ; −1) et (−1 ; 1 ; 1) ne sont pas colinéaires. On résout 1 + 2t = 3 − s, −1 + t = s et 3 − t = 2 + s. La deuxième équation donne s = t − 1 ; la première devient 1 + 2t = 4 − t, donc t = 1 et s = 0. La troisième : 3 − 1 = 2 = 2 + 0 est vraie. Les droites sont sécantes au point de paramètre t = 1, soit (3 ; 0 ; 2).
Avec d″ : x = 3 − s, y = s, z = 3 + s à la place de d′, on trouve s = −t puis t = 12, et la première équation donne 2 = 72 : impossible. Les droites d et d″ sont non coplanaires.
8. Démontrer avec des vecteurs : stratégies et exemples
Les vecteurs permettent de démontrer sans se perdre dans la perspective. Voici deux grands types de raisonnements.
- Exprime les deux vecteurs concernés avec les mêmes vecteurs de base.
- Montre qu’ils sont égaux (parallélogramme) ou proportionnels (droites parallèles).
- Précise que les droites sont distinctes si besoin.
Dans un tétraèdre ABCD, soient I, J, K, L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Alors IJ⃗ = IB⃗ + BJ⃗ = 12AB⃗ + 12BC⃗ = 12AC⃗. De même LK⃗ = LD⃗ + DK⃗ = 12AD⃗ + 12DC⃗ = 12AC⃗. Donc IJ⃗ = LK⃗ : IJKL est un parallélogramme (en particulier plan), même si ABCD n’est pas plan.
- Repère deux vecteurs non colinéaires qui dirigent le plan.
- Exprime AM⃗ comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs.
- Conclus que M appartient au plan.
Dans le cube ABCDEFGH, soit O′ le centre de la face EFGH. Le plan (ACE) est dirigé par AC⃗ et AE⃗ (non colinéaires). Comme O′ est le milieu de [EG], AO′⃗ = AE⃗ + EO′⃗ = AE⃗ + 12EG⃗ = AE⃗ + 12AC⃗, puisque EG⃗ = AC⃗. Donc O′ appartient au plan (ACE).
Avant de te lancer dans un calcul, fais un petit schéma en perspective et repère les milieux, les parallélogrammes et les faces parallèles : ils t’indiquent presque toujours quelles relations de Chasles utiliser. Un bon croquis, c’est la moitié de la démonstration !
À retenir
- Chasles : AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ ; I milieu de [AB] ⇔ AI⃗ = 12AB⃗.
- Colinéarité : u⃗ = kv⃗. Trois points A, B, C sont alignés ⇔ AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires. Droite (A ; u⃗) : M ∈ d ⇔ AM⃗ = ku⃗.
- Plan (A ; u⃗, v⃗) avec u⃗, v⃗ non colinéaires : M ∈ plan ⇔ AM⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- Coplanarité : w⃗ est combinaison linéaire de u⃗ et v⃗ ⇔ u⃗, v⃗, w⃗ coplanaires. Trois vecteurs non coplanaires forment une base.
- Décomposition unique : u⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Un point M(x ; y ; z) ⇔ OM⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗.
- Coordonnées : AB⃗ (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA) ; milieu = moyenne des coordonnées ; vecteurs colinéaires ⇔ coordonnées proportionnelles.
- Positions relatives : deux droites (sécantes, parallèles, confondues, non coplanaires) ; droite/plan (parallèles, incluse, sécante) ; deux plans (parallèles, confondus, sécants selon une droite).
- Théorème du toit : d ⊂ 𝒫, d′ ⊂ 𝒫′, d // d′ ⇒ la droite 𝒫 ∩ 𝒫′ est parallèle à d et d′.
- Représentation paramétrique de la droite (A ; u⃗(a ; b ; c)) : x = xA + ta, y = yA + tb, z = zA + tc, t ∈ ℝ.
- Deux droites données par paramètres : vecteurs directeurs colinéaires ? sinon on résout le système pour trancher entre sécantes et non coplanaires.