1 Vrai ou faux (justifier) / 3 pts
Dans chaque cas, dis si l’affirmation est vraie ou fausse, et justifie la réponse (1 point chacune).
- « Si deux droites de l’espace n’ont aucun point commun, alors elles sont parallèles. »
- « Si w⃗ = 2u⃗ − 3v⃗, alors les vecteurs u⃗, v⃗ et w⃗ sont coplanaires. »
- « Les points A(1 ; 2 ; 3), B(−2 ; −4 ; −6) et O(0 ; 0 ; 0) sont alignés. »
2 Décomposition dans un tétraèdre / 4 pts
ABCD est un tétraèdre. M est le milieu de [AB], N est le point tel que CN⃗ = 23CD⃗, et P est le point tel que AP⃗ = −AB⃗ + AC⃗ + 2AD⃗. On travaille avec la base (AB⃗, AC⃗, AD⃗).
- Exprime AN⃗ en fonction de AB⃗, AC⃗, AD⃗. (1 pt)
- Exprime MN⃗. (1 pt)
- Exprime MP⃗. (1 pt)
- Montre que M, N et P sont alignés. (1 pt)
3 Coordonnées dans l’espace / 4 pts
Dans un repère de l’espace, on donne A(2 ; 1 ; −1), B(4 ; 0 ; 1) et C(5 ; 2 ; 4).
- Calcule les coordonnées de AB⃗ et AC⃗. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? (1 pt)
- Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. (1 pt)
- Montre que les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu et donne ses coordonnées. (1 pt)
- Le point E(3 ; −2 ; −2) appartient-il au plan (ABC) ? (1 pt)
4 Droites et représentations paramétriques / 4 pts
Dans un repère de l’espace, on donne A(1 ; 2 ; −1) et B(3 ; −2 ; 0).
- Donne une représentation paramétrique de la droite (AB). (1 pt)
- Les points C(−3 ; 10 ; −3) et D(5 ; −6 ; 2) appartiennent-ils à (AB) ? (1 pt)
- On considère la droite d′ : x = 4 + s, y = −7 + s, z = s. Montre que (AB) et d′ sont sécantes et donne leur point d’intersection. (2 pts)
5 Positions relatives dans un cube / 3 pts
ABCDEFGH est un cube de centre Ω. O est le centre de la face ABCD et O′ celui de la face EFGH.
- Quelle est la position relative de la droite (BD) et du plan (EFG) ? Justifie. (1 pt)
- Démontre que les plans (ACH) et (BEG) sont parallèles. (1 pt)
- Détermine l’intersection des plans (ACG) et (BDH). (1 pt)
6 Base de l’espace / 2 pts
Dans un repère de l’espace, on donne u⃗(1 ; 0 ; 1), v⃗(2 ; 1 ; 0), w⃗(1 ; 2 ; −1) et t⃗(3 ; 3 ; −1).
- Montre que (u⃗, v⃗, w⃗) est une base de l’espace. (1 pt)
- Détermine les coordonnées de t⃗ dans cette base. (1 pt)
