Vecteurs, droites et plans de l’espace : exercices de maths Terminale

1 Vecteurs égaux dans un cube ★★★

ABCDEFGH est un cube. Pour chaque égalité, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

1. AB⃗ = GH⃗
2. AC⃗ = EG⃗
3. BD⃗ = HF⃗
4. AF⃗ = DG⃗
5. AG⃗ = CE⃗

2 Simplifier des sommes de vecteurs ★★★

ABCDEFGH est un cube. Écris chaque somme à l’aide d’un seul vecteur dont les extrémités sont deux sommets du cube.

1. AB⃗ + BC⃗ + CG⃗
2. AD⃗ + HG⃗
3. AG⃗ − AC⃗
4. EF⃗ + FG⃗ + GC⃗

3 Coordonnées dans le repère du cube ★★★

ABCDEFGH est un cube. On munit l’espace du repère (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗).

1. Donne les coordonnées des points C, F, G et H.
2. Donne les coordonnées du centre O de la face ABCD, du milieu I de [EG], du milieu J de [BF] et du centre Ω du cube (milieu de [AG]).
3. Calcule les coordonnées du vecteur IJ⃗.

4 Coordonnées de vecteurs et de points ★★★

Dans un repère de l’espace, on donne A(1 ; 2 ; −1), B(3 ; −1 ; 0) et C(−2 ; 4 ; 5).

1. Calcule les coordonnées de AB⃗, AC⃗ et BC⃗.
2. Calcule les coordonnées de 2AB⃗ − AC⃗.
3. Détermine les coordonnées du milieu M de [BC].
4. Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

5 Colinéarité et alignement ★★★

1. Dans un repère, on donne u⃗(2 ; −4 ; 6), v⃗(−1 ; 2 ; −3), w⃗(3 ; 1 ; −2) et t⃗(1 ; −2 ; 3). Quels sont les couples de vecteurs colinéaires ?
2. Les points A(1 ; 1 ; 1), B(3 ; 2 ; 0), C(7 ; 4 ; −2) sont-ils alignés ? Et les points A, B et D(5 ; 3 ; 2) ?

6 Représentations paramétriques ★★★

1. Donne une représentation paramétrique de la droite (AB) avec A(2 ; −1 ; 3) et B(5 ; 1 ; 0).
2. Donne une représentation paramétrique de la droite d passant par C(0 ; 4 ; −2) et de vecteur directeur u⃗(1 ; −3 ; 2).
3. Le point P(−1 ; −3 ; 6) appartient-il à (AB) ? Les points M(3 ; −5 ; 2) et N(−2 ; 10 ; −6) appartiennent-ils à d ?

7 Positions relatives dans un cube ★★★

ABCDEFGH est un cube. Précise la position relative des droites et plans suivants (parallèles, sécants, non coplanaires…) et justifie.

1. (AB) et (GH)
2. (AD) et (FG)
3. (AB) et (CG)
4. (AC) et (BD)
5. (AB) et le plan (EFG)
6. (EC) et le plan (ABC)
7. les plans (ABF) et (DCG)
8. les plans (ACG) et (BDH)

8 Décomposer dans la base du cube ★★★

ABCDEFGH est un cube ; on note u⃗ = AB⃗, v⃗ = AD⃗ et w⃗ = AE⃗. K est le centre de la face EFGH et L le centre de la face BCGF.

Exprime chacun des vecteurs AG⃗, BH⃗, EC⃗, DF⃗ et KL⃗ comme combinaison linéaire de u⃗, v⃗ et w⃗.

9 Milieux et centre d’un tétraèdre ★★★

ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB], J celui de [CD] et K celui de [IJ]. M est le milieu de [AC] et N celui de [BD].

1. Exprime AI⃗ puis AJ⃗ en fonction de AB⃗, AC⃗ et AD⃗.
2. En déduire que AK⃗ = 14(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗).
3. Exprime de même AM⃗ et AN⃗, puis montre que [IJ] et [MN] ont le même milieu.

10 Quatre points sont-ils coplanaires ? ★★★

Dans un repère de l’espace, on donne A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 0), C(0 ; 3 ; 1), D(4 ; −1 ; −1) et E(0 ; 0 ; 0).

1. Montre que A, B, C ne sont pas alignés.
2. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ?
3. Les points A, B, C, E sont-ils coplanaires ?

11 Droites parallèles ou confondues ? ★★★

Dans un repère de l’espace, on considère les droites
d : x = 2 + t, y = 1 − 2t, z = −1 + t ;
d₁ : x = 5 − 2s, y = −5 + 4s, z = 2 − 2s ;
d₂ : x = 2s, y = −4s, z = 2s (t et s sont des réels).

Étudie la position relative de d et d₁, puis de d et d₂.

12 Droites sécantes : point d’intersection ★★★

Dans un repère de l’espace, on considère les droites
d₁ : x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3 + 2t ;
d₂ : x = 1 + 2s, y = 2 − 2s, z = 5 + 2s.

Montre que d₁ et d₂ sont sécantes et donne les coordonnées de leur point d’intersection.

13 Deux plans parallèles dans un cube ★★★

ABCDEFGH est un cube. Démontre que les plans (AFH) et (BDG) sont parallèles.

14 Théorème du toit dans une pyramide ★★★

SABCD est une pyramide de base le parallélogramme ABCD.

1. Justifie que les plans (SAB) et (SCD) sont sécants.
2. Montre que leur droite d’intersection est parallèle à (AB).
3. Que peut-on dire de l’intersection des plans (SAD) et (SBC) ?

15 Un parallélogramme caché dans un tétraèdre ★★★

ABCD est un tétraèdre. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [AC], [BD] et [CD].

1. Montre que IJ⃗ = 12BC⃗.
2. Montre de même que KL⃗ = 12BC⃗.
3. Que peut-on dire du quadrilatère IJLK ? Justifie.
4. Montre que la droite (IJ) est parallèle au plan (BCD).

16 Une relation dans la pyramide ★★★

SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme de centre O.

1. Démontre que SA⃗ + SC⃗ = SB⃗ + SD⃗.
2. En déduire que SA⃗ + SC⃗ = 2SO⃗.

17 Intersection avec les plans de coordonnées ★★★

Dans un repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗), on donne A(2 ; −1 ; 1) et B(4 ; 1 ; −3). Détermine les coordonnées des points où la droite (AB) coupe le plan (xOy), le plan (yOz) et le plan (xOz).

18 Deux droites non coplanaires ★★★

Dans un repère de l’espace, on considère d : x = t, y = 1 + t, z = 2 − t et d′ : x = 1 + s, y = 2s, z = 1 + s.

Montre que d et d′ sont non coplanaires.

19 Droite et plan : intersection ★★★

Dans un repère de l’espace, on considère le plan 𝒫 passant par A(1 ; 0 ; 0) et dirigé par u⃗(1 ; 1 ; 0) et v⃗(0 ; 1 ; 1), ainsi que les droites d : x = −1 + 3t, y = 5 − 2t, z = 2t et d′ : x = t, y = 2t, z = 2 + t.

1. Justifie que u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires et traduis M(x ; y ; z) ∈ 𝒫 par un système.
2. Montre que d coupe 𝒫 en un unique point dont tu donneras les coordonnées.
3. Montre que d′ est strictement parallèle à 𝒫.

20 Quatre milieux sont-ils coplanaires ? ★★★

ABCDEFGH est un cube de repère (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗). I, J, K et L sont les milieux respectifs de [BC], [BF], [EF] et [EH].

1. Donne les coordonnées de I, J, K, L.
2. Montre que IL⃗ = 2IK⃗ − 2IJ⃗.
3. En déduire que I, J, K, L sont coplanaires.
4. Le sommet D appartient-il au plan (IJK) ?

21 Le centre de gravité d’un tétraèdre ★★★

ABCD est un tétraèdre. A′ est le centre de gravité du triangle BCD, c’est-à-dire le point tel que A′B⃗ + A′C⃗ + A′D⃗ = 0⃗. Le point G est défini par AG⃗ = 14(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗).

1. Montre que AA′⃗ = 13(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗).
2. En déduire que G appartient au segment [AA′] et que AG = 34AA′.
3. Soit B′ le centre de gravité du triangle ACD. Montre de même que G appartient à [BB′]. Que peut-on en conclure ?

22 Base de l’espace et coordonnées ★★★

Dans un repère de l’espace, on considère les vecteurs u⃗(1 ; 2 ; 0), v⃗(0 ; 1 ; 1), w⃗(1 ; 0 ; 2) et t⃗(3 ; 3 ; 5).

1. Montre que (u⃗, v⃗, w⃗) est une base de l’espace.
2. Détermine les coordonnées de t⃗ dans cette base.

23 Les diagonales d’un parallélépipède ★★★

ABCDEFGH est un parallélépipède (les faces sont des parallélogrammes) avec AB⃗, AD⃗ et AE⃗ non coplanaires. On note u⃗ = AB⃗, v⃗ = AD⃗, w⃗ = AE⃗.

1. Exprime AG⃗, BH⃗, CE⃗ et DF⃗ dans la base (u⃗, v⃗, w⃗).
2. Soit M le milieu de [AG]. Montre que M est aussi le milieu de [BH], de [CE] et de [DF].

24 Section d’un cube par un plan ★★★

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [EF], J le milieu de [FG] et K le milieu de [CG]. On munit l’espace du repère (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗).

1. Donne les coordonnées de I, J, K et celles des vecteurs IJ⃗ et IK⃗. Les points I, J, K sont-ils alignés ?
2. Soient L le milieu de [CD], M le milieu de [AD] et N le milieu de [AE]. Montre que L, M et N appartiennent au plan (IJK).
3. Construis la section du cube par le plan (IJK) et nomme-la.