Dans ce chapitre, tu apprends à calculer des volumes (pyramide, cône, boule), l’aire d’une sphère, à prévoir ce qui se passe quand on agrandit ou réduit un objet, puis à manipuler les grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique. À la fin, tu sauras résoudre un problème qui mélange tout cela.
1. Rappels : aires, volumes et unités
Formules déjà connues
Rectangle : A = L × l · Triangle : A = b × h ÷ 2 · Disque : A = π × r² · Prisme droit ou cylindre : V = aire de la base × hauteur · Cylindre de rayon r et de hauteur h : V = π × r² × h.
Rectangle : A = L × l · Triangle : A = b × h ÷ 2 · Disque : A = π × r² · Prisme droit ou cylindre : V = aire de la base × hauteur · Cylindre de rayon r et de hauteur h : V = π × r² × h.
Convertir les unités
Pour les longueurs, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 10. Pour les aires, par 100 (car 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²). Pour les volumes, par 1 000 (car 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³).
Et pour les capacités : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc 1 mL = 1 cm³ et 1 m³ = 1 000 L.
Pour les longueurs, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 10. Pour les aires, par 100 (car 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²). Pour les volumes, par 1 000 (car 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³).
Et pour les capacités : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc 1 mL = 1 cm³ et 1 m³ = 1 000 L.
Exemple
3,2 m² = 3,2 × 10 000 cm² = 32 000 cm². 450 cm³ = 0,45 dm³ = 0,45 L. 0,6 m³ = 600 L.
3,2 m² = 3,2 × 10 000 cm² = 32 000 cm². 450 cm³ = 0,45 dm³ = 0,45 L. 0,6 m³ = 600 L.
Piège
Un coefficient de 10 ne vaut que pour les longueurs. Quand tu convertis une aire, tu changes deux dimensions (× 100) ; pour un volume, trois (× 1 000).
Un coefficient de 10 ne vaut que pour les longueurs. Quand tu convertis une aire, tu changes deux dimensions (× 100) ; pour un volume, trois (× 1 000).
2. Volume d’une pyramide
Pyramide
Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone (triangle, carré, rectangle…) et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point appelé sommet. Sa hauteur est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement.
Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone (triangle, carré, rectangle…) et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point appelé sommet. Sa hauteur est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement.
Volume d’une pyramide
V = 13 × B × h, où B est l’aire de la base et h la hauteur (dans la même unité de longueur).
V = 13 × B × h, où B est l’aire de la base et h la hauteur (dans la même unité de longueur).
Pourquoi un tiers ? Si tu découpes un cube en trois pyramides identiques ayant pour sommet un même coin du cube, chacune occupe exactement le tiers du cube : une pyramide a le même volume qu’un prisme de même base et même hauteur, divisé par trois.
Exemple
Pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm. B = 6 × 6 = 36 cm², donc V = 13 × 36 × 10 = 120 cm³.
Pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm. B = 6 × 6 = 36 cm², donc V = 13 × 36 × 10 = 120 cm³.
Piège
Ne confonds pas la hauteur de la pyramide (perpendiculaire à la base) avec la hauteur d’une face latérale qui est penchée. Seule la première sert dans la formule.
Ne confonds pas la hauteur de la pyramide (perpendiculaire à la base) avec la hauteur d’une face latérale qui est penchée. Seule la première sert dans la formule.
3. Volume d’un cône de révolution
Cône de révolution
C’est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés de l’angle droit. Sa base est un disque de rayon r, son sommet est S et sa hauteur h = SO, où O est le centre du disque.
C’est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés de l’angle droit. Sa base est un disque de rayon r, son sommet est S et sa hauteur h = SO, où O est le centre du disque.
Volume d’un cône
Comme pour la pyramide, V = 13 × B × h. Ici la base est un disque, donc B = π × r² et
V = 13 × π × r² × h.
Comme pour la pyramide, V = 13 × B × h. Ici la base est un disque, donc B = π × r² et
V = 13 × π × r² × h.
Exemple
Un cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm a pour volume V = 13 × π × 4² × 9 = 48π cm³ (valeur exacte). À la calculatrice, V ≈ 150,80 cm³ (au centième).
Un cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm a pour volume V = 13 × π × 4² × 9 = 48π cm³ (valeur exacte). À la calculatrice, V ≈ 150,80 cm³ (au centième).
Valeur exacte ou arrondi ?
Quand on te demande une « valeur exacte », garde π dans la réponse (48π). L’arrondi ne se fait qu’à la fin, à la précision demandée, et on écrit alors ≈.
Quand on te demande une « valeur exacte », garde π dans la réponse (48π). L’arrondi ne se fait qu’à la fin, à la précision demandée, et on écrit alors ≈.
4. La sphère et la boule
Sphère et boule
La sphère de centre O et de rayon r est la surface formée de tous les points situés à la distance r de O (comme la peau d’une orange). La boule est le solide plein qu’elle délimite (l’orange entière).
La sphère de centre O et de rayon r est la surface formée de tous les points situés à la distance r de O (comme la peau d’une orange). La boule est le solide plein qu’elle délimite (l’orange entière).
Deux formules à connaître
Aire de la sphère : A = 4 × π × r². Volume de la boule : V = 43 × π × r³.
Aire de la sphère : A = 4 × π × r². Volume de la boule : V = 43 × π × r³.
Exemple
Pour r = 3 cm : A = 4 × π × 3² = 36π ≈ 113,10 cm² et V = 43 × π × 3³ = 36π ≈ 113,10 cm³. Les deux nombres sont égaux, mais ils n’ont pas la même unité : on ne peut pas comparer une aire et un volume !
Pour r = 3 cm : A = 4 × π × 3² = 36π ≈ 113,10 cm² et V = 43 × π × 3³ = 36π ≈ 113,10 cm³. Les deux nombres sont égaux, mais ils n’ont pas la même unité : on ne peut pas comparer une aire et un volume !
Piège
Dans le volume, le rayon est au cube (r³) ; dans l’aire, au carré. Si on te donne le diamètre, commence par le diviser par 2. Calcule d’abord r³ puis multiplie par 4 et divise par 3.
Dans le volume, le rayon est au cube (r³) ; dans l’aire, au carré. Si on te donne le diamètre, commence par le diviser par 2. Calcule d’abord r³ puis multiplie par 4 et divise par 3.
Mathbot
« Mon conseil de robot : fais toujours une estimation avant d’appuyer sur la calculatrice. Une boule de rayon 5 cm tient dans un cube d’arête 10 cm, donc son volume doit être inférieur à 1 000 cm³ ! »
« Mon conseil de robot : fais toujours une estimation avant d’appuyer sur la calculatrice. Une boule de rayon 5 cm tient dans un cube d’arête 10 cm, donc son volume doit être inférieur à 1 000 cm³ ! »
5. Agrandissement et réduction
Agrandir, réduire
Agrandir ou réduire une figure ou un solide de rapport k (k > 0), c’est multiplier toutes ses longueurs par k, sans changer sa forme. Si k > 1, c’est un agrandissement ; si 0 < k < 1, c’est une réduction. Une maquette à l’échelle 150 est une réduction de rapport k = 150.
Agrandir ou réduire une figure ou un solide de rapport k (k > 0), c’est multiplier toutes ses longueurs par k, sans changer sa forme. Si k > 1, c’est un agrandissement ; si 0 < k < 1, c’est une réduction. Une maquette à l’échelle 150 est une réduction de rapport k = 150.
Effet sur les mesures
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k :
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k :
- les longueurs sont multipliées par k ;
- les aires sont multipliées par k² ;
- les volumes sont multipliés par k³ ;
- les angles ne changent pas.
| Rapport k | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|
| k = 2 | × 2 | × 4 | × 8 |
| k = 3 | × 3 | × 9 | × 27 |
| k = 0,5 | × 0,5 | × 0,25 | × 0,125 |
Exemple
Une boîte a un volume de 40 cm³ et une face de 18 cm². On l’agrandit avec k = 3 : la face devient 18 × 9 = 162 cm² et le volume 40 × 27 = 1 080 cm³. Si on double les dimensions d’un cube, son volume est multiplié par 8, pas par 2 !
Une boîte a un volume de 40 cm³ et une face de 18 cm². On l’agrandit avec k = 3 : la face devient 18 × 9 = 162 cm² et le volume 40 × 27 = 1 080 cm³. Si on double les dimensions d’un cube, son volume est multiplié par 8, pas par 2 !
Retrouver le rapport k
Si on connaît deux longueurs correspondantes : k = longueur finale ÷ longueur initiale. Si on connaît le rapport des aires, k est sa racine carrée. Si on connaît le rapport des volumes, k est sa racine cubique (exemple : volumes × 27, donc k = 3 car 3³ = 27).
Si on connaît deux longueurs correspondantes : k = longueur finale ÷ longueur initiale. Si on connaît le rapport des aires, k est sa racine carrée. Si on connaît le rapport des volumes, k est sa racine cubique (exemple : volumes × 27, donc k = 3 car 3³ = 27).
6. Sections par un plan parallèle à la base
Section d’une pyramide ou d’un cône
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, la section a la même forme que la base, en plus petit : c’est une réduction de la base. Le petit solide qui contient le sommet est lui aussi une réduction du grand, de rapport k = SO’ ÷ SO (distances du sommet aux deux plans).
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, la section a la même forme que la base, en plus petit : c’est une réduction de la base. Le petit solide qui contient le sommet est lui aussi une réduction du grand, de rapport k = SO’ ÷ SO (distances du sommet aux deux plans).
Exemple
La pyramide ci-dessus a une base carrée de côté 12 cm et une hauteur SO = 18 cm. On la coupe à 6 cm du sommet : SO’ = 6 cm, donc k = 618 = 13. Le côté de la section mesure 12 × 13 = 4 cm. Les volumes sont multipliés par k³ = 127 : le grand volume vaut 13 × 144 × 18 = 864 cm³, le petit 864 ÷ 27 = 32 cm³.
La pyramide ci-dessus a une base carrée de côté 12 cm et une hauteur SO = 18 cm. On la coupe à 6 cm du sommet : SO’ = 6 cm, donc k = 618 = 13. Le côté de la section mesure 12 × 13 = 4 cm. Les volumes sont multipliés par k³ = 127 : le grand volume vaut 13 × 144 × 18 = 864 cm³, le petit 864 ÷ 27 = 32 cm³.
Sphère
La section d’une boule par un plan est toujours un disque. Si le plan est à la distance d du centre, le rayon r’ du disque vérifie, grâce à Pythagore, r’² = R² − d².
La section d’une boule par un plan est toujours un disque. Si le plan est à la distance d du centre, le rayon r’ du disque vérifie, grâce à Pythagore, r’² = R² − d².
7. Les grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique
Grandeurs quotients
Une grandeur composée s’obtient en divisant deux grandeurs : la vitesse moyenne v = d ÷ t (distance parcourue divisée par la durée), le débit D = V ÷ t (volume écoulé divisé par la durée), la masse volumique ρ = m ÷ V (masse divisée par le volume : plus elle est grande, plus la matière est dense).
Une grandeur composée s’obtient en divisant deux grandeurs : la vitesse moyenne v = d ÷ t (distance parcourue divisée par la durée), le débit D = V ÷ t (volume écoulé divisé par la durée), la masse volumique ρ = m ÷ V (masse divisée par le volume : plus elle est grande, plus la matière est dense).
Trois relations, trois formes
d = v × t et t = d ÷ v · V = D × t et t = V ÷ D · m = ρ × V et V = m ÷ ρ.
Le triangle (d, v, t) est un bon moyen mnémotechnique : tu caches la grandeur cherchée.
d = v × t et t = d ÷ v · V = D × t et t = V ÷ D · m = ρ × V et V = m ÷ ρ.
Le triangle (d, v, t) est un bon moyen mnémotechnique : tu caches la grandeur cherchée.
Le piège des durées
Une durée « 1 h 30 » vaut 1,5 h, pas 1,30 h ! Convertis toujours les minutes en fraction d’heure : 20 min = 13 h ; 45 min = 0,75 h ; 6 min = 0,1 h.
Une durée « 1 h 30 » vaut 1,5 h, pas 1,30 h ! Convertis toujours les minutes en fraction d’heure : 20 min = 13 h ; 45 min = 0,75 h ; 6 min = 0,1 h.
Exemples
Un cycliste parcourt 36 km en 1 h 30 : v = 36 ÷ 1,5 = 24 km/h. Un robinet débite 9 L/min : pour remplir 45 L il faut 45 ÷ 9 = 5 min. Un bloc de 0,2 m³ d’un métal de masse volumique 2 700 kg/m³ a une masse de 2 700 × 0,2 = 540 kg.
Un cycliste parcourt 36 km en 1 h 30 : v = 36 ÷ 1,5 = 24 km/h. Un robinet débite 9 L/min : pour remplir 45 L il faut 45 ÷ 9 = 5 min. Un bloc de 0,2 m³ d’un métal de masse volumique 2 700 kg/m³ a une masse de 2 700 × 0,2 = 540 kg.
Vitesse moyenne
Ce n’est pas la moyenne des vitesses ! On divise la distance totale par la durée totale.
Ce n’est pas la moyenne des vitesses ! On divise la distance totale par la durée totale.
8. Convertir une grandeur composée
Méthode
On convertit l’unité du numérateur et celle du dénominateur séparément, puis on simplifie. Pour passer de km/h à m/s : 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s, donc on divise par 3,6 ; pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,6.
On convertit l’unité du numérateur et celle du dénominateur séparément, puis on simplifie. Pour passer de km/h à m/s : 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s, donc on divise par 3,6 ; pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,6.
Exemples
90 km/h = 90 ÷ 3,6 = 25 m/s. Le débit 2 L/s vaut 2 × 60 = 120 L/min, soit 120 × 60 = 7 200 L/h. La masse volumique 0,9 g/cm³ vaut 0,9 × 1 000 = 900 kg/m³ (car 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³).
90 km/h = 90 ÷ 3,6 = 25 m/s. Le débit 2 L/s vaut 2 × 60 = 120 L/min, soit 120 × 60 = 7 200 L/h. La masse volumique 0,9 g/cm³ vaut 0,9 × 1 000 = 900 kg/m³ (car 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³).
9. Résoudre un problème de synthèse
Démarche en 5 étapes
1) Fais un schéma et repère les solides. 2) Note les données avec leurs unités. 3) Convertis tout dans la même unité avant de calculer. 4) Applique la bonne formule (volume, aire, rapport k, vitesse, débit…) en écrivant le calcul. 5) Vérifie l’ordre de grandeur et rédige une phrase réponse avec l’unité.
1) Fais un schéma et repère les solides. 2) Note les données avec leurs unités. 3) Convertis tout dans la même unité avant de calculer. 4) Applique la bonne formule (volume, aire, rapport k, vitesse, débit…) en écrivant le calcul. 5) Vérifie l’ordre de grandeur et rédige une phrase réponse avec l’unité.
Exemple
Un cône de rayon 3 dm et de hauteur 5 dm est rempli de sable de masse volumique 1,6 kg/dm³. Volume : V = 13 × π × 3² × 5 = 15π ≈ 47,12 dm³. Masse : 47,12 × 1,6 ≈ 75,4 kg.
Un cône de rayon 3 dm et de hauteur 5 dm est rempli de sable de masse volumique 1,6 kg/dm³. Volume : V = 13 × π × 3² × 5 = 15π ≈ 47,12 dm³. Masse : 47,12 × 1,6 ≈ 75,4 kg.
À retenir
- Pyramide et cône : V = 13 × (aire de la base) × hauteur ; pour le cône, la base vaut π × r².
- Sphère : A = 4 × π × r². Boule : V = 43 × π × r³.
- Agrandissement ou réduction de rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- Une section parallèle à la base d’une pyramide ou d’un cône est une réduction de la base, de rapport k = SO’ ÷ SO.
- 1 L = 1 dm³ ; 1 m³ = 1 000 L ; aires : × 100 par unité, volumes : × 1 000 par unité.
- v = d ÷ t ; D = V ÷ t ; ρ = m ÷ V. De km/h à m/s, on divise par 3,6.
- Convertis les durées en heures décimales (1 h 30 = 1,5 h) et garde π dans les valeurs exactes.