Il fait −6 °C dehors, ton compte en banque affiche −12 € et le plongeur est à −20 m. Pour décrire ces situations, les nombres que tu connais ne suffisent plus : il te faut les nombres relatifs. Dans ce chapitre, tu apprends à les reconnaître, à les placer sur une droite, à les comparer, puis à les additionner et les soustraire.
1. Des nombres avec un signe
Nombre relatif
Un nombre relatif est composé d’un signe (+ ou −) et d’une distance à zéro. Un nombre précédé de + est positif, un nombre précédé de − est négatif. Le nombre 0 n’a pas de signe : il est à la fois positif et négatif.
Un nombre relatif est composé d’un signe (+ ou −) et d’une distance à zéro. Un nombre précédé de + est positif, un nombre précédé de − est négatif. Le nombre 0 n’a pas de signe : il est à la fois positif et négatif.
Exemples
(−7) est négatif : son signe est − et sa distance à zéro est 7. (+3,5) est positif : son signe est + et sa distance à zéro est 3,5. On écrit souvent 3,5 au lieu de (+3,5) : le signe + peut être omis.
(−7) est négatif : son signe est − et sa distance à zéro est 7. (+3,5) est positif : son signe est + et sa distance à zéro est 3,5. On écrit souvent 3,5 au lieu de (+3,5) : le signe + peut être omis.
Les nombres relatifs servent à décrire des situations où l’on peut aller « de l’autre côté » de zéro :
- une température : −4 °C (sous zéro) ou +15 °C ;
- une altitude : +300 m (au-dessus du niveau de la mer) ou −40 m (en dessous) ;
- un solde : +50 € (tu as de l’argent) ou −20 € (tu en dois) ;
- un étage d’immeuble : −2 pour le deuxième sous-sol.
Piège
Un nombre négatif n’est pas « un nombre sans valeur » : −8 est très loin de zéro, plus loin que −2 ! La distance à zéro indique l’éloignement, le signe indique le côté.
Un nombre négatif n’est pas « un nombre sans valeur » : −8 est très loin de zéro, plus loin que −2 ! La distance à zéro indique l’éloignement, le signe indique le côté.
2. La droite graduée
Abscisse
Sur une droite graduée, on choisit un point O appelé origine, une unité de longueur et un sens (vers la droite en général). Les nombres positifs sont à droite de l’origine, les nombres négatifs à gauche. Le nombre associé à un point est son abscisse. On écrit A(−2,5) pour dire que le point A a pour abscisse −2,5.
Sur une droite graduée, on choisit un point O appelé origine, une unité de longueur et un sens (vers la droite en général). Les nombres positifs sont à droite de l’origine, les nombres négatifs à gauche. Le nombre associé à un point est son abscisse. On écrit A(−2,5) pour dire que le point A a pour abscisse −2,5.
Ici une unité est partagée en 10 : chaque petite graduation vaut 0,1. A(−2,5) ; B(−0,8) ; C(1,3).
Lire ou placer une abscisse
1) Repère l’origine 0 et le sens positif. 2) Compte le nombre d’unités entières entre 0 et le point, du bon côté. 3) Compte ensuite les petites graduations. Pour −0,8, on part de 0 et on recule de 8 graduations de 0,1.
1) Repère l’origine 0 et le sens positif. 2) Compte le nombre d’unités entières entre 0 et le point, du bon côté. 3) Compte ensuite les petites graduations. Pour −0,8, on part de 0 et on recule de 8 graduations de 0,1.
3. Opposé d’un nombre et distance à zéro
Nombres opposés
Deux nombres sont opposés quand leur somme est égale à 0. Sur la droite graduée, leurs points sont symétriques par rapport à l’origine. L’opposé de (+5) est (−5) ; l’opposé de (−2,4) est (+2,4) ; l’opposé de 0 est 0.
Deux nombres sont opposés quand leur somme est égale à 0. Sur la droite graduée, leurs points sont symétriques par rapport à l’origine. L’opposé de (+5) est (−5) ; l’opposé de (−2,4) est (+2,4) ; l’opposé de 0 est 0.
A(−3) et B(3) sont opposés ; C(−1,5) et D(1,5) aussi.
Valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, c’est-à-dire le nombre sans son signe. On la note |a|. Par exemple |−7| = 7 et |4,2| = 4,2. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro.
La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, c’est-à-dire le nombre sans son signe. On la note |a|. Par exemple |−7| = 7 et |4,2| = 4,2. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro.
À savoir
L’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui-même : −(−9) = 9.
L’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui-même : −(−9) = 9.
4. Comparer des nombres relatifs
Règles de comparaison
• Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif : −100 < 1.
• Deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : 7 > 4.
• Deux nombres négatifs : c’est le contraire ! Le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : −3 > −8.
• Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif : −100 < 1.
• Deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : 7 > 4.
• Deux nombres négatifs : c’est le contraire ! Le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : −3 > −8.
Ranger des nombres
Place-les mentalement sur une droite graduée : plus un point est à droite, plus le nombre est grand. Pour l’ordre croissant, lis de la gauche vers la droite.
Place-les mentalement sur une droite graduée : plus un point est à droite, plus le nombre est grand. Pour l’ordre croissant, lis de la gauche vers la droite.
Exemple
Rangeons dans l’ordre croissant : 2,5 ; −6 ; −1,2 ; 0 ; −6,4. Les négatifs d’abord, en commençant par celui qui est le plus éloigné de zéro : −6,4 < −6 < −1,2, puis 0, puis 2,5. Réponse : −6,4 < −6 < −1,2 < 0 < 2,5.
Rangeons dans l’ordre croissant : 2,5 ; −6 ; −1,2 ; 0 ; −6,4. Les négatifs d’abord, en commençant par celui qui est le plus éloigné de zéro : −6,4 < −6 < −1,2, puis 0, puis 2,5. Réponse : −6,4 < −6 < −1,2 < 0 < 2,5.
Piège classique
Il fait −10 °C lundi et −3 °C mardi : mardi est plus chaud, car −3 > −10. Ne te laisse pas tromper par « 10 est plus grand que 3 » !
Il fait −10 °C lundi et −3 °C mardi : mardi est plus chaud, car −3 > −10. Ne te laisse pas tromper par « 10 est plus grand que 3 » !
5. Additionner des nombres relatifs
Deux nombres de même signe
On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
(−4) + (−7) = −11 · (+2,5) + (+3,1) = 5,6
On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
(−4) + (−7) = −11 · (+2,5) + (+3,1) = 5,6
Deux nombres de signes contraires
On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
(+9) + (−5) = 4 · (−8) + (+3) = −5 · (+6) + (−6) = 0
On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
(+9) + (−5) = 4 · (−8) + (+3) = −5 · (+6) + (−6) = 0
Idée pour comprendre
Pense à un solde : ajouter (−5) revient à dépenser 5 €. Si tu as 9 € et que tu dépenses 5 €, il te reste 4 €. Si tu as −8 € (une dette) et que tu reçois 3 €, tu dois encore 5 €.
Pense à un solde : ajouter (−5) revient à dépenser 5 €. Si tu as 9 € et que tu dépenses 5 €, il te reste 4 €. Si tu as −8 € (une dette) et que tu reçois 3 €, tu dois encore 5 €.
Sur la droite : on part de A(−5) et on avance de 4 unités vers la droite : (−5) + (+4) = −1, point B.
Propriétés
On peut additionner dans n’importe quel ordre et regrouper les termes comme on veut. Pour aller vite, on regroupe les nombres opposés (leur somme fait 0) ou les nombres de même signe.
Exemple : (+7) + (−3) + (−7) + (+8) = ((+7) + (−7)) + (−3) + (+8) = 0 + 5 = 5.
On peut additionner dans n’importe quel ordre et regrouper les termes comme on veut. Pour aller vite, on regroupe les nombres opposés (leur somme fait 0) ou les nombres de même signe.
Exemple : (+7) + (−3) + (−7) + (+8) = ((+7) + (−7)) + (−3) + (+8) = 0 + 5 = 5.
6. Soustraire des nombres relatifs
Soustraire, c’est ajouter l’opposé
Pour tous nombres a et b : a − b = a + (−b). On transforme la soustraction en addition de l’opposé, puis on applique les règles de l’addition.
Pour tous nombres a et b : a − b = a + (−b). On transforme la soustraction en addition de l’opposé, puis on applique les règles de l’addition.
Exemples
(+5) − (+8) = (+5) + (−8) = −3
(−2) − (−6) = (−2) + (+6) = 4
(−7) − (+4) = (−7) + (−4) = −11
(+5) − (+8) = (+5) + (−8) = −3
(−2) − (−6) = (−2) + (+6) = 4
(−7) − (+4) = (−7) + (−4) = −11
Avec une distance
Pour savoir de combien deux points sont éloignés sur une droite, on soustrait la plus petite abscisse de la plus grande. Entre −3 et 5 : 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 unités.
Pour savoir de combien deux points sont éloignés sur une droite, on soustrait la plus petite abscisse de la plus grande. Entre −3 et 5 : 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 unités.
Piège
Soustraire un nombre négatif augmente le résultat : 4 − (−6) = 4 + 6 = 10, et non −2. Écris toujours l’étape « + opposé ».
Soustraire un nombre négatif augmente le résultat : 4 − (−6) = 4 + 6 = 10, et non −2. Écris toujours l’étape « + opposé ».
7. Enchaîner additions et soustractions
Méthode en trois étapes
1) Transforme chaque soustraction en addition de l’opposé : il ne reste que des additions. 2) Supprime les parenthèses et les signes + superflus : on obtient une écriture simplifiée. 3) Regroupe les termes positifs d’un côté, les termes négatifs de l’autre, puis calcule.
1) Transforme chaque soustraction en addition de l’opposé : il ne reste que des additions. 2) Supprime les parenthèses et les signes + superflus : on obtient une écriture simplifiée. 3) Regroupe les termes positifs d’un côté, les termes négatifs de l’autre, puis calcule.
Exemple
S = (−3) + (+8) − (−5) − (+2)
S = (−3) + (+8) + (+5) + (−2)
S = −3 + 8 + 5 − 2 (écriture simplifiée)
S = (8 + 5) + (−3 − 2) = 13 + (−5) = 8
S = (−3) + (+8) − (−5) − (+2)
S = (−3) + (+8) + (+5) + (−2)
S = −3 + 8 + 5 − 2 (écriture simplifiée)
S = (8 + 5) + (−3 − 2) = 13 + (−5) = 8
Mathbot
« Dans une écriture simplifiée, chaque nombre garde le signe qui est juste devant lui. Entoure-le avec son signe avant de regrouper : tu ne l’oublieras plus ! »
« Dans une écriture simplifiée, chaque nombre garde le signe qui est juste devant lui. Entoure-le avec son signe avant de regrouper : tu ne l’oublieras plus ! »
8. Résoudre un problème
La plupart des problèmes avec des relatifs se traitent en trois temps : traduire chaque donnée par un nombre relatif (gain positif, perte négative), écrire le calcul avec des parenthèses, conclure par une phrase avec l’unité.
Exemple
À 6 h, il fait −4 °C. La température monte de 7 °C jusqu’à midi, puis baisse de 5 °C le soir. Température finale : (−4) + (+7) + (−5) = 3 + (−5) = −2. Le soir, il fait −2 °C.
À 6 h, il fait −4 °C. La température monte de 7 °C jusqu’à midi, puis baisse de 5 °C le soir. Température finale : (−4) + (+7) + (−5) = 3 + (−5) = −2. Le soir, il fait −2 °C.
À retenir
- Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro ; 0 n’a pas de signe.
- Deux nombres opposés ont une somme nulle et des points symétriques par rapport à l’origine.
- Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.
- Même signe : on additionne les distances et on garde le signe. Signes contraires : on soustrait les distances et on garde le signe de la plus grande.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : a − b = a + (−b).
- Dans une suite d’additions et de soustractions, on simplifie l’écriture puis on regroupe positifs et négatifs.