Transformations géométriques : exercices de maths 5ème

1 Points symétriques par rapport à une droite ★★★

Sur le quadrillage ci-dessous, la droite (d) est un axe de symétrie.

1. Quels points sont symétriques l’un de l’autre par rapport à (d) ?
2. Quel point est son propre symétrique ?
3. Le point H a un symétrique qui n’est pas marqué : quelles sont ses coordonnées ?

2 Vrai ou faux ? (axiale) ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

1. Deux segments symétriques par rapport à une droite ont la même longueur.
2. Si A’ est le symétrique de A par rapport à (d), alors (d) passe par le milieu de [AA’].
3. Un angle de 40° a pour symétrique un angle de 140°.
4. Le symétrique d’un point de l’axe est un autre point de l’axe, différent du premier.
5. Un triangle de 12 cm² d’aire a un symétrique de 12 cm² d’aire.

3 Déplacements sur le quadrillage ★★★

Le point O est le centre d’une symétrie centrale. Décris la position du symétrique de chaque point.

1. A est à 4 carreaux à gauche et 3 carreaux en dessous de O.
2. B est à 2 carreaux à droite et 5 carreaux au-dessus de O.
3. C est à 3 carreaux à droite de O, sur la même ligne.
4. D est le point O lui-même.

4 Le milieu du segment ★★★

Dans chaque cas, le point O est le centre de la symétrie centrale.

1. M’ est le symétrique de M et OM = 3,4 cm. Calcule OM’ puis MM’.
2. P’ est le symétrique de P et PP’ = 9 cm. Calcule OP.
3. R, O et S sont alignés, avec RO = 2,6 cm et OS = 2,6 cm. Les points R et S sont-ils symétriques par rapport à O ? Pourquoi ?

5 Axes et centre des lettres ★★★

On considère les lettres majuscules suivantes, écrites en caractères « bâton » (comme sur une plaque) : H, A, Z, E, X, L, F. Pour chacune, donne le nombre d’axes de symétrie et dis si elle a un centre de symétrie. Présente ta réponse dans un tableau.

6 Image d’un triangle par un demi-tour ★★★

Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm et AC = 3 cm (un carreau mesure 1 cm, donc BC = 5 cm). On construit son symétrique A’B’C’ par rapport au point O.

1. Construis A’B’C’ puis donne les coordonnées de A’, B’ et C’.
2. Donne la longueur A’B’, la mesure de l’angle ∠B’A’C’, le périmètre et l’aire de A’B’C’.
3. Que peux-tu dire des droites (AB) et (A’B’) ?

7 Longueurs, angles, périmètre ★★★

Le triangle EFG a pour dimensions EF = 5 cm, FG = 3,5 cm, EG = 6 cm et l’angle ∠EFG = 88°. Le triangle E’F’G’ est son symétrique par rapport à un point O.

1. Donne les longueurs E’F’, F’G’ et E’G’.
2. Quelle est la mesure de ∠E’F’G’ ?
3. Calcule le périmètre de E’F’G’.
4. Si le triangle EFG a une aire d’environ 8,7 cm², quelle est l’aire de E’F’G’ ?

8 Un axe en diagonale ★★★

Sur le quadrillage, la droite (d) passe par les coins opposés. Les coordonnées de A, B, C sont A (1 ; 3), B (2 ; 6) et C (4 ; 5).

1. Construis le symétrique A’B’C’ du triangle ABC par rapport à (d).
2. Donne les coordonnées de A’, B’ et C’. Que remarques-tu ?

9 Deux symétries à la suite sur une droite ★★★

Trois points A, B, C sont alignés dans cet ordre, avec AB = 3 cm et BC = 2 cm. On construit :

• le point D, symétrique de A par rapport à C ;
• le point E, symétrique de C par rapport à B.

1. Calcule AC, puis CD, puis AD.
2. Où se trouve E sur la droite ? Calcule AE.
3. Calcule la longueur DE.

10 Diagonales d’un parallélogramme ★★★

ABCD est un parallélogramme de centre O. On donne AC = 9,4 cm, BD = 6 cm, AB = 4,6 cm et ∠AOB = 70°.

1. Calcule OA, OB, OC et OD.
2. Donne la mesure de ∠COD. Justifie.
3. Quelle est la mesure de ∠BOC ?
4. Calcule le périmètre du triangle AOB, puis celui du triangle COD. Que remarques-tu ?

11 Est-ce un parallélogramme ? ★★★

Dans chaque cas, les diagonales [MP] et [NQ] du quadrilatère MNPQ se coupent en I. Peut-on affirmer que MNPQ est un parallélogramme ? Justifie.

1. IM = IP = 2,6 cm et IN = IQ = 1,9 cm.
2. IM = 2,6 cm, IP = 2,5 cm et IN = IQ = 1,9 cm.

12 Cherche le centre ★★★

La figure ci-dessous est formée de quatre carreaux.

1. Cette figure possède-t-elle un centre de symétrie ? Si oui, place-le.
2. Possède-t-elle un axe de symétrie ? Explique.

13 Trouve l’erreur dans les constructions ★★★

Des élèves doivent construire le symétrique A’ d’un point A par rapport à une droite (d). Dis si chaque construction est juste ou fausse et explique.

1. Léo place A’ tel que (AA’) est parallèle à (d).
2. Mia place A’ sur la perpendiculaire à (d) passant par A, mais à une distance de (d) deux fois plus grande que celle de A.
3. Zoé place A’ sur la perpendiculaire à (d) passant par A, de l’autre côté de (d), à la même distance de (d) que A.

Ensuite, pour une symétrie centrale de centre O, Tom place A’ sur la droite (OA), du même côté de O que A, avec OA’ = OA. Est-ce juste ?

14 Polygones réguliers ★★★

Complète le tableau en donnant, pour chaque polygone régulier, le nombre d’axes de symétrie et en précisant s’il y a un centre de symétrie.

Quelle règle peux-tu énoncer pour un polygone régulier à n côtés ? Combien d’axes et un centre pour un polygone régulier à 12 côtés ?

15 Pièces d’un pavage ★★★

Ce pavage est fait de 12 pièces identiques numérotées.

1. Quelle pièce est le symétrique de la pièce 6 par rapport au point K ?
2. Quelle pièce est le symétrique de la pièce 4 par rapport au point P ?
3. Quelle pièce est le symétrique de la pièce 1 par rapport au point R ?

16 Étudier une frise ★★★

Une frise est formée de triangles qui se suivent, pointe en haut puis pointe en bas, comme dans la figure ci-dessous (elle se prolonge à l’infini à gauche et à droite).

1. Cette frise a-t-elle des axes de symétrie verticaux ? Où passent-ils ?
2. A-t-elle un axe de symétrie horizontal ?
3. A-t-elle des centres de symétrie ? Où se trouvent-ils ?

17 Un programme de construction ★★★

Construis un parallélogramme ABCD de centre O tel que OA = 3,2 cm, OB = 2,5 cm et ∠AOB = 54°. Écris un programme de construction qui utilise la symétrie centrale, puis donne le périmètre approximatif sachant que AB ≈ 2,7 cm et BC ≈ 5,1 cm.

18 Deux demi-tours de suite ★★★

On reprend le pavage de l’exercice « Pièces d’un pavage ».

1. On effectue un demi-tour de la pièce 1 autour du point P, puis un demi-tour de la pièce obtenue autour du point M. Sur quelle pièce arrive-t-on ?
2. Comment passe-t-on directement de la pièce 1 à cette dernière pièce en regardant le pavage ?

19 Coordonnées et symétries ★★★

Dans un quadrillage gradué (l’origine est en bas à gauche), on donne A (2 ; 3), B (7 ; 6) et O (4 ; 4).

1. Donne les coordonnées de A’ et B’, symétriques de A et B par rapport à O.
2. Le point C’ (6 ; 4) est le symétrique d’un point C par rapport à O. Donne les coordonnées de C.
3. Le point M (1 ; 5) a pour symétrique M’ (9 ; 5) par rapport à une droite verticale (d). Donne l’équation de (d), c’est-à-dire l’abscisse des points de (d).

20 Le parc en parallélogramme ★★★

Un parc a la forme d’un parallélogramme ABCD. Ses diagonales [AC] et [BD] mesurent 120 m et 90 m. Elles se coupent en O, où se trouve une fontaine. Un jardinier plante un arbre en M sur la diagonale [AC], à 35 m de la fontaine, du côté de A. Il veut planter un second arbre en M’, symétrique de M par rapport à la fontaine.

1. Où doit-il placer M’ ? Calcule MM’.
2. Calcule la distance de M’ au sommet C.
3. Quel est le périmètre du triangle OBC si BC = 80 m ?

21 Démonstration avec un parallélogramme ★★★

ABCD est un parallélogramme de centre O. Le point M est sur le côté [AB]. On appelle M’ le symétrique de M par rapport à O.

1. Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à O ?
2. Démontre que M’ est sur le côté [CD].
3. Démontre que CM’ = AM.

22 Rosaces ★★★

La rosace ci-dessous est formée de 5 pétales identiques régulièrement répartis autour d’un centre.

1. Combien a-t-elle d’axes de symétrie ? A-t-elle un centre de symétrie ?
2. Même question pour une rosace du même type avec 6 pétales.
3. On colorie un seul pétale en rouge dans la rosace à 6 pétales. Que deviennent les axes et le centre ?