Corrigé des exercices de maths 4ème : Algorithmique et programmation

1 Remettre dans l’ordre ★★★

1. Un ordre possible : b, d, e, a, c (prendre le pain, le poser sur l’assiette, prendre le couteau et le beurre, étaler, puis ajouter la confiture). On ne peut pas étaler le beurre avant d’avoir posé la tranche ni ajouter la confiture avant le beurre.
2. Entrée : une tranche de pain, du beurre, de la confiture. Sortie : une tartine beurrée à la confiture.

2 Suivre une variable ★★★

Le programme affiche 12.

3 Un programme de calcul ★★★

1. Pour x = 2 : 2 + 4 = 6 ; 6 × 3 = 18 ; 18 − 5 = 13. Pour x = −1 : −1 + 4 = 3 ; 3 × 3 = 9 ; 9 − 5 = 4.
2. Le programme calcule 3(x + 4) − 5 = 3x + 12 − 5 = 3x + 7. Contrôle : pour x = 2, 3 × 2 + 7 = 13.
3. On résout 3x + 7 = 40, donc 3x = 33 et x = 11. Vérification : 11 + 4 = 15 ; 15 × 3 = 45 ; 45 − 5 = 40.

4 Admis ou à revoir ? ★★★

1. 14 ≥ 10 est vrai : « Admis ». 10 ≥ 10 est vrai : « Admis ». 9,5 ≥ 10 est faux : « À revoir ».
2. Il faut écrire note > 10 : pour 10, la condition 10 > 10 est fausse, donc le programme affiche « À revoir ».

5 Un carré de 30 pas ★★★

1. Un carré de côté 30 pas : 4 côtés égaux et des tours de 90°.
2. 4 × 30 = 120 pas.
3. Après 4 répétitions, le lutin est revenu au départ, orienté comme au début. La 5ème répétition retrace le premier côté : la figure ne change pas, mais le lutin parcourt 150 pas.

6 Un triangle équilatéral ★★★

Il y a 3 côtés, donc on répète 3 fois. Le lutin fait un tour complet en tout, donc il tourne de 360 ÷ 3 = 120 degrés à chaque sommet. (L’angle intérieur du triangle est 60°, et 180° − 60° = 120°.)

7 Un hexagone ★★★

1. Un hexagone régulier de côté 20 pas.
2. 6 × 20 = 120 pas.
3. Parce que 360 ÷ 6 = 60 : pour revenir à sa direction de départ après 6 virages égaux, le lutin doit faire un tour complet.

8 Boucle « pour » et tableau ★★★

Le programme affiche 30. On le retrouve en calculant 2 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2 × 15 = 30.

9 Diviser par 2 tant que… ★★★

1. N prend les valeurs 50, 25, 12,5, 6,25, puis 3,125. À chaque tour, la condition N > 5 est testée avant : 50, 25, 12,5 et 6,25 sont tous supérieurs à 5, donc on divise ; 3,125 ne l’est pas.
2. La boucle fait 4 tours et affiche 3,125.
3. Départ à 200 : 200, 100, 50, 25, 12,5, 6,25 puis 3,125. Les six premières valeurs sont > 5, donc 6 tours, et on affiche encore 3,125.

10 Division par soustractions ★★★

À la fin, 5 < 6 : la boucle s’arrête. Q = 7 est le quotient et R = 5 le reste de la division euclidienne. On a 47 = 6 × 7 + 5.

11 Une tirelire ★★★

1. Après 3 tours : S = 120 + 3 × 15 = 165 € et sem = 3.
2. Après k semaines, S = 120 + 15k. On cherche le plus petit entier k tel que 120 + 15k ≥ 300, soit 15k ≥ 180, donc k ≥ 12. Pour k = 12 : S = 120 + 180 = 300 €, la condition S < 300 est fausse et le programme s’arrête avec sem = 12. Phrase réponse : Lina atteint 300 € au bout de 12 semaines.

12 Angles des polygones réguliers ★★★

1. On calcule 360 ÷ n : 360 ÷ 9 = 40° ; 360 ÷ 12 = 30° ; 360 ÷ 20 = 18°.
2. Le nombre de côtés est 360 ÷ 24 = 15.
3. 360 ÷ 36 = 10 côtés.

13 Position d’un lutin ★★★

À la fin, le lutin est en (40 ; −40). Vérification : −20 + 3 × 20 = 40 et 50 + 3 × (−30) = −40.

14 Tarif de piscine ★★★

1. 5 : 5 < 6 donc 0 €. 6 : 6 < 6 est faux, 6 < 18 est vrai : 4 €. 17 : 4 €. 18 : 18 < 18 est faux : 7 €. 70 : 7 €.
2. Ce sont les valeurs situées juste avant et juste après chaque seuil (5 et 6, 17 et 18) : c’est là qu’une erreur entre < et ≤ apparaît.

15 Deux variables qui s’échangent ★★★

Détail du tour 1 : C = 2 + 1 = 3, puis A reçoit l’ancienne valeur de B (1), puis B reçoit C (3). À la fin, A = 11 et B = 18. On voit que la variable C sert de « boîte provisoire » : sans elle, on perdrait une valeur.

16 Un rectangle avec une boucle ★★★

1. Un rectangle de 60 pas sur 40 pas (angles droits, côtés opposés égaux).
2. Périmètre : 2 × (60 + 40) = 200 pas. Aire : 60 × 40 = 2 400 pas².
3. Un tour contient 4 blocs ; sans boucle il en faudrait 2 × 4 = 8. La boucle les divise par deux.

17 Des bactéries ★★★

1. b prend les valeurs : 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768.
2. 384 ≤ 500 : on double encore et b = 768 > 500, le programme s’arrête. On a fait 8 doublements : h = 8 et b = 768.
3. 768 < 1 000 : on double encore, b = 1 536. Alors h = 9 et b = 1 536.

18 Multiples de 7 ★★★

1. Sont affichés : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 (soit 8 nombres). Ensuite n = 63 : la condition 63 < 60 est fausse, le programme s’arrête.
2. Il suffit de remplacer la condition par n ≤ 100. Les multiples sont 7 × 1 jusqu’à 7 × 14 = 98 (car 7 × 15 = 105 > 100) : il y en a 14.

19 Étoile à cinq branches ★★★

1. 5 × 144 = 720°, soit 2 tours complets (720 ÷ 360 = 2).
2. La rotation totale est un multiple de 360°, donc le lutin est de nouveau orienté comme au départ ; comme il a avancé 5 fois de la même longueur, il retombe sur son point de départ et la figure se ferme.
3. Il faut un nombre n tel que 100n soit un multiple de 360. 100n = 360m s’écrit 5n = 18m, donc le plus petit n est 18 (1 800° = 5 tours). Vérification : 100 × 18 = 1 800 = 5 × 360.

20 Chercher les erreurs ★★★

1. La variable n ne change jamais : c’est une boucle infinie. Il faut ajouter dans la boucle « n ← n + 1 ».
2. Pour un carré, l’angle de rotation est 360 ÷ 4 = 90°, pas 45°. Avec 45°, le lutin ferait une figure ouverte (il lui faudrait 8 répétitions). Il faut tourner de 90 degrés.
3. S n’a pas été initialisée : il manque « S ← 0 » avant la boucle. Avec cette ligne, le programme affiche 55 (1 + 2 + … + 10).

21 Le jeu de Nim ★★★

1. S’il en reste 4 et que c’est à toi de jouer, tu en retires 1, 2 ou 3 et ton adversaire prend le reste (3, 2 ou 1) : tu perds. S’il en reste 5, tu en retires 1 : il en reste 4 pour l’adversaire, qui est alors dans la situation perdante : tu gagnes.
2. Les situations perdantes pour celui qui joue sont 4, 8, 12, 16, 20 (multiples de 4). Avec 20 allumettes, le deuxième joueur gagne : si le premier retire a allumettes, le second en retire 4 − a. Il reste alors 16, puis 12, 8, 4, 0.
3. 18 n’est pas un multiple de 4 : on retire 2 allumettes pour laisser 16, puis on complète à 4 à chaque tour. Cette stratégie se programme : le lutin joue 4 − (ce que tu as retiré).

22 Le nombre mystère ★★★

1. 50 > 37 : « trop grand ». 25 < 37 : « trop petit ». 40 > 37 : « trop grand ». 35 < 37 : « trop petit ». 37 = 37 : « Bravo ». Le joueur a eu besoin de 5 essais.
2. En proposant le milieu, chaque réponse élimine la moitié des possibilités. Avec 100 nombres, il en reste environ 50, 25, 12, 6, 3, 2, 1 : au plus 7 essais. (On le voit aussi car 2⁶ = 64 < 100 ≤ 128 = 2⁷.)