Calcul intégral : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Intégrales et aires connues ★★★

1. La fonction x ↦ x3 est positive et affine sur [0 ; 6] : le domaine est un triangle rectangle de base 6 et de hauteur f(6) = 2. Son aire vaut 6 × 2 ÷ 2 = 6. Donc l’intégrale vaut 6.
2. x ↦ 5 − x est positive sur [1 ; 4] (valeurs de 4 à 1) : trapèze de bases 4 et 1 et de hauteur 3. Aire = (4 + 1) × 3 ÷ 2 = 7,5.
3. La fonction constante 2 sur [0 ; 3] : rectangle de largeur 3 et de hauteur 2. Aire = 6.
4. La courbe de x ↦ √(4 − x²) est le demi-cercle supérieur de centre O et de rayon 2 (car y = √(4 − x²) ⇔ x² + y² = 4 avec y ≥ 0). Aire du demi-disque = π × 2² ÷ 2 = 2π ≈ 6,28.

2 Calcul avec une primitive ★★★

1. Primitive : F(x) = x³ + x². Intégrale = F(2) − F(0) = (8 + 4) − 0 = 12.
2. Primitive : F(x) = 2x² − x. F(3) = 18 − 3 = 15 ; F(1) = 2 − 1 = 1. Intégrale = 15 − 1 = 14.
3. Primitive : F(x) = 2√x. F(4) = 4 ; F(1) = 2. Intégrale = 4 − 2 = 2.
4. Primitive : F(x) = [[e^2x/2]] (on vérifie : sa dérivée est [[2e^2x/2]] = e^2x). Intégrale = e² − 12 ≈ 3,19.

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est la propriété de positivité (l’intégrale est alors une aire).
2. Vrai : une primitive de x ↦ x³ est x⁴4, et 14 − 14 = 0 (la partie sous l’axe compense celle au-dessus).
3. Faux : ∫₀² x² dx = 83 ≈ 2,67 alors que ∫₀² x dx = 2 et 2² = 4.
4. Faux : contre-exemple f(x) = x sur [−1 ; 1] : l’intégrale vaut 12 − 12 = 0 mais f n’est pas nulle.
5. Vrai : ∫₃¹ x dx = − ∫₁³ x dx = −(92 − 12) = −4, car échanger les bornes change le signe.

4 Linéarité ★★★

1. Par linéarité : 2 × 3 − 3 × (−2) = 6 + 6 = 12.
2. ∫₀¹ f(x) dx + ∫₀¹ 4 dx = 3 + 4 × (1 − 0) = 7.
3. On échange les bornes : −3.
4. −2 − 3 = −5.

5 Relation de Chasles ★★★

1. Chasles : ∫₀⁷ f(x) dx = 5 + (−1) = 4. Puis ∫₇² f(x) dx = −(−1) = 1.
2. ∫₀⁵ f(x) dx = ∫₀² f(x) dx + ∫₂⁵ f(x) dx, donc ∫₂⁵ f(x) dx = 3 − 5 = −2.
3. ∫₂⁷ f(x) dx = ∫₂⁵ f(x) dx + ∫₅⁷ f(x) dx, donc ∫₅⁷ f(x) dx = −1 − (−2) = 1.

6 Lecture graphique ★★★

1. f(0) = 1, f(2) = 3, f(5) = 3, f(6) = 1.
2. La fonction est positive. On découpe en trois : un trapèze entre 0 et 2 (bases 1 et 3, hauteur 2) d’aire (1 + 3) × 2 ÷ 2 = 4 ; un rectangle entre 2 et 5 (largeur 3, hauteur 3) d’aire 9 ; un trapèze entre 5 et 6 (bases 3 et 1, hauteur 1) d’aire 2. D’après Chasles, ∫₀⁶ f(x) dx = 4 + 9 + 2 = 15.
3. Valeur moyenne = 156 = 2,5.

7 Valeurs moyennes simples ★★★

1. ∫₀⁴ (2x + 1) dx = [ x² + x ]₀⁴ = 20. Valeur moyenne = 204 = 5.
2. ∫₁⁶ 3 dx = 3 × 5 = 15. Valeur moyenne = 155 = 3 (la constante).
3. ∫₋₂⁴ x dx = [ x²2 ]₋₂⁴ = 8 − 2 = 6. Valeur moyenne = 66 = 1.
4. Milieu de [0 ; 4] : 2, et f(2) = 5 ✓. Milieu de [−2 ; 4] : 1, et h(1) = 1 ✓.

8 Signe et aire ★★★

Une primitive de f est F(x) = x³3 − x²2 − 2x.

1. Les racines de x² − x − 2 sont −1 et 2 (Δ = 9), donc f(x) = (x + 1)(x − 2). Le coefficient dominant est positif : f ≥ 0 sur ]−∞ ; −1] et sur [2 ; +∞[, et f ≤ 0 sur [−1 ; 2].
2. F(2) = 83 − 2 − 4 = −103 et F(−1) = −13 − 12 + 2 = 76. Donc ∫₋₁² f(x) dx = −206 − 76 = −276 = −92. Comme f ≤ 0 sur [−1 ; 2], l’opposé 92 est l’aire (en u.a.) du domaine entre la courbe et l’axe.
3. F(3) = 9 − 92 − 6 = −32 et F(−2) = −83 − 2 + 4 = −23. Donc ∫₋₂³ f(x) dx = −32 + 23 = −56. Ce n’est pas une aire car f change de signe.
   On découpe avec Chasles : sur [−2 ; −1], ∫₋₂⁻¹ f(x) dx = 76 + 23 = 116 (positive) ; sur [−1 ; 2], l’aire est 92 ; sur [2 ; 3], ∫₂³ f(x) dx = −32 + 103 = 116. Aire totale = 116 + 276 + 116 = 496 u.a. ≈ 8,17 u.a. (on vérifie : 116 + 116 − 276 = −56 ✓).

9 Primitives de forme u′·g(u) ★★★

1. [ e^x + x²2 ]₀¹ = (e + 12) − (1 + 0) = e − 12 ≈ 2,22.
2. Primitive de 1x² : −1x. [ −1x ]₁² = −12 − (−1) = 12.
3. On reconnaît u′u avec u(x) = x² + 1 > 0, de primitive ln(x² + 1). Intégrale = ln 2 − ln 1 = ln 2 ≈ 0,69.
4. 12 × 2x e^x² est de la forme 12 u ′e^u avec u(x) = x² ; une primitive est 12 e^x². Intégrale = 12 (e − 1) = e − 12 ≈ 0,86.

10 Fonctions composées ★★★

1. On a 12 × 2x(x² + 1)³, de la forme 12 u ′u³ avec u = x² + 1 ; primitive : 12 × (x²+1)⁴4 = (x²+1)⁴8. Intégrale = 2⁴ − 1⁴8 = 158.
2. 12 × 2xx² + 1 a pour primitive 12 ln(x² + 1). Intégrale = 12 (ln 5 − ln 1) = ln 52 ≈ 0,80.
3. 12 × 22x + 1 a pour primitive 12 ln(2x + 1) (2x + 1 > 0 sur [0 ; 1]). Intégrale = 12 (ln 3 − ln 1) = ln 32 ≈ 0,55.

11 Intégrales trigonométriques ★★★

1. Primitive : 2 sin x + cos x. Valeur : (2 × 1 + 0) − (0 + 1) = 1.
2. Une primitive de sin(2x) est −cos(2x)2 (dérivée : sin(2x)). Valeur : −cos(2π)2 + cos 02 = −12 + 12 = 0.
3. Une primitive de cos(2x) est sin(2x)2. Valeur : [[sin(π/3)/2]] − 0 = [[√3/2/2]] = √34 ≈ 0,43.
4. Le sinus est positif sur [0 ; π] ; l’aire est ∫₀^π sin x dx = [ −cos x ]₀^π = 1 + 1 = 2 u.a.

12 Encadrer sans calculer ★★★

1. Si 0 ≤ x ≤ 1, alors 0 ≤ x² ≤ 1, donc −1 ≤ −x² ≤ 0. La fonction exponentielle étant croissante, e⁻¹ ≤ e^−x² ≤ e⁰ = 1. En intégrant sur [0 ; 1] (longueur 1) : e⁻¹ ≤ J ≤ 1, soit 0,36 ≤ J ≤ 1.
2. On applique l’inégalité admise à t = −x² : e^−x² ≥ 1 − x². Par croissance de l’intégrale, J ≥ ∫₀¹ (1 − x²) dx = [ x − x³3 ]₀¹ = 1 − 13 = 23.
3. On a donc 23 ≤ J ≤ 1, soit 0,66 ≤ J ≤ 1. La calculatrice donne J ≈ 0,747, qui est bien dans cet intervalle.

13 Distance et vitesse moyenne ★★★

1. Une primitive de v est V(t) = 0,1t³ + 2t. Distance = V(10) − V(0) = (100 + 20) − 0 = 120 m.
2. Vitesse moyenne = 12010 = 12 m/s. Pour convertir : 12 × 3,6 = 43,2 km/h.
3. ∫₀³ x² dx = [ x³3 ]₀³ = 9, donc μ = 93 = 3. On résout c² = 3 avec c ∈ [0 ; 3] : c = √3 ≈ 1,73 (l’autre solution −√3 n’est pas dans l’intervalle).

14 Aire entre une parabole et une droite ★★★

1. x² = 2x + 3 ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 3) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 3.
2. g(x) − f(x) = −(x + 1)(x − 3), positif entre −1 et 3. La droite est donc au-dessus de la parabole sur [−1 ; 3] (vérification : en 0, g(0) = 3 > 0 = f(0)).
3. Une primitive de g − f est H(x) = x² + 3x − x³3. H(3) = 9 + 9 − 9 = 9 ; H(−1) = 1 − 3 + 13 = −53. Aire = 9 + 53 = 323 u.a. Comme 1 u.a. = 1 cm², l’aire est 323 ≈ 10,67 cm².

15 Intégrations par parties (1) ★★★

1. On pose v(x) = x + 1, v ′(x) = 1 ; u ′(x) = e^−x, u(x) = −e^−x. Alors ∫₀¹ (x+1)e^−x dx = [ −(x + 1)e^−x ]₀¹ + ∫₀¹ e^−x dx = (−2e⁻¹ + 1) + [−e^−x]₀¹ = (1 − 2e⁻¹) + (1 − e⁻¹) = 2 − 3e⁻¹ ≈ 0,90.
2. v(x) = x, v ′ = 1 ; u ′ = sin x, u = −cos x. ∫₀^π x sin x dx = [ −x cos x ]₀^π + ∫₀^π cos x dx = (π − 0) + [sin x]₀^π = π + 0 = π.
3. v(x) = x, u ′ = cos x, u = sin x. ∫₀^π/2 x cos x dx = [ x sin x ]₀^π/2 − ∫₀^π/2 sin x dx = π2 − [−cos x]₀^π/2 = π2 − (0 + 1) = π2 − 1 ≈ 0,57.

16 Intégrations par parties (2) avec le logarithme ★★★

1. v(x) = ln x, v ′ = 1x ; u ′ = x, u = x²2. ∫₁^e x ln x dx = [ x²2 ln x ]₁^e − ∫₁^e x2 dx = e²2 − [ x²4 ]₁^e = e²2 − e² − 14 = e² + 14 ≈ 2,10.
2. De même avec u ′ = x², u = x³3 : [ x³3 ln x ]₁^e − ∫₁^e x²3 dx = e³3 − e³ − 19 = 2e³ + 19 ≈ 4,57.
3. On écrit ln x = 1 × ln x : u ′ = 1, u = x. ∫₁² ln x dx = [ x ln x ]₁² − ∫₁² 1 dx = 2 ln 2 − 1 = 2 ln 2 − 1 ≈ 0,39.

17 Deux intégrations par parties ★★★

1. On pose v(x) = x², v ′(x) = 2x ; u ′(x) = u(x) = e^x. Alors K = [ x²·e^x ]₀¹ − ∫₀¹ 2x·e^x dx = e − 2 ∫₀¹ x·e^x dx.
2. Avec v(x) = x, u = e^x : ∫₀¹ x·e^x dx = [ x·e^x ]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx = e − (e − 1) = 1. Donc K = e − 2 × 1 = e − 2 ≈ 0,72.

18 Une suite d’intégrales ★★★

1. I₀ = ∫₀¹ e^x dx = e − 1.
2. On pose v(x) = xⁿ⁺¹, v ′(x) = (n + 1)xⁿ ; u ′ = u = e^x. Alors I_n+1 = [ xⁿ⁺¹e^x ]₀¹ − (n + 1) ∫₀¹ xⁿe^x dx = e − (n + 1)I_n.
3. I₁ = e − 1 × I₀ = e − (e − 1) = 1. I₂ = e − 2 × 1 = e − 2. I₃ = e − 3(e − 2) = 6 − 2e ≈ 0,56.
4. Sur [0 ; 1], 0 ≤ e^x ≤ e, donc 0 ≤ xⁿe^x ≤ exⁿ. Par croissance : 0 ≤ I_n ≤ e ∫₀¹ xⁿ dx = e [ [[xⁿ⁺¹/n+1]] ]₀¹ = en + 1. Comme en + 1 tend vers 0, le théorème des gendarmes donne lim I_n = 0.

19 Fonction définie par une intégrale ★★★

1. La fonction t ↦ e^−t² est continue sur [0 ; +∞[ ; d’après le théorème fondamental, F est la primitive de cette fonction qui s’annule en 0. Donc F est dérivable et F ′(x) = e^−x² > 0. F est strictement croissante et F(0) = ∫₀⁰ e^−t² dt = 0.
2. Pour tout t, e^−t² ≤ 1 (car −t² ≤ 0). Pour x ≥ 0, par croissance de l’intégrale, F(x) ≤ ∫₀^x 1 dt = x. En particulier F(1) ≤ 1.
3. Si t ≥ 1, alors t² ≥ t, donc −t² ≤ −t et e^−t² ≤ e^−t (exponentielle croissante). Pour x ≥ 1, Chasles donne F(x) = F(1) + ∫₁^x e^−t² dt ≤ 1 + ∫₁^x e^−t dt = 1 + e⁻¹ − e^−x ≤ 1 + e⁻¹.
4. F est croissante et majorée par 1 + e⁻¹ ≈ 1,37 : elle converge vers une limite finie quand x tend vers +∞ (cette limite vaut en fait √π2 ≈ 0,886, résultat admis ici).

20 Aire entre les courbes de exp(x) et exp(−x) ★★★

1. e^x = e^−x ⇔ e^2x = 1 (on multiplie par e^x > 0) ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0. Le point commun est (0 ; 1).
2. Pour x ≥ 0, x ≥ −x donc e^x ≥ e^−x (exponentielle croissante) : f(x) − g(x) ≥ 0. La courbe de f est au-dessus.
3. Aire = ∫₀¹ (e^x − e^−x) dx = [ e^x + e^−x ]₀¹ = (e + e⁻¹) − 2 = e + e⁻¹ − 2 ≈ 1,09 u.a. (e ≈ 2,7183 et e⁻¹ ≈ 0,3679).

21 Remplissage d’une cuve ★★★

1. Q est dérivable. Q ′(t) = −2e^−t/2 − (2t + 4) × (−12)e^−t/2 = (−2 + t + 2)e^−t/2 = te^−t/2 = q(t). ✓
2. Volume = Q(4) − Q(0) = −12e⁻² − (−4) = 4 − 12e⁻² ≈ 4 − 1,624 = 2,38 L.
3. Débit moyen = 14 × (4 − 12e⁻²) = 1 − 3e⁻² ≈ 0,59 L/min. Le débit maximal est q(2) = 2e⁻¹ ≈ 0,74 L/min : le débit moyen lui est inférieur, ce qui est cohérent (le débit part de 0).

22 Méthode des rectangles et programme ★★★

1. La fonction racine carrée est croissante et positive sur [0 ; +∞[, donc sur [0 ; 1] (et continue).
2. Avec h = 0,2, les abscisses sont 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1. Somme basse : S_b = 0,2 × (√0 + √0,2 + √0,4 + √0,6 + √0,8) ≈ 0,2 × (0 + 0,4472 + 0,6325 + 0,7746 + 0,8944) = 0,2 × 2,7487 ≈ 0,550. Somme haute : S_h = 0,2 × (√0,2 + √0,4 + √0,6 + √0,8 + √1) ≈ 0,2 × 3,7487 ≈ 0,750. Donc 0,550 ≤ ∫₀¹ √x dx ≤ 0,750 ; la valeur 23 ≈ 0,667 est bien dans l’encadrement.
3. Le programme affiche les deux sommes de rectangles (« bas » : hauteurs prises aux bornes gauches ; « haut » : bornes droites) d’abord pour n = 5 : environ (0,550 ; 0,750), puis pour n = 100 : environ (0,6615 ; 0,6715). L’encadrement se resserre autour de 23.
4. L’écart vaut (b − a)(f(b) − f(a))n = (1 − 0)(1 − 0)n = 1n. Il est inférieur à 0,01 dès que 1n ≤ 0,01, c’est-à-dire n ≥ 100 (on le constate : 0,01 pour n = 100).