Dérivation, composée et convexité : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Composées avec l’exponentielle ★★★

1. On utilise (e^u)′ = u′e^u avec u(x) = 5x − 1, u′ = 5 : f′(x) = 5e^5x−1.
2. u(x) = x² + 1, u′(x) = 2x : g′(x) = 2xe^x²+1.
3. u(x) = −x² + 3x, u′(x) = −2x + 3 : h′(x) = (−2x + 3)e^−x²+3x.
4. Le facteur 3 est constant, u(x) = −2x, u′ = −2 : k′(x) = 3 × (−2)e^−2x = −6 e^−2x.

2 Composées avec une puissance ★★★

1. (u⁴)′ = 4u′u³ avec u′ = 3 : f′(x) = 12(3x + 1)³.
2. u′(x) = 2x − 1 : g′(x) = 3(2x − 1)(x² − x + 2)².
3. u′ = −2 : h′(x) = 5 × (−2)(1 − 2x)⁴ = −10(1 − 2x)⁴.
4. k(x) = (2x − 1)⁻², u′ = 2 : k′(x) = −2 × 2 × (2x − 1)⁻³ = −4(2x−1)³, bien défini car 2x − 1 > 0.

3 Composées avec une racine ★★★

1. Il faut 2x + 5 > 0, soit x > −52 : f est dérivable sur ]−52 ; +∞[ et f′(x) = 22√(2x+5) = 1√(2x+5).
2. x² + 1 > 0 pour tout x : dérivable sur ℝ, g′(x) = 2x2√(x²+1) = x√(x²+1).
3. Il faut 3 − x > 0, soit x < 3 : sur ]−∞ ; 3[, avec u′ = −1, h′(x) = −12√(3−x).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Il manque la dérivée de l’intérieur : la dérivée est 2xe^x².
2. Vrai. u(x) = x + 1, u′ = 1 : 3 × 1 × (x + 1)².
3. Faux. On a oublié le facteur u′(x) = 2x : la dérivée est 2x2√(x²+1) = x√(x²+1).
4. Vrai. Sa dérivée est −e^−x < 0 pour tout réel x.

5 Dérivée seconde et inflexion ★★★

1. f′(x) = 3x² − 12x et f″(x) = 6x − 12.
2. f″(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. Donc f est concave sur ]−∞ ; 2] et convexe sur [2 ; +∞[.
3. f″ s’annule en 2 en changeant de signe : il y a un point d’inflexion d’abscisse 2, d’ordonnée f(2) = 8 − 24 + 2 = −14. Point d’inflexion : A(2 ; −14).

6 Lire un tableau de variations de f′ ★★★

1. f est convexe là où f′ est croissante : sur ]−∞ ; −1] et sur [2 ; +∞[. Elle est concave là où f′ est décroissante : sur [−1 ; 2].
2. La convexité change en −1 et en 2 : la courbe a deux points d’inflexion, d’abscisses −1 et 2.
3. f′(2) = −1 < 0 et f′ est continue : f′ < 0 au voisinage de 2 donc f est décroissante au voisinage de 2.

7 Convexité des fonctions de référence ★★★

1. f″(x) = 12x² ≥ 0 : convexe sur ℝ.
2. f′(x) = 12√x = ½x^−1/2, f″(x) = −14x√x < 0 : concave sur ]0 ; +∞[.
3. f′(x) = −1x², f″(x) = 2x³ : positive pour x > 0 (convexe sur ]0 ; +∞[), négative pour x < 0 (concave sur ]−∞ ; 0[).

8 Une fonction toujours croissante ★★★

1. f′(x) = 2e^x² + (2x − 1) × 2xe^x² = (2 + 4x² − 2x)e^x² = 2(2x² − x + 1)e^x².
2. Le trinôme 2x² − x + 1 a pour discriminant 1 − 8 = −7 < 0 : il est strictement positif (signe de a = 2). Avec e^x² > 0, on a f′ > 0 : f est strictement croissante sur ℝ.
3. f(0) = −1 et f′(0) = 2 : y = 2x − 1.

9 Un minimum pour une puissance ★★★

1. g′(x) = 3 × 2x × (x² + 1)² = 6x(x² + 1)². Le facteur (x² + 1)² est strictement positif : g′ a le signe de x. g décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[ ; minimum g(0) = 1.

   x	−∞		0		+∞
   g′(x)		−	0	+
   g	+∞	↘	1	↗	+∞

2. g″(x) = 6(x² + 1)² + 6x × 2 × 2x(x² + 1) = 6(x² + 1)[(x² + 1) + 4x²] = 6(x² + 1)(5x² + 1) > 0. g est convexe sur ℝ.

10 Une racine dans un produit ★★★

1. h′(x) = √(x+1) + x × 12√(x+1) = 2(x+1) + x2√(x+1) = 3x+22√(x+1).
2. Le dénominateur est positif : h′ a le signe de 3x + 2, qui s’annule en −23. h décroît sur ]−1 ; −2/3] puis croît. Minimum : h(−23) = −23 × √13 = −23√3 = −2√39 ≈ −0,385.

   x	−1		−2/3		+∞
   h′(x)		−	0	+
   h	0	↘	≈ −0,385	↗	+∞

3. Sur ]−1 ; +∞[, 3x + 4 > 1 > 0 et le dénominateur est positif : h″ > 0. h est convexe sur ]−1 ; +∞[.

11 Une courbe qui s’aplatit ★★★

1. f′(x) = e^−x − xe^−x = (1 − x)e^−x. f″(x) = −e^−x − (1 − x)e^−x = (x − 2)e^−x.
2. f′ > 0 ⇔ x < 1 : f croît sur ]−∞ ; 1], décroît sur [1 ; +∞[ ; maximum f(1) = e⁻¹. f″ > 0 ⇔ x > 2 : f est concave sur ]−∞ ; 2], convexe sur [2 ; +∞[.
3. Inflexion en x = 2 : f(2) = 2e⁻² et f′(2) = −e⁻². Tangente : y = −e⁻²(x − 2) + 2e⁻² = e⁻²(4 − x).

12 Quatre degrés, deux inflexions ★★★

f′(x) = 4x³ − 24x² + 36x = 4x(x² − 6x + 9) = 4x(x − 3)². f″(x) = 12x² − 48x + 36 = 12(x² − 4x + 3) = 12(x − 1)(x − 3).

f″ est positive à l’extérieur des racines 1 et 3 : f est convexe sur ]−∞ ; 1], concave sur [1 ; 3], convexe sur [3 ; +∞[.

f″ change de signe en 1 et en 3 : points d’inflexion A(1 ; 11) et B(3 ; 27) (car f(1) = 1 − 8 + 18 = 11 et f(3) = 81 − 216 + 162 = 27).

13 Une inégalité par la convexité ★★★

1. La fonction exponentielle est convexe sur ℝ (sa dérivée seconde, e^x, est positive). Sa courbe est donc au-dessus de sa tangente en 0, d’équation y = e⁰(x − 0) + e⁰ = x + 1.

2. On applique l’inégalité avec le réel −x² à la place de x : e^−x² ≥ −x² + 1.

3. Avec −x à la place de x : e^−x ≥ 1 − x. Pour x < 1, le réel 1 − x est strictement positif ; les deux membres sont positifs, donc en passant à l’inverse l’inégalité s’inverse : e^x = 1exp(−x) ≤ 11−x.

14 Tangente qui traverse la courbe ★★★

1. f′(x) = 3x² − 6x + 2 et f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1), qui change de signe en 1 uniquement. f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 : A(1 ; 0).
2. f′(1) = 3 − 6 + 2 = −1. T : y = −(x − 1) + 0 = −x + 1.
3. (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1 et f(x) + x − 1 = x³ − 3x² + 3x − 1 : l’égalité est vérifiée. Pour x < 1, (x − 1)³ < 0 : la courbe est en dessous de T ; pour x > 1 elle est au-dessus. La courbe traverse sa tangente en A, ce qui est typique d’un point d’inflexion.

15 La boîte de volume maximal ★★★

1. Les côtés restants valent 30 − 2x et 20 − 2x : il faut x > 0 et 20 − 2x > 0, donc x ∈ ]0 ; 10[.
2. La hauteur est x, la base mesure (30 − 2x) sur (20 − 2x) : V(x) = x(30 − 2x)(20 − 2x) = x(600 − 100x + 4x²) = 4x³ − 100x² + 600x.
3. V′(x) = 12x² − 200x + 600 = 4(3x² − 50x + 150). Discriminant 2 500 − 1 800 = 700 : racines 50 − 10√76 = 25 − 5√73 ≈ 3,92 et 25 + 5√73 ≈ 12,74 (hors de ]0 ; 10[). V′ > 0 sur ]0 ; 3,92[ et V′ < 0 sur ]3,92 ; 10[.

   x	0		3,92		10
   V′(x)		+	0	−
   V	0	↗	≈ 1 056	↘	0

4. Le volume est maximal pour x = 25−5√73 ≈ 3,92 cm, et vaut V(3,92) ≈ 1 056 cm³.

16 Étude complète ★★★

1. f′(x) = (2x + 1)e^−x − (x² + x + 1)e^−x = (−x² + x)e^−x = −x(x − 1)e^−x. Puis f″(x) = (−2x + 1)e^−x − (−x² + x)e^−x = (x² − 3x + 1)e^−x.

2. En −∞, x² + x + 1 → +∞ et e^−x → +∞ donc f(x) → +∞. f′ a le signe de −x(x − 1) : négatif sur ]−∞ ; 0[, positif sur ]0 ; 1[, négatif sur ]1 ; +∞[.

3. Le trinôme x² − 3x + 1 a pour discriminant 5 et pour racines a = 3−√52 ≈ 0,38 et b = 3+√52 ≈ 2,62. f est convexe sur ]−∞ ; a], concave sur [a ; b], convexe sur [b ; +∞[. Deux points d’inflexion, d’abscisses a et b, d’ordonnées ≈ 1,04 et ≈ 0,76.

4. Voici la courbe :

17 Le point le plus proche ★★★

1. AM² = (x − 4)² + (√x − 0)² = x² − 8x + 16 + x = x² − 7x + 16.
2. Posons f(x) = x² − 7x + 16. f′(x) = 2x − 7 s’annule en 72 ; f décroît puis croît. Comme la racine carrée est croissante, AM est minimale quand AM² l’est. f(3,5) = 12,25 − 24,5 + 16 = 3,75. Donc AM minimale = √3,75 = √152 ≈ 1,94, atteinte pour M(3,5 ; √3,5) avec √3,5 ≈ 1,87.
3. d′(x) = 2x−72√(x²−7x+16) (le trinôme est toujours positif, discriminant 49 − 64 < 0). Le dénominateur est positif : d′ a le signe de 2x − 7, ce qui redonne le même minimum en x = 3,5.

18 La courbe en cloche ★★★

1. f′(x) = −2xe^−x², positive pour x < 0 : f croît sur ]−∞ ; 0], décroît sur [0 ; +∞[, maximum f(0) = 1. f″(x) = −2e^−x² + 4x²e^−x² = 2(2x² − 1)e^−x².
2. f″ a le signe de 2x² − 1, qui s’annule en ±1√2 = ±√22. f est convexe sur ]−∞ ; −√2/2], concave sur [−√2/2 ; √2/2], convexe sur [√2/2 ; +∞[. Les deux points d’inflexion ont pour abscisses ±√22 et pour ordonnée commune e^−1/2 ≈ 0,61.
3. Avec t = −x², e^−x² ≥ −x² + 1.

19 Trouver les paramètres ★★★

1. f′(x) = ae^−x − (ax + b)e^−x = (a − b − ax)e^−x. f″(x) = −ae^−x − (a − b − ax)e^−x = (ax + b − 2a)e^−x.
2. f(0) = b = 2. f″(3) = 3a + b − 2a = a + b = 0 donc a = −2. a = −2 et b = 2, soit f(x) = (−2x + 2)e^−x.
3. f′(x) = 2(x − 2)e^−x : f décroît sur ]−∞ ; 2], croît sur [2 ; +∞[, minimum f(2) = −2e⁻² ≈ −0,27. f″(x) = −2(x − 3)e^−x, positive pour x < 3 et négative pour x > 3 : elle change de signe en 3, c’est bien un point d’inflexion, de coordonnées (3 ; −4e⁻³).

20 Une composée de deux fonctions ★★★

1. e^x + 1 > 0 sur ℝ : f est dérivable sur ℝ et f′(x) = exp(x)2√(exp(x)+1).
2. On dérive le quotient : le dénominateur 2√(e^x+1) a pour dérivée exp(x)√(exp(x)+1). f″(x) = (e^x × 2√(e^x+1) − e^x × e^x/√(e^x+1)) ÷ (4(e^x+1)); en réduisant, f″(x) = exp(x)(exp(x)+2)4(exp(x)+1)√(exp(x)+1), strictement positive. f est convexe sur ℝ.
3. f(0) = √2 et f′(0) = 12√2 = √24. Tangente : y = √24x + √2 = √24(x + 4). f étant convexe, sa courbe est au-dessus de cette tangente : √(e^x + 1) ≥ √24(x + 4) pour tout réel x.

21 Vrai ou faux avec contre-exemple ★★★

1. Faux. f(x) = x² : f′(0) = 0, mais 0 est un minimum et la fonction est convexe sur ℝ : pas d’inflexion.
2. Faux. f(x) = x⁴ : f″(0) = 0 mais f″(x) = 12x² ≥ 0 ne change pas de signe.
3. Faux. x ↦ x² est convexe sur ℝ mais décroissante sur ]−∞ ; 0].
4. Vrai. C’est la caractérisation : f convexe ⇔ f′ croissante.
5. Vrai. Si f″ ≥ 0 et g″ ≥ 0 alors (f + g)″ = f″ + g″ ≥ 0.