1 Équation réduite / 3 pts
- (2 pts) m = (−6 − 2) / (1 − (−3)) = −84 = −2 (1 pt). Avec A : 2 = −2 × (−3) + p, donc p = −4 (0,5 pt). y = −2x − 4 (0,5 pt). Contrôle avec B : −2 − 4 = −6 ✔.
- (1 pt) C : −2 × (−5) − 4 = 6 = yC, donc C ∈ (AB) (0,5 pt). D : −2 × 2 − 4 = −8 ≠ −7, donc D ∉ (AB) (0,5 pt).
2 Équation cartésienne et parallélisme / 3 pts
- (1 pt) u(−b ; a) = (2 ; 5) (0,5 pt). 2y = 5x + 3, donc y = 52x + 32 (0,5 pt).
- (2 pts) Déterminant de u et v : 2 × 10 − 4 × 5 = 0, donc u et v colinéaires : d′ // d (0,5 pt). Équation de d′ : 10x − 4y + c = 0 ; avec C : −4 + c = 0, donc c = 4 : 10x − 4y + 4 = 0, soit 5x − 2y + 2 = 0 (1 pt). Le point C n’est pas sur d (0 − 2 + 3 = 1 ≠ 0) : les droites sont strictement parallèles (0,5 pt).
3 Substitution / 4 pts
De la première équation : x = 2y − 1 (1 pt). Dans la seconde : 4(2y − 1) + 3y = 18, soit 11y − 4 = 18, donc y = 2 (1,5 pt). Alors x = 2 × 2 − 1 = 3 (0,5 pt). Vérification : 3 − 4 = −1 ✔ et 12 + 6 = 18 ✔ (0,5 pt). Solution : (3 ; 2) (0,5 pt).
4 Combinaison / 4 pts
On multiplie la première équation par 2 : 10x + 4y = 8 (1 pt). On additionne avec la seconde : 13x = 26, donc x = 2 (1,5 pt). Dans la première : 10 + 2y = 4, donc y = −3 (1 pt). Vérification : 6 + 12 = 18 ✔ (0,5 pt). Solution : (2 ; −3).
5 Systèmes particuliers / 3 pts
- (1,5 pt) On multiplie la première par 3 : 6x − 3y = 9, incompatible avec 6x − 3y = 4. Aucune solution : droites strictement parallèles.
- (1,5 pt) La seconde équation est le double de la première : une infinité de solutions, tous les couples (x ; 5 − x). Droites confondues.
6 Problème / 3 pts
Soit a le prix d’un menu adulte et e celui d’un menu enfant, en euros (0,5 pt). { 2a + 3e = 39 ; 3a + e = 34 } (1 pt). De la seconde : e = 34 − 3a ; dans la première : 2a + 102 − 9a = 39, donc 7a = 63, a = 9 (1 pt). Alors e = 34 − 27 = 7. Vérification : 18 + 21 = 39 ✔. Un menu adulte coûte 9 € et un menu enfant 7 € (0,5 pt).