Corrigé des exercices de maths 3ème : Équations, inéquations et systèmes

1 Équations simples ★★★

1. x = 15 − 9 = 6.
2. x = −3 + 4 = 1.
3. x = 42 ÷ 7 = 6.
4. x = 12 ÷ (−3) = −4.
5. x = 3 × 5 = 15.

2 Tester un nombre ★★★

1. 4 × 3 − 5 = 7 : l’égalité est vraie, oui.
2. À gauche : 6 × 3 − 2 = 16. À droite : 3 × 3 + 8 = 17. 16 ≠ 17 : non.
3. 3² − 2 × 3 = 9 − 6 = 3 : oui.

3 Une étape de plus ★★★

1. 2x = 12, x = 6.
2. 3x = 15, x = 5.
3. 5x = −10, x = −2.
4. −2x = 1 − 9 = −8, x = 4.
5. −4x = 12, x = −3.

4 Premières équations produit ★★★

1. x − 2 = 0 ou x + 7 = 0 : solutions 2 et −7.
2. 3x − 6 = 0 donne x = 2 ; x + 1 = 0 donne x = −1 : solutions 2 et −1.
3. x = 0 ou x − 5 = 0 : solutions 0 et 5.
4. Les deux facteurs sont identiques : x + 4 = 0, une seule solution −4.

5 Premières inéquations ★★★

1. x < 7.
2. x ≥ −4 (on divise par 2, le sens ne change pas).
3. x ≤ 4.
4. On multiplie par −1 : x < −2 (le sens change).

6 Dessiner des solutions ★★★

1. On colorie à gauche de 2, crochet fermé en 2 :
2. On colorie à droite de −3, crochet ouvert en −3 :−5−4−3−2−1012345

7 Vérifier un couple ★★★

Pour (3 ; 2) : 3 + 2 = 5 et 2 × 3 − 2 = 4. Les deux égalités sont vraies : oui.

Pour (4 ; 1) : 4 + 1 = 5 mais 2 × 4 − 1 = 7 ≠ 4. La seconde est fausse : non.

8 Programme de calcul ★★★

Soit x le nombre pensé. On a 4x − 9 = 23, donc 4x = 32, donc x = 8.

Vérification : 4 × 8 − 9 = 23. Le nombre pensé est 8.

9 Inconnue des deux côtés ★★★

1. 3x = 15, x = 5.
2. 8 + 16 = 5x + 3x, donc 24 = 8x, x = 3.
3. 2x + 8 = 3x − 5, donc 13 = x : 13 (2 × 17 = 34 = 3 × 13 − 5).
4. 8x − 4 − 3 = 5x + 8, donc 8x − 7 = 5x + 8, 3x = 15, x = 5.
5. 6x − 2x + 6 = 18, donc 4x = 12, x = 3.

10 Équations avec fractions ★★★

1. x3 = 5, donc x = 15.
2. 2x + 1 = 15, donc 2x = 14, x = 7.
3. On multiplie par 6 : 3x − 2x = 12, donc x = 12 (6 − 4 = 2).
4. On multiplie par 4 : x + 3 = 2(x − 1), donc x + 3 = 2x − 2, x = 5 (84 = 2 = 42).

11 Équations produit ★★★

1. 2x + 3 = 0 donne x = −32 ; 4x − 1 = 0 donne x = 14. Solutions : −1,5 et 0,25.
2. 5 − x = 0 donne x = 5 ; x + 8 = 0 donne x = −8. Solutions : 5 et −8.
3. 3x = 0 ou x − 7 = 0. Solutions : 0 et 7.
4. 7x − 14 = 0 donne x = 2 ; 3x + 9 = 0 donne x = −3. Solutions : 2 et −3.

12 Factoriser puis résoudre ★★★

1. On factorise par (x + 3) : (x + 3)[(2x − 1) − (x + 5)] = 0, soit (x + 3)(x − 6) = 0. Solutions : −3 et 6.
2. On reconnaît a² − b² = (a − b)(a + b) : x² − 49 = (x − 7)(x + 7) = 0. Solutions : 7 et −7.
3. x² + 4x = x(x + 4) = 0. Solutions : 0 et −4.

13 Inéquations ★★★

1. 3x ≤ 18, x ≤ 6.
2. −2x > 8, on divise par −2 : x < −4.
3. 2x ≥ −8, x ≥ −4.
4. −3x < 6, on divise par −3 : x > −2.
5. 2x − 6 > x + 4, donc x > 10.

14 Droite graduée et entiers ★★★

1. 2x ≤ 6, donc x ≤ 3.
2. 3x ≤ 9 donc x ≤ 3 : les entiers naturels solutions sont 0, 1, 2 et 3.
3. On divise par 2 : −3,5 < x ≤ 3. Les entiers relatifs sont −3, −2, −1, 0, 1, 2 et 3.

15 Substitution ★★★

1. On remplace y : 3x + 2x − 1 = 14, donc 5x = 15, x = 3 et y = 2 × 3 − 1 = 5. Solution (3 ; 5) (3 × 3 + 5 = 14).
2. On remplace x : 2(y + 4) + 3y = 23, donc 5y + 8 = 23, y = 3 et x = 7. Solution (7 ; 3) (14 + 9 = 23).

16 Le rectangle du jardinier ★★★

Soit x la largeur en cm. La longueur est x + 3.

Périmètre : 2(x + x + 3) = 46, donc 4x + 6 = 46, donc x = 10.

Vérification : 2 × (10 + 13) = 46. Le rectangle mesure 10 cm de large et 13 cm de long.

17 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : 2 × (−3) + 1 = −5 et −5 < −4.
2. Faux : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir −4.
3. Faux : en multipliant par −1, le sens s’inverse. Exemple : 1 < 2 mais −1 > −2.
4. Faux : (x + 4)(x + 4) = 0 n’a qu’une seule solution, −4.

18 Les pièces de la tirelire ★★★

Soit x le nombre de pièces de 1 € et y celui de pièces de 2 €. On a x + y = 25 et x + 2y = 38.

Par soustraction : y = 38 − 25 = 13, puis x = 25 − 13 = 12.

Vérification : 12 + 2 × 13 = 38. Il
a 12 pièces de 1 € et 13 pièces de 2 €.

19 Combinaison ★★★

1. On multiplie la seconde par 3 : 12x − 3y = 15. On additionne avec la première : 14x = 28, x = 2. Puis 4 × 2 − y = 5 donne y = 3. Solution (2 ; 3) (4 + 9 = 13).
2. On multiplie la première par 5 et la seconde par 2 : 25x + 10y = 5 et 6x + 10y = −14. On soustrait : 19x = 19, x = 1. Puis 5 + 2y = 1 donne y = −2. Solution (1 ; −2) (3 − 10 = −7).
3. On multiplie la première par 2 et la seconde par 3 : 8x + 6y = 10 et 9x − 6y = 24. On additionne : 17x = 34, x = 2. Puis 8 + 3y = 5 donne y = −1. Solution (2 ; −1) (6 + 2 = 8).

20 Système avec fractions de prix ★★★

Soit a le prix adulte et e le prix enfant (en €). Alors 3a + 2e = 39 et 2a + 4e = 38.

On double la première : 6a + 4e = 78. On soustrait la seconde : 4a = 40, donc a = 10.

Puis 30 + 2e = 39, donc e = 4,5.

Vérification : 2 × 10 + 4 × 4,5 = 38. Une place adulte coûte 10 € et une place enfant 4,50 €.

21 Système sans solution ou infinité ★★★

1. En doublant la première : 4x + 2y = 6, incompatible avec 4x + 2y = 7. Aucune solution : les droites sont parallèles et distinctes.
2. En triplant la première : 3x − 3y = 6, c’est la seconde. Les deux équations sont équivalentes : une infinité de solutions (tous les couples (x ; x − 2)). Les droites sont confondues.

22 Résolution graphique ★★★

Les droites se coupent en A(2 ; 3).

Vérification : 2 × 2 − 1 = 3 et −2 + 5 = 3. Le couple (2 ; 3) est la solution du système.

23 Abonnement à la piscine ★★★

Soit x le nombre d’entrées. A coûte 5x et B coûte 36 + 2x.

a. 5x = 36 + 2x, donc 3x = 36, x = 12. Les deux formules coûtent 60 € pour 12 entrées.

b. B est meilleure si 36 + 2x < 5x, donc 36 < 3x, donc x > 12. La formule B est la plus avantageuse à partir de 13 entrées.

24 Les âges ★★★

Soit x le nombre d’années. Âge du père : 38 + x ; âge du fils : 8 + x.

38 + x = 3(8 + x), donc 38 + x = 24 + 3x, donc 14 = 2x, x = 7.

Vérification : dans 7 ans, 45 ans et 15 ans, et 45 = 3 × 15. Réponse : dans 7 ans.

25 Le budget de Léa ★★★

Soit x le nombre de carnets : 24 + 3,5x ≤ 60, donc 3,5x ≤ 36, donc x ≤ 10,28…

x est entier : x ≤ 10. Avec 10 carnets : 24 + 35 = 59 € ≤ 60 €. Avec 11 : 24 + 38,5 = 62,5 € > 60 €.

Léa peut acheter au maximum 10 carnets.

26 Ne pas perdre de solution ★★★

On passe tout à gauche et on factorise : (x − 5)[(x + 2) − (3x − 1)] = 0, soit (x − 5)(−2x + 3) = 0.

Donc x = 5 ou −2x + 3 = 0, c’est-à-dire x = 1,5. Solutions : 5 et 1,5.

Si on divisait par x − 5, on perdrait la solution 5 (on divise par 0 quand x = 5, ce qui est interdit).