Fonctions trigonométriques : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Degrés et radians ★★★

1. 48 × π180 = 48π180 = 4π15 rad. 110 × π180 = 11π18 rad.
2. 7π10 × 180π = 126°. 5π12 × 180π = 75°.
3. Un tour = 2π rad. Un quart de tour = 2π4 = π2 rad ; un huitième de tour = 2π8 = π4 rad.

2 Valeurs exactes ★★★

1. cos 5π6 = cos(π − π6) = −cos π6 = −√32.
2. sin(−π3) = −sin π3 = −√32 (sinus impair).
3. cos 7π4 = cos(2π − π4) = cos(−π4) = cos π4 = √22.
4. 9π2 = π2 + 4π, donc sin 9π2 = sin π2 = 1.
5. cos(−π) = cos π = −1.
6. 25π3 = π3 + 8π, donc cos 25π3 = cos π3 = 12.

3 Parité ★★★

1. f(−x) = (−x)³ cos(−x) = −x³ cos x = −f(x) : impaire.
2. ℝ* est symétrique par rapport à 0 et g(−x) = sin(−x)−x = −sin x−x = g(x) : paire.
3. h(0) = 1 ≠ 0, donc h n’est pas impaire (une fonction impaire définie en 0 s’annule en 0). h(π2) = 0 + 1 = 1 et h(−π2) = 0 − 1 = −1, différents : h n’est pas paire. Ni paire ni impaire.
4. k(−x) = sin(−x) cos(−x) = −sin x cos x = −k(x) : impaire.

4 Périodes ★★★

La fonction x ↦ cos(ωx + φ) ou sin(ωx + φ) a pour période 2πω ; ajouter une constante ou multiplier par un réel ne change pas la période.

1. ω = 3 : période 2π3. Vérification : cos(3(x + 2π3)) = cos(3x + 2π) = cos 3x.
2. ω = 12 : période 2π ÷ 12 = 4π.
3. ω = π : période 2ππ = 2.
4. ω = 2 : période 2π2 = π.

5 Premières dérivées ★★★

1. f′(x) = 3 × (−sin x) − 2 × cos x = −3 sin x − 2 cos x.
2. g′(x) = 2x + cos x.
3. h′(x) = 5 cos x − 1.
4. k′(x) = −sin x + 4.

6 Équations de base ★★★

1. sin x = sin π3 ⇔ x = π3 ou x = π − π3 = 2π3. S = {π3 ; 2π3}.
2. cos x = cos 2π3 ⇔ x = 2π3 ou x = −2π3 + 2π = 4π3. S = {2π3 ; 4π3}.
3. sin x = −1 ⇔ x = −π2 + 2kπ ; dans [0 ; 2π[, S = {3π2}.
4. Comme cos x ≤ 1 pour tout x, l’équation n’a aucune solution : S = ∅.

7 Encadrements et extrema ★★★

1. −3 ≤ 3cos x ≤ 3, donc −1 ≤ 3cos x + 2 ≤ 5. Maximum 5 pour x = 0 (cos = 1) ; minimum −1 pour x = π (cos = −1).
2. −2 ≤ 2 sin x ≤ 2, donc −2 ≤ −2 sin x ≤ 2 et −1 ≤ 1 − 2 sin x ≤ 3. Maximum 3 pour x = −π2 (sin = −1) ; minimum −1 pour x = π2 (sin = 1).
3. 0 ≤ cos² x ≤ 1, donc −3 ≤ cos² x − 3 ≤ −2. Maximum −2 pour x = 0 ; minimum −3 pour x = π2 (cos = 0).

8 Limites en 0 ★★★

1. sin 3xx = 3 × sin 3x3x. Avec u = 3x → 0, sin uu → 1. La limite vaut 3.
2. sin x2x = 12 × sin xx → 12 × 1 = 12.
3. sin 4x3x = 43 × sin 4x4x → 43.
4. xsin x est l’inverse de sin xx, qui tend vers 1 (≠ 0) : la limite est 1.

9 Dérivées composées ★★★

1. f′(x) = 2 cos(2x + 1).
2. g′(x) = −2x sin(x²) (forme cos u avec u = x² et u′ = 2x).
3. h′(x) = cos x × cos x + sin x × (−sin x) = cos² x − sin² x = cos 2x.
4. k = 1v avec v = 2 + sin x > 0 (car sin x ≥ −1) et v′ = cos x : k′(x) = −cos x(2 + sin x)².
5. l = u³ avec u = cos x : l′(x) = 3 cos² x × (−sin x) = −3 cos² x sin x.
6. m′(x) = 2x cos x + x² × (−sin x) = 2x cos x − x² sin x.

10 Limites en 0 et en l’infini ★★★

1. Avec y = x2 : 1 − cos x = 2 sin² y et x² = 4y², donc 1 − cos xx² = 12 × (sin yy)² → 12.
2. tan x = sin xcos x, donc tan xx = sin xx × 1cos x → 1 × 1 = 1.
3. x + sin xx = 1 + sin xx → 1 + 0 = 1 (car |sin x| ≤ 1, gendarmes).
4. Pour tout x, |cos x| ≤ 1, donc |cos xx² + 1| ≤ 1x² + 1, qui tend vers 0. Par le théorème des gendarmes, la limite est 0.

11 Doubler l’angle ★★★

cos 2x = cos π3 ⇔ 2x = π3 + 2kπ ou 2x = −π3 + 2kπ ⇔ x = π6 + kπ ou x = −π6 + kπ.

Dans [0 ; 2π[ : première famille, k = 0 et k = 1 donnent π6 et 7π6 ; seconde famille, k = 1 et k = 2 donnent 5π6 et 11π6.

S = {π6 ; 5π6 ; 7π6 ; 11π6}. Contrôle : cos(2 × 5π6) = cos 5π3 = 12. ✔

12 Un angle décalé ★★★

sin(x − π4) = sin π4 ⇔ x − π4 = π4 + 2kπ ou x − π4 = π − π4 + 2kπ, soit x = π2 + 2kπ ou x = π + 2kπ.

Dans ]−π ; π] : x = π2 (avec k = 0) ou x = π (avec k = 0). S = {π2 ; π}. Contrôle : sin(π − π4) = sin 3π4 = √22. ✔

13 Un second degré en sinus ★★★

Posons X = sin x : 2X² + X − 1 = 0, de discriminant 1 + 8 = 9. Donc X = −1 − 34 = −1 ou X = −1 + 34 = 12.

sin x = −1 ⇔ x = 3π2 dans [0 ; 2π[. sin x = 12 ⇔ x = π6 ou x = 5π6. S = {π6 ; 5π6 ; 3π2}.

14 Trois inéquations ★★★

1. sin x = 12 pour x = π6 et 5π6 ; le sinus est au-dessus de 12 entre ces deux valeurs. S = [π/6 ; 5π/6].
2. cos x = √32 pour x = ±π6. Le cosinus est supérieur à √32 entre −π6 et π6. Il est strictement inférieur à √32 à l’extérieur : S = [−π ; −π/6[ ∪ ]π/6 ; π].
3. cos x ≥ −12. cos x = −12 pour x = 2π3 et 4π3. Le cosinus est supérieur à −12 autour de 0 et de 2π : S = [0 ; 2π/3] ∪ [4π/3 ; 2π].

15 Étude de cos _x_ + [[x/2]] ★★★

1. f′(x) = −sin x + 12. f′(x) = 0 ⇔ sin x = 12 ⇔ x = π6 ou x = 5π6 (dans [0 ; π]).
2. f′(x) > 0 ⇔ sin x < 12 ⇔ x ∈ [0 ; π/6[ ∪ ]5π/6 ; π]. Valeurs : f(0) = 1 ; f(π6) = √32 + π12 ≈ 1,13 ; f(5π6) = −√32 + 5π12 ≈ 0,44 ; f(π) = −1 + π2 ≈ 0,57.

   x	0	π6	5π6	π
   signe de f′	+	0 −	0 +
   variations de f	1 ↗	≈ 1,13 ↘	≈ 0,44 ↗	≈ 0,57

3. Sur [0 ; π/6], f ≥ 1 > 12 : pas de solution. Sur [π/6 ; 5π/6], f est continue et strictement décroissante de ≈ 1,13 à ≈ 0,44, qui encadrent 12 : une solution (théorème des valeurs intermédiaires). Sur [5π/6 ; π], f est continue et strictement croissante de ≈ 0,44 à ≈ 0,57 : une solution. Au total, 2 solutions.

16 Tangentes ★★★

On applique y = f′(a)(x − a) + f(a).

1. sin′(0) = cos 0 = 1 et sin 0 = 0 : y = x.
2. cos′(π6) = −sin π6 = −12 et cos π6 = √32 : y = −12(x − π6) + √32.
3. cos′(π2) = −sin π2 = −1 et cos π2 = 0 : y = −(x − π2) = −x + π2.

17 Étude de cos 2_x_ + 2cos _x_ ★★★

1. f(−x) = cos(−2x) + 2cos(−x) = f(x) ; f(x + 2π) = cos(2x + 4π) + 2cos(x + 2π) = f(x). On étudie sur [0 ; π], le reste s’en déduit par symétrie et translations.
2. f′(x) = −2 sin 2x − 2 sin x = −4 sin x cos x − 2 sin x = −2 sin x (2cos x + 1).
3. Sur [0 ; π], sin x ≥ 0 (nul en 0 et π). 2cos x + 1 > 0 ⇔ cos x > −12 ⇔ x < 2π3. Donc f′ ≤ 0 sur [0 ; 2π/3] et f′ ≥ 0 sur [2π/3 ; π]. f(0) = 3 ; f(2π3) = cos 4π3 + 2cos 2π3 = −12 − 1 = −32 ; f(π) = 1 − 2 = −1.

   x	0	2π3	π
   signe de f′	0 −	0 +
   variations de f	3 ↘	−32 ↗	−1

4. cos 2x = 2cos² x − 1, donc f(x) = 2cos² x + 2cos x − 1. Avec X = cos x : 2X² + 2X − 1 = 0, discriminant 4 + 8 = 12, X = −2 ± 2√34 = −1 ± √32. Comme X ∈ [−1 ; 1], seule X = √3 − 12 ≈ 0,37 convient. Donc x = arccos(√3 − 12) ≈ 1,20 rad (une seule solution dans [0 ; π], en accord avec le tableau : f passe de 3 à −32 puis reste négative).

18 Une identité et une dérivée ★★★

1. sin⁴ x − cos⁴ x = (sin² x − cos² x)(sin² x + cos² x) = sin² x − cos² x = −(cos² x − sin² x) = −cos 2x.
2. f′(x) = 4 sin³ x cos x − 4 cos³ x × (−sin x) = 4 sin x cos x (sin² x + cos² x) = 4 sin x cos x = 2 sin 2x.
3. (−cos 2x)′ = −(−2 sin 2x) = 2 sin 2x : même résultat. ✔

19 Étude de [[sin x/2 + cos x]] ★★★

1. 2 + cos x ≥ 1 > 0 : le dénominateur ne s’annule jamais, g est définie sur ℝ. g(−x) = −sin x2 + cos x = −g(x) : impaire. g(x + 2π) = g(x) : 2π-périodique.
2. g′(x) = cos x(2 + cos x) − sin x × (−sin x)(2 + cos x)² = 2cos x + cos² x + sin² x(2 + cos x)² = 2cos x + 1(2 + cos x)².
3. Le dénominateur est > 0 : g′ a le signe de 2cos x + 1, positif si x < 2π3. g(0) = 0 ; g(2π3) = √32 ÷ 32 = √33 ; g(π) = 0.

   x	0	2π3	π
   signe de g′	+	0 −
   variations de g	0 ↗	√33 ↘	0

4. Sur [0 ; π], 0 ≤ g(x) ≤ √33. Par imparité, sur [−π ; 0], −√33 ≤ g ≤ 0. Par 2π-périodicité, l’encadrement vaut sur ℝ : |g(x)| ≤ √33.

20 Limites par encadrement ★★★

1. Posons u = 1x : u → 0 quand x → +∞ (avec u > 0). Alors x sin(1x) = sin uu → 1.
2. tan 2xsin 3x = sin 2xcos 2x × sin 3x = sin 2x2x × 3xsin 3x × 23 × 1cos 2x → 1 × 1 × 23 × 1 = 23.
3. Pour x > 0, |x cos xx² + 1| ≤ xx² + 1 ≤ xx² = 1x → 0. Par gendarmes, la limite est 0.
4. sin xx² + x = sin xx × 1x + 1 → 1 × 1 = 1.

21 Combiner cosinus et sinus ★★★

Par la formule d’addition, cos(x − π6) = cos x cos π6 + sin x sin π6 = √32 cos x + 12 sin x. Donc √3 cos x + sin x = 2 cos(x − π6).

L’équation devient cos(x − π6) = 12 = cos π3, soit x − π6 = π3 + 2kπ ou x − π6 = −π3 + 2kπ, c’est-à-dire x = π2 + 2kπ ou x = −π6 + 2kπ.

Dans [0 ; 2π[ : x = π2 et x = 11π6. S = {π2 ; 11π6}. Contrôle : x = 11π6 : √3 × √32 − 12 = 32 − 12 = 1. ✔

22 La grande roue ★★★

1. La période de t ↦ cos(πt30) est 2π ÷ π30 = 60 s. h(0) = 17 − 15 = 2 ; h(10) = 17 − 15 cos π3 = 17 − 7,5 = 9,5 ; h(15) = 17 − 15 cos π2 = 17 ; h(30) = 17 − 15 cos π = 32.
2. Minimum 17 − 15 = 2 m (en t = 0 et 60) ; maximum 17 + 15 = 32 m (en t = 30).
3. h(t) = 24,5 ⇔ 15 cos(πt30) = −7,5 ⇔ cos(πt30) = −12 ⇔ πt30 = 2π3 ou 4π3 (pour t ∈ [0 ; 60], πt30 ∈ [0 ; 2π]) ⇔ t = 20 ou t = 40. La hauteur dépasse 24,5 m quand cos(πt30) < −12, c’est-à-dire pour t ∈ ]20 ; 40[ : pendant 20 s.
4. h′(t) = −15 × (−π30 sin(πt30)) = π2 sin(πt30). La vitesse maximale est π2 ≈ 1,57 m/s, atteinte quand sin(πt30) = 1, soit t = 15 s (la nacelle monte) ; en t = 45 s, sin = −1 et la nacelle descend à la même vitesse.

23 La marée ★★★

1. Période : 2π ÷ π6 = 12 h. Minimum 5 − 2 = 3 m, maximum 5 + 2 = 7 m.
2. Pleine mer quand cos(π6(t − 2)) = 1, soit t = 2 et t = 14 (à 2 h et 14 h). Basse mer quand le cosinus vaut −1 : π6(t − 2) = π, soit t = 8 et t = 20 (à 8 h et 20 h).
3. h(t) ≥ 6 ⇔ cos(π6(t − 2)) ≥ 12 ⇔ −π3 + 2kπ ≤ π6(t − 2) ≤ π3 + 2kπ ⇔ −2 + 12k ≤ t − 2 ≤ 2 + 12k ⇔ 12k ≤ t ≤ 12k + 4. Pour 0 ≤ t < 24 : t ∈ [0 ; 4] ∪ [12 ; 16]. Le bateau peut sortir de minuit à 4 h, puis de 12 h à 16 h.
4. h′(t) = −2 × π6 sin(π6(t − 2)) = −π3 sin(π6(t − 2)). La variation maximale est π3 ≈ 1,05 m/h, atteinte à t = 5 (le niveau baisse) et t = 11 (le niveau monte).