Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Plus petit ensemble ★★★
−7 est un entier négatif : ℤ.
34 = 0,75 : 𝔻.
√9 = 3 : ℕ.
√10 n’est pas rationnel (10 n’est pas un carré parfait) : ℝ.
0,125 a trois décimales : 𝔻.
13 = 0,333… n’est pas décimal : ℚ.
π est irrationnel : ℝ.
2 Vrai ou faux ? ★★★
- Vrai : 0 est un entier naturel.
- Faux : −4 est négatif.
- Vrai : 52 = 2,5.
- Vrai : un décimal est un quotient d’un entier par une puissance de 10, donc un rationnel.
- Vrai : √16 = 4 = 41.
- Faux : 7 est un facteur premier du dénominateur autre que 2 et 5 ; 27 = 0,285714… ne s’arrête pas.
3 Calculer des puissances ★★★
A = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
B = (−3) × (−3) × (−3) = −27.
C = (−2)⁴ = 16 (exposant pair, résultat positif).
D = 15² = 125 = 0,04.
E = (32)² = 94 = 2,25.
F = 110³ = 0,001.
4 Simplifier des racines ★★★
√50 = √(25 × 2) = 5√2.
√18 = √(9 × 2) = 3√2.
√75 = √(25 × 3) = 5√3.
√(4 × 9) = √36 = 6 (ou 2 × 3).
5 Critères de divisibilité ★★★
252 : dernier chiffre pair, donc par 2 ; somme des chiffres 9, donc par 3 et par 9 ; pas par 5.
495 : impair, donc pas par 2 ; somme 18 : par 3 et par 9 ; finit par 5 : par 5.
1 001 : impair ; somme 2 : ni par 3 ni par 9 ; ne finit pas par 0 ou 5. Aucun critère ne convient.
2 340 : par 2 et par 5 (finit par 0) ; somme 9 : par 3 et par 9.
6 Divisions euclidiennes ★★★
37 × 33 = 1 221 et 1 234 − 1 221 = 13 < 37. Donc 1 234 = 37 × 33 + 13.
24 × 37 = 888 et 905 − 888 = 17 < 24. Donc 905 = 24 × 37 + 17.
7 Premier ou pas ? ★★★
51 = 3 × 17 (somme des chiffres 6) ; 57 = 3 × 19 ; 91 = 7 × 13 ; 111 = 3 × 37. Ces quatre nombres ne sont pas premiers.
53 : non divisible par 2, 3, 5, 7 (7 × 7 = 49, 7 × 8 = 56) et 11² = 121 > 53 : il est premier. 97 : non divisible par 2, 3, 5, 7 (7 × 14 = 98), et 11² > 97 : il est premier.
8 Une seule puissance ★★★
A = [[34−7/3²]] = [[3−3/3²]] = 3−5.
B = 2−6 × 2⁵ = 2−1 = 12.
C = 53−(−1) = 5⁴ = 625.
9 Notation scientifique ★★★
1. 45 600 000 = 4,56 × 10⁷ ; 0,000 072 = 7,2 × 10−5.
2. P = 12 × 105−8 = 12 × 10−3 = 1,2 × 10−2.
Q = 61,5 × 107−(−2) = 4 × 10⁹.
10 Sommes de racines ★★★
A : √20 = 2√5, √45 = 3√5, √80 = 4√5. A = 6√5 − 3√5 + 4√5 = 7√5.
B = (2√3)² + 2 × 2√3 × 1 + 1 = 12 + 4√3 + 1 = 13 + 4√3.
C = (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3 (identité (a − b)(a + b) = a² − b²).
11 Dénominateur sans racine ★★★
6√3 = 6√33 = 2√3.
5√6 = 5√66.
On multiplie par le conjugué 3 + √5 : 43−√5 = 4(3+√5)(3−√5)(3+√5) = 4(3+√5)9−5 = 4(3+√5)4 = 3 + √5.
12 Calculs fractionnaires ★★★
A : 54 × (−67) = −3028 = −1514. A = 23 − 1514 = 2842 − 4542 = −1742.
B : 35 − 12 = 610 − 510 = 110. B = 110 × 107 = 17.
13 Décimaux périodiques ★★★
100x = 36,3636… ; 100x − x = 36 donc 99x = 36 et x = 3699 = 411.
Pour y : 100y − y = 121,2121… − 1,2121… = 120, donc 99y = 120 et y = 12099 = 4033. (Contrôle : 4033 = 1,2121…)
14 Diviseurs de 84 ★★★
1. 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7.
2. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
3. (2+1)(1+1)(1+1) = 12 diviseurs : la liste est complète.
15 Fraction irréductible ★★★
360 = 2³ × 3² × 5. 1 260 = 2² × 3² × 5 × 7. 924 = 2² × 3 × 7 × 11.
3601260 = 2³×3²×52²×3²×5×7 = 27 (on a divisé par 2² × 3² × 5 = 180).
16 Irrationalité de √3 ★★★
De √3 = pq on tire p² = 3q². Donc 3 divise p², donc 3 divise p : p = 3k. Alors 9k² = 3q², soit q² = 3k², donc 3 divise q aussi. 3 divise p et q : la fraction n’est pas irréductible, contradiction. Donc √3 est irrationnel.
17 Trois entiers consécutifs ★★★
Soit n(n+1)(n+2). Parmi trois entiers consécutifs, l’un est multiple de 3 (les restes dans la division par 3 sont tous différents). Parmi deux consécutifs, l’un est pair. Le produit est donc multiple de 2 et de 3. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, il est multiple de 6. Exemple : 4 × 5 × 6 = 120 = 6 × 20.
18 Carré d’un impair ★★★
Un impair s’écrit 2k + 1. (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1. Or k(k + 1) est pair (deux consécutifs), soit k(k + 1) = 2m. Donc (2k + 1)² = 8m + 1.
Vérification : 7² = 49 = 8 × 6 + 1.
19 Deux lignes de bus ★★★
1. Il faut le PPCM de 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3² : 2² × 3² = 36. Elles repartent ensemble à 7 h 36.
2. Départs communs tous les 36 min : 7 h 00, 7 h 36, 8 h 12, 8 h 48, 9 h 24, 10 h 00. Soit 6 fois (180 = 5 × 36, donc 5 intervalles et 6 départs).
20 Le carrelage ★★★
En centimètres : 420 = 2² × 3 × 5 × 7 et 330 = 2 × 3 × 5 × 11. PGCD = 2 × 3 × 5 = 30. Le côté est 30 cm. Il y a 42030 = 14 carreaux dans la longueur et 33030 = 11 dans la largeur : 14 × 11 = 154 carreaux.
Phrase réponse : on pose 154 carreaux de 30 cm de côté.
21 Lumière du Soleil ★★★
t = 1,5×10¹¹3×10⁸ = 0,5 × 10³ = 5 × 10² s = 500 s. Or 500 = 8 × 60 + 20. La lumière met 8 min 20 s.
22 Carré et diagonale ★★★
1. c² = 72, donc c = √72 = √(36 × 2) = 6√2 ≈ 8,49 cm.
2. Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore : AC² = c² + c² = 72 + 72 = 144, donc AC = 12 cm. On retrouve AC = c√2 = 6√2 × √2 = 12.
23 Nombre d’or ★★★
1. x² = (1+√5)²4 = 1+2√5+54 = 6+2√54 = 3+√52. Et x + 1 = 1+√52 + 22 = 3+√52. Donc x² = x + 1.
2. (3√5)² = 9 × 5 = 45 et (2√11)² = 4 × 11 = 44. Ces deux nombres sont positifs et 45 > 44, donc 3√5 > 2√11.