Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Linéarité et variance / 3 pts

Calculatrice autorisée.

(1 pt) Linéarité : E(W) = 3 × 4 − 2 × (−1) + 5 = 12 + 2 + 5 = 19.

(1 pt) Indépendance : V(W) = 3² × 2,25 + (−2)² × 4 = 20,25 + 16 = 36,25.

(1 pt) σ(W) = √36,25 ≈ 6,02.

2 Somme et moyenne d’un échantillon / 4 pts

1. (2 pts) E(X) = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1 ; E(X²) = 0,2 + 2 + 2,7 = 4,9 ; V(X) = 4,9 − 2,1² = 4,9 − 4,41 = 0,49 ; σ(X) = 0,7.
2. (2 pts) E(S₁₀₀) = 210 ; V(S₁₀₀) = 100 × 0,49 = 49 ; σ(S₁₀₀) = 7. E(M₁₀₀) = 2,1 ; V(M₁₀₀) = 0,49 ÷ 100 = 0,0049 ; σ(M₁₀₀) = 0,07.

3 Markov et Bienaymé-Tchebychev / 3 pts

1. (1 pt) Markov : P(Y ≥ 10) ≤ 2,510 = 0,25.
2. (1 pt) Bienaymé-Tchebychev : P(|Z − 20| ≥ 10) ≤ 25100 = 0,25. (1 pt) L’événement « 10 < Z < 30 » est « |Z − 20| < 10 », de probabilité au moins 1 − 0,25 = 0,75.

4 Inégalité de concentration / 4 pts

Calculatrice autorisée.

1. (1,5 pt) Concentration : P(|F₂₀₀ − 0,3| ≥ 0,1) ≤ 0,21 ÷ (200 × 0,01) = 0,21 ÷ 2 = 0,105.
2. (1 pt) P(|F₂₀₀ − 0,3| < 0,1) ≥ 1 − 0,105 = 0,895 ≥ 0,89 : F₂₀₀ ∈ ]0,2 ; 0,4[ avec une probabilité d’au moins 0,89.
3. (1,5 pt) On veut 0,21 ÷ (n × 0,01) ≤ 0,02, soit n ≥ 0,21 ÷ 0,0002 = 1050.

5 Vrai ou faux ? / 3 pts

1. (1 pt) Faux : il faut l’indépendance. Si Y = X, V(X + Y) = 4V(X) ≠ 2V(X).
2. (1 pt) Faux : les lancers sont indépendants, la probabilité de « face » reste 12 ; la loi des grands nombres porte sur la fréquence à long terme, pas sur une compensation.
3. (1 pt) Vrai : V et δ sont fixés, donc Vnδ² tend vers 0 ; c’est ce qui permet de démontrer la loi des grands nombres.

6 Simulation Python / 3 pts

Calculatrice autorisée.

1. (1 pt) Le programme renvoie la moyenne M₁₀₀₀ de 1000 lancers de dé ; d’après la loi des grands nombres, la valeur est proche de l’espérance 3,5.
2. (1 pt) P(|M₁₀₀₀ − 3,5| ≥ 0,1) ≤ 3512 ÷ (1000 × 0,01) = 724 ≈ 0,29.
3. (1 pt) Avec n = 10 000 : 3512 ÷ (10 000 × 0,01) = 7240 ≈ 0,03.