Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres : exercices de maths Terminale

Sommaire

1 Espérance et variance d’une loi ★★★

La variable aléatoire X a la loi suivante.

x_i	0	1	2	4
P(X = x_i)	0,1	0,4	0,3	0,2

Vérifie que c’est bien une loi de probabilité.
Calcule E(X), puis V(X) et σ(X) (arrondi au centième).

2 Transformation affine ★★★

Une variable X a pour espérance 3 et pour variance 4. Calcule l’espérance, la variance et l’écart-type de Y = 5X − 2, puis de Z = −2X + 7.

3 Somme de deux variables indépendantes ★★★

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes telles que E(X) = 2,5, V(X) = 1,5, E(Y) = 4 et V(Y) = 2. Calcule E(X + Y), V(X + Y), E(X − Y), V(X − Y), E(2X + 3Y) et V(2X + 3Y).

4 Trois dés ★★★

On lance trois dés équilibrés à six faces et on note T la somme des trois numéros. Rappel : pour un dé, l’espérance est 3,5 et la variance 3512. Calcule E(T), V(T) et σ(T) (arrondi au centième).

5 Succès et loi binomiale ★★★

On répète 5 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,3. Soit X le nombre de succès.

Écris X comme somme de variables aléatoires simples.
Déduis-en E(X) et V(X).

6 Somme et moyenne d’un échantillon ★★★

Un échantillon de taille 25 est constitué de variables d’espérance 12 et d’écart-type 5. Donne l’espérance, la variance et l’écart-type de la somme S₂₅, puis de la moyenne M₂₅.

7 Vrai ou faux ? ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

Pour toutes variables X et Y, E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Pour toutes variables X et Y, V(X + Y) = V(X) + V(Y).
V(2X) = 2V(X).
L’espérance de la moyenne M_n d’un échantillon ne dépend pas de n.

8 Inégalité de Markov ★★★

Une variable aléatoire X est à valeurs positives et E(X) = 4. Donne une majoration de P(X ≥ 10), de P(X ≥ 20), puis de P(X ≥ 2). Que penses-tu de la dernière ?

9 Temps d’attente ★★★

À un guichet, le temps d’attente d’un client est en moyenne de 6 minutes. Majore la probabilité qu’un client attende au moins 30 minutes, puis au moins 15 minutes.

10 Bienaymé-Tchebychev (1) ★★★

X est une variable aléatoire d’espérance 50 et de variance 16.

Majore P(|X − 50| ≥ 8).
Minore P(|X − 50| < 12). Dans quel intervalle X se trouve-t-elle alors ?

11 Choisir la marge δ ★★★

Une variable aléatoire X a pour variance 4. Pour quelle valeur de δ l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit-elle P(|X − E(X)| < δ) ≥ 0,96 ?

12 Moyenne de cent lancers ★★★

On lance 100 fois un dé équilibré ; M₁₀₀ est la moyenne des résultats (μ = 3,5 et V = 3512).

Majore P(|M₁₀₀ − 3,5| ≥ 0,5).
Même question avec 1000 lancers.

13 Combien de lancers de pièce ? ★★★

On lance n fois une pièce équilibrée et on note F_n la fréquence de « pile » (variables de Bernoulli de paramètre 0,5, de variance 0,25). Quelle valeur de n garantit, d’après l’inégalité de concentration, P(|F_n − 0,5| ≥ 0,05) ≤ 0,05 ?

14 Sondage ★★★

Dans un lycée, 40 % des élèves viennent en bus. On interroge au hasard, avec remise, n = 500 élèves ; F est la proportion d’élèves de l’échantillon qui viennent en bus. La variance d’une variable de Bernoulli de paramètre 0,4 est 0,24.

Majore P(|F − 0,4| ≥ 0,05).
Déduis-en un intervalle contenant F avec une probabilité au moins égale à 0,8.

15 Le piège de la compensation ★★★

Léa lance une pièce équilibrée et obtient « pile » dix fois de suite. Elle affirme : « D’après la loi des grands nombres, le prochain sera forcément face pour que ça s’équilibre. » A-t-elle raison ? Que dit réellement la loi des grands nombres ?

16 Loi de la somme de deux dés ★★★

On lance deux dés équilibrés et on note S la somme obtenue.

Dresse la loi de S.
Calcule E(S) et V(S) à partir de cette loi.
Retrouve ces valeurs en utilisant la linéarité et l’indépendance.

17 Un jeu de casino ★★★

À chaque partie, un joueur gagne algébriquement X euros avec la loi : X = −1 avec la probabilité 0,6 ; X = 1 avec la probabilité 0,3 ; X = 5 avec la probabilité 0,1. Il joue 400 parties indépendantes ; S est son gain total.

Calcule E(X) et V(X).
Calcule E(S) et V(S).
Majore la probabilité que le joueur ait perdu de l’argent (S < 0).

18 Lancers de dé et binomiale ★★★

Soit X le nombre de « 6 » obtenus en 60 lancers d’un dé équilibré.

Écris X comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes et déduis E(X) et V(X).
Majore P(|X − 10| ≥ 6) avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

19 Démonstration de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★★★

Soit X une variable aléatoire d’espérance μ et de variance V, et δ > 0. On pose Y = (X − μ)².

Justifie que Y est positive et donne E(Y).
Montre que les événements « |X − μ| ≥ δ » et « Y ≥ δ² » sont égaux.
Applique l’inégalité de Markov à Y et conclus.

20 La borne est-elle bonne ? ★★★

Soit X le nombre de « pile » en 20 lancers d’une pièce équilibrée : X suit la loi binomiale B(20 ; 0,5).

Donne E(X) et V(X).
Majore P(|X − 10| ≥ 5) par Bienaymé-Tchebychev.
Calcule la valeur exacte de cette probabilité, sachant que C(20 ; k) vaut 1, 20, 190, 1140, 4845, 15504 pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, et que 2²⁰ = 1 048 576.
Compare.

21 Précision exigée ★★★

Une mesure aléatoire X a un écart-type σ = 2,4. On répète la mesure n fois de façon indépendante et on note M_n la moyenne.

Détermine n pour que P(|M_n − E(X)| ≥ 0,2) ≤ 0,01 soit garantie.
Même question pour un écart de 0,1 au lieu de 0,2. Que remarques-tu ?

22 Estimer une proportion inconnue ★★★

On veut estimer une proportion inconnue p en observant la fréquence F_n d’un échantillon de taille n.

Montre que, pour tout p de [0 ; 1], p(1 − p) ≤ 0,25.
Détermine la taille n qui garantit P(|F_n − p| ≥ 0,02) ≤ 0,05 quelle que soit la valeur de p.

23 Lire un programme Python ★★★

On considère le programme suivant.

import random

def freq(n):
    c = 0
    for _ in range(n):
        if random.random() < 0.3:
            c = c + 1
    return c / n

print(freq(100))
print(freq(10000))

Quelle expérience aléatoire ce programme simule-t-il ? Quel est le rôle de freq(n) ?
Vers quelle valeur les affichages semblent-ils tendre ? Quel théorème l’explique ?
Avec n = 10 000, majore P(|freq − 0,3| ≥ 0,02), sachant que la variance d’une variable de Bernoulli de paramètre 0,3 est 0,21.

24 Écart-type de la moyenne et taille minimale ★★★

On mesure la durée d’un trajet, de moyenne μ = 25 minutes et d’écart-type σ = 6 minutes. On observe n trajets indépendants et on note M_n la durée moyenne.