Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres : contrôle de maths Terminale

1 Linéarité et variance / 3 pts

Les variables X et Y sont indépendantes, avec E(X) = 4, V(X) = 2,25, E(Y) = −1 et V(Y) = 4. On pose W = 3X − 2Y + 5. Calcule E(W), V(W) et σ(W) (arrondi au centième).

2 Somme et moyenne d’un échantillon / 4 pts

Une variable X a la loi : P(X = 1) = 0,2 ; P(X = 2) = 0,5 ; P(X = 3) = 0,3.

1. Calcule E(X), V(X) et σ(X).
2. On considère un échantillon de taille 100 de cette loi. Donne l’espérance, la variance et l’écart-type de la somme S₁₀₀ puis de la moyenne M₁₀₀.

3 Markov et Bienaymé-Tchebychev / 3 pts

1. Y est une variable positive d’espérance 2,5. Majore P(Y ≥ 10).
2. Z a pour espérance 20 et pour variance 25. Majore P(|Z − 20| ≥ 10), puis minore P(10 < Z < 30).

4 Inégalité de concentration / 4 pts

Une urne contient 30 % de boules rouges. On tire n boules avec remise ; F_n est la proportion de boules rouges obtenues. (La variance d’une variable de Bernoulli de paramètre 0,3 est 0,21.)

1. Pour n = 200, majore P(|F₂₀₀ − 0,3| ≥ 0,1).
2. Déduis-en un intervalle autour de 0,3 dans lequel F₂₀₀ se trouve avec une probabilité au moins égale à 0,89.
3. Trouve une valeur de n telle que P(|F_n − 0,3| ≥ 0,1) ≤ 0,02.

5 Vrai ou faux ? / 3 pts

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Pour toutes variables aléatoires X et Y, V(X + Y) = V(X) + V(Y).
2. Une pièce équilibrée a donné « pile » cinq fois de suite : d’après la loi des grands nombres, « face » est plus probable au lancer suivant.
3. Pour un échantillon, la borne V ÷ (nδ²) de l’inégalité de concentration tend vers 0 quand n tend vers +∞.

6 Simulation Python / 3 pts

On exécute le programme suivant.

import random

def moyenne(n):
    s = 0
    for _ in range(n):
        s = s + random.randint(1, 6)
    return s / n

print(moyenne(1000))

1. Quelle valeur approximative s’affiche, et pourquoi ?
2. Majore la probabilité que l’affichage s’écarte de cette valeur d’au moins 0,1 (variance d’un dé : 3512). Donne la valeur approchée au centième.
3. Quelle borne obtient-on avec 10 000 lancers ?