Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Espérance et variance d’une loi ★★★

1. Les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et 0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1.
2. E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,4 + 2 × 0,3 + 4 × 0,2 = 0,4 + 0,6 + 0,8 = 1,8. E(X²) = 0 + 1 × 0,4 + 4 × 0,3 + 16 × 0,2 = 0,4 + 1,2 + 3,2 = 4,8. V(X) = 4,8 − 1,8² = 4,8 − 3,24 = 1,56 et σ(X) = √1,56 ≈ 1,25.

2 Transformation affine ★★★

Pour Y : E(Y) = 5 × 3 − 2 = 13 ; V(Y) = 5² × 4 = 100 ; σ(Y) = √100 = 10.

Pour Z : E(Z) = −2 × 3 + 7 = 1 ; V(Z) = (−2)² × 4 = 16 ; σ(Z) = 4. Le signe moins ne change pas la variance.

3 Somme de deux variables indépendantes ★★★

Par linéarité : E(X + Y) = 2,5 + 4 = 6,5 ; E(X − Y) = 2,5 − 4 = −1,5 ; E(2X + 3Y) = 5 + 12 = 17.

Par indépendance : V(X + Y) = 1,5 + 2 = 3,5 ; V(X − Y) = V(X) + V(Y) = 3,5 (les variances s’ajoutent) ; V(2X + 3Y) = 4 × 1,5 + 9 × 2 = 6 + 18 = 24.

4 Trois dés ★★★

Les trois lancers sont indépendants. E(T) = 3 × 3,5 = 10,5. V(T) = 3 × 3512 = 354 = 8,75. σ(T) = √8,75 ≈ 2,96.

5 Succès et loi binomiale ★★★

1. X = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅, où B_i vaut 1 en cas de succès à l’épreuve i et 0 sinon ; ces variables sont indépendantes, d’espérance 0,3 et de variance 0,3 × 0,7 = 0,21.
2. E(X) = 5 × 0,3 = 1,5 par linéarité ; V(X) = 5 × 0,21 = 1,05 par indépendance. On retrouve np et np(1 − p).

6 Somme et moyenne d’un échantillon ★★★

Somme : E(S₂₅) = 25 × 12 = 300 ; V(S₂₅) = 25 × 5² = 625 ; σ(S₂₅) = 25.

Moyenne : E(M₂₅) = 12 ; V(M₂₅) = 25 ÷ 25 = 1 ; σ(M₂₅) = 1 (= 5 ÷ √25).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est la linéarité de l’espérance, qui n’exige pas l’indépendance.
2. Faux : il faut l’indépendance. Avec Y = X, V(X + Y) = V(2X) = 4V(X), alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) (si V(X) ≠ 0).
3. Faux : V(2X) = 2² V(X) = 4V(X).
4. Vrai : E(M_n) = μ pour tout n.

8 Inégalité de Markov ★★★

Markov : P(X ≥ a) ≤ 4a. Pour a = 10 : P(X ≥ 10) ≤ 0,4. Pour a = 20 : P(X ≥ 20) ≤ 0,2. Pour a = 2 : P(X ≥ 2) ≤ 2, ce qui est inutile car une probabilité est toujours inférieure ou égale à 1. La borne n’est intéressante que pour a plus grand que E(X).

9 Temps d’attente ★★★

Soit X le temps d’attente en minutes : X ≥ 0 et E(X) = 6. Par Markov, P(X ≥ 30) ≤ 630 = 0,2 et P(X ≥ 15) ≤ 615 = 0,4. Au plus 20 % des clients attendent 30 minutes ou plus.

10 Bienaymé-Tchebychev (1) ★★★

1. Bienaymé-Tchebychev avec δ = 8 : P(|X − 50| ≥ 8) ≤ 1664 = 0,25.
2. Avec δ = 12 : P(|X − 50| ≥ 12) ≤ 16144 = 19, donc P(|X − 50| < 12) ≥ 1 − 19 = 89 ≈ 0,889. Cela signifie que X appartient à ]38 ; 62[ avec une probabilité au moins égale à 89.

11 Choisir la marge δ ★★★

On veut 1 − 4δ² = 0,96, soit 4δ² = 0,04, d’où δ² = 100 et δ = 10. Avec δ = 10, on a bien P(|X − E(X)| < 10) ≥ 1 − 0,04 = 0,96.

12 Moyenne de cent lancers ★★★

1. P(|M₁₀₀ − 3,5| ≥ 0,5) ≤ 3512 ÷ (100 × 0,25) = 35300 = 760 ≈ 0,117.
2. Avec n = 1000 : 3512 ÷ (1000 × 0,25) = 353000 = 7600 ≈ 0,0117. Dix fois plus de lancers divisent la borne par dix.

13 Combien de lancers de pièce ? ★★★

La borne vaut 0,25 ÷ (n × 0,05²) = 0,25 ÷ (0,0025 n). On veut 0,25 ÷ (0,0025 n) ≤ 0,05, soit n ≥ 0,25 ÷ (0,0025 × 0,05) = 0,25 ÷ 0,000125 = 2000. Il suffit donc de 2000 lancers.

14 Sondage ★★★

1. Concentration : P(|F − 0,4| ≥ 0,05) ≤ 0,24 ÷ (500 × 0,0025) = 0,24 ÷ 1,25 = 0,192.
2. Donc P(|F − 0,4| < 0,05) ≥ 1 − 0,192 = 0,808 > 0,8 : avec une probabilité d’au moins 0,8, F appartient à ]0,35 ; 0,45[.

15 Le piège de la compensation ★★★

Non. Les lancers sont indépendants : la probabilité d’obtenir « face » au onzième lancer vaut toujours 12. La loi des grands nombres dit que la fréquence de « pile » sur un très grand nombre de lancers se rapproche de 0,5 : les dix premiers « pile » deviennent négligeables dans une très longue série (10 sur 10 000 lancers ne pèsent presque rien), sans qu’aucun mécanisme de compensation n’intervienne.

16 Loi de la somme de deux dés ★★★

1. Il y a 36 couples équiprobables. Le nombre de couples donnant la somme s est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 pour s = 2, 3, …, 12 : P(S = s) = 136, 236, 336, 436, 536, 636, 536, 436, 336, 236, 136.
2. Par symétrie E(S) = 7 ; on vérifie : (2 × 1 + 3 × 2 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 5 + 7 × 6 + 8 × 5 + 9 × 4 + 10 × 3 + 11 × 2 + 12 × 1) ÷ 36 = 252 ÷ 36 = 7. Puis E(S²) = (4 × 1 + 9 × 2 + 16 × 3 + 25 × 4 + 36 × 5 + 49 × 6 + 64 × 5 + 81 × 4 + 100 × 3 + 121 × 2 + 144 × 1) ÷ 36 = 1974 ÷ 36 = 3296, donc V(S) = 3296 − 49 = 356.
3. E(S) = 3,5 + 3,5 = 7 et, les dés étant indépendants, V(S) = 3512 + 3512 = 356. Les deux méthodes concordent.

17 Un jeu de casino ★★★

1. E(X) = −0,6 + 0,3 + 0,5 = 0,2. E(X²) = 0,6 + 0,3 + 2,5 = 3,4, donc V(X) = 3,4 − 0,04 = 3,36.
2. S est la somme d’un échantillon de taille 400 : E(S) = 400 × 0,2 = 80 et V(S) = 400 × 3,36 = 1344.
3. Si S < 0, alors S − 80 < −80, donc |S − 80| > 80, d’où P(S < 0) ≤ P(|S − 80| ≥ 80) ≤ 13446400 = 0,21. Le joueur a au plus 21 % de chances d’être perdant (en réalité bien moins : la borne est pessimiste).

18 Lancers de dé et binomiale ★★★

1. X = B₁ + … + B₆₀ avec B_i de Bernoulli de paramètre 16 (indépendantes). E(X) = 60 × 16 = 10 et V(X) = 60 × 16 × 56 = 30036 = 253.
2. P(|X − 10| ≥ 6) ≤ 253 ÷ 36 = 25108 ≈ 0,23.

19 Démonstration de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★★★

1. Un carré est positif, donc Y ≥ 0. Par définition de la variance, E(Y) = E((X − μ)²) = V.
2. Pour des nombres positifs, |X − μ| ≥ δ équivaut à (X − μ)² ≥ δ² (la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[). Les deux événements sont donc identiques.
3. Markov avec a = δ² > 0 : P(Y ≥ δ²) ≤ (E(Y)) ÷ δ² = Vδ². D’après b., P(|X − μ| ≥ δ) ≤ Vδ².

20 La borne est-elle bonne ? ★★★

1. E(X) = 20 × 0,5 = 10 et V(X) = 20 × 0,5 × 0,5 = 5.
2. P(|X − 10| ≥ 5) ≤ 525 = 0,2.
3. |X − 10| ≥ 5 équivaut à X ≤ 5 ou X ≥ 15. Par symétrie, la probabilité vaut 2 × P(X ≤ 5) = 2 × (1 + 20 + 190 + 1140 + 4845 + 15504) ÷ 2²⁰ = 2 × 21 700 ÷ 1 048 576 = 43 400 ÷ 1 048 576 ≈ 0,0414.
4. La borne 0,2 est environ cinq fois plus grande que la vraie valeur 0,0414 : elle est correcte mais très pessimiste.

21 Précision exigée ★★★

1. V = 2,4² = 5,76. On veut 5,76 ÷ (n × 0,04) ≤ 0,01, soit n ≥ 5,76 ÷ (0,04 × 0,01) = 5,76 ÷ 0,0004 = 14 400.
2. Avec δ = 0,1 : n ≥ 5,76 ÷ (0,01 × 0,01) = 57 600. Diviser la précision δ par 2 multiplie le nombre de mesures par 4 (δ intervient au carré).

22 Estimer une proportion inconnue ★★★

1. On a 0,25 − p(1 − p) = p² − p + 0,25 = (p − 0,5)² ≥ 0, donc p(1 − p) ≤ 0,25 (maximum atteint pour p = 0,5).
2. V = p(1 − p) ≤ 0,25, donc P(|F_n − p| ≥ 0,02) ≤ 0,25 ÷ (n × 0,0004). On veut cette borne ≤ 0,05, soit n ≥ 0,25 ÷ (0,0004 × 0,05) = 0,25 ÷ 0,00002 = 12 500. Un échantillon de 12 500 individus convient pour tout p.

23 Lire un programme Python ★★★

1. Le programme répète n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,3 (random.random() < 0.3 est vrai avec la probabilité 0,3) ; freq(n) renvoie la fréquence des succès, c’est-à-dire la moyenne M_n de l’échantillon.
2. Les affichages se rapprochent de 0,3 quand n grandit (freq(10000) est en général plus proche de 0,3 que freq(100)) : c’est la loi des grands nombres, avec μ = p = 0,3.
3. P(|M₁₀₀₀₀ − 0,3| ≥ 0,02) ≤ 0,21 ÷ (10 000 × 0,0004) = 0,21 ÷ 4 = 0,0525. La fréquence est donc dans ]0,28 ; 0,32[ avec une probabilité d’au moins 0,9475.

24 Écart-type de la moyenne et taille minimale ★★★

1. E(M₃₆) = 25 et σ(M₃₆) = 6 ÷ √36 = 1 minute.
2. V = 36, donc P(|M₃₆ − 25| ≥ 3) ≤ 36 ÷ (36 × 9) = 19 ≈ 0,111.
3. On veut 36 ÷ (n × 1) ≤ 0,05, soit n ≥ 36 ÷ 0,05 = 720.