Corrigé des exercices de maths 5ème : Triangles

1 Vocabulaire du triangle ★★★

1. Le côté opposé à S est [RT].
2. C’est l’angle ∠SRT (ou ∠TRS), noté aussi ∠R.
3. L’angle opposé à [ST] est l’angle de sommet R : ∠SRT.
4. P = RS + ST + TR.

2 Le triangle existe-t-il ? ★★★

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres.

1. 8 et 4 + 5 = 9. Comme 8 < 9, oui.
2. 8 et 3 + 4 = 7. Comme 8 > 7, non.
3. 12 et 6 + 6 = 12. C’est l’égalité : les points sont alignés, non.
4. 5,5 et 2,5 + 3,5 = 6. Comme 5,5 < 6, oui.
5. 7 et 2 + 4 = 6. Comme 7 > 6, non.

3 Nature d’un triangle d’après ses angles ★★★

1. Trois angles égaux : équilatéral.
2. Deux angles égaux : isocèle (sommet principal : angle de 80°).
3. Un angle droit et deux angles égaux : rectangle isocèle.
4. Un angle droit et trois angles différents : rectangle.
5. Aucun angle droit, trois angles différents : quelconque.

Vérification : chaque liste a bien une somme de 180°.

4 Angle manquant ★★★

La somme des angles d’un triangle est 180°.

1. 180° − (48° + 67°) = 180° − 115° = 65°.
2. 180° − (90° + 34°) = 180° − 124° = 56°.
3. 180° − (125° + 28°) = 180° − 153° = 27°.
4. 100° + 85° = 185° > 180° : impossible, la somme dépasse déjà 180°.

5 Angles dans un triangle isocèle ★★★

1. Les angles à la base sont égaux : (180° − 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70° chacun.
2. Les deux angles à la base valent 35°. L’angle au sommet est 180° − 2 × 35° = 180° − 70° = 110°.
3. Les trois angles sont égaux : 180° ÷ 3 = 60°.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Deux angles droits font déjà 180°, il ne resterait rien pour le troisième angle.
2. Vrai. Il a trois côtés égaux, donc au moins deux côtés égaux.
3. Faux. Il a déjà un angle de 90° ; un angle obtus dépasserait 90°, la somme serait supérieure à 180°.
4. Faux. Deux angles obtus feraient plus de 90° + 90° = 180°.
5. Vrai. Les deux angles aigus sont égaux (triangle isocèle) et leur somme est 90° : chacun vaut 45°.

7 Aire de quatre triangles ★★★

Aire = base × hauteur ÷ 2.

1. 8 × 5 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm².
2. 12 × 3,5 ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21 m².
3. 9 × 4 ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 dm².
4. 6,4 × 5 ÷ 2 = 32 ÷ 2 = 16 cm².

8 Construire avec un angle et deux côtés ★★★

1. Trace le segment [EF] de 6 cm.
2. Au rapporteur, place le point 50° au-dessus de [EF] à partir de E et trace la demi-droite [Ex).
3. Sur cette demi-droite, reporte EG = 4,5 cm au compas ou à la règle : tu obtiens G.
4. Relie F et G.

On mesure FG ≈ 4,6 cm.

9 Construire avec un côté et deux angles ★★★

Calcul : ∠C = 180° − (55° + 65°) = 180° − 120° = 60°.

1. Trace [AB] = 6 cm.
2. En A, trace un angle de 55° avec [AB].
3. En B, trace un angle de 65° avec [BA]. Les deux demi-droites se coupent en C.

En mesurant l’angle en C, on retrouve bien 60°.

10 Triangle aux trois côtés ★★★

Le plus grand côté mesure 7 cm et 5 + 4 = 9. Comme 7 < 9, le triangle existe.

1. Trace [KL] = 7 cm.
2. Compas en K, écartement 5 cm : trace un arc.
3. Compas en L, écartement 4 cm : trace un arc qui coupe le premier en M.
4. Relie M à K et à L.

L’instrument indispensable est le compas.

11 Trois angles à trouver ★★★

La somme vaut 180° : x + (x + 20) + 2x = 180, donc 4x + 20 = 180, 4x = 160 et x = 40.

Les angles sont 40°, 60° et 80° (somme : 40 + 60 + 80 = 180).

Les trois angles sont différents et aucun n’est droit : le triangle est quelconque.

12 Médiatrice et distances ★★★

1. Un point de la médiatrice est à égale distance des extrémités : PB = 4,2 cm.
2. N est équidistant de A et de B : il est sur la médiatrice (d).
3. QA ≠ QB : Q n’est pas sur (d).

13 Cercle circonscrit ★★★

1. Le centre est à égale distance des trois sommets : OB = OC = 3,5 cm. Le diamètre est 2 × 3,5 = 7 cm.
2. Le triangle est rectangle : le centre est le milieu de l’hypoténuse [EF]. Le rayon est 9 ÷ 2 = 4,5 cm.

14 Chercher la base ou la hauteur ★★★

1. 15 × h ÷ 2 = 52,5, donc 15 × h = 105 et h = 105 ÷ 15 = 7 cm.
2. b × 4,5 ÷ 2 = 27, donc b × 4,5 = 54 et b = 54 ÷ 4,5 = 12 m.

15 Hauteurs : cas particuliers ★★★

1. La hauteur issue de B est perpendiculaire à (AC) et passe par B : c’est la droite (AB), car (AB) ⊥ (AC). De même la hauteur issue de C est (AC).
2. Ce sont les hauteurs issues de B et de C : leur pied est sur le prolongement du côté opposé.
3. Elles sont concourantes : elles se coupent en un point appelé l’orthocentre.

16 Périmètre d’un triangle isocèle ★★★

1. Les deux côtés égaux ont pour longueur totale 26 − 8 = 18 cm, soit 18 ÷ 2 = 9 cm chacun. Vérification : 9 < 9 + 8 = 17, le triangle existe.
2. Deux cas.
   Cas 1 : le côté de 10 cm est la base. Les côtés égaux mesurent (22 − 10) ÷ 2 = 6 cm. Triangle 10 ; 6 ; 6 : 10 < 6 + 6 = 12, il existe.
   Cas 2 : 10 cm est la longueur des côtés égaux. La base mesure 22 − 2 × 10 = 2 cm. Triangle 10 ; 10 ; 2 : 10 < 10 + 2 = 12, il existe.
   Il y a donc deux triangles possibles : (10 ; 6 ; 6) et (10 ; 10 ; 2).

17 Longueur entière du troisième côté ★★★

1. Soit x le troisième côté.
   • Si x est le plus grand côté : x < 4 + 9 = 13, donc x ≤ 12.
   • Si 9 est le plus grand : 9 < 4 + x, donc x > 5, soit x ≥ 6.
   Les valeurs possibles sont 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 cm (7 valeurs).
2. Le périmètre maximal correspond à x = 12 : 4 + 9 + 12 = 25 cm.

18 Randonnée entre trois villages ★★★

1. Inégalité triangulaire : AC < 12 + 7 = 19 ; 12 < AC + 7, donc AC > 5. Donc 5 km < AC < 19 km.
2. 4 km n’est pas supérieur à 5 : 12 > 4 + 7 = 11. Non.
3. Comme AB ≠ BC, les côtés égaux sont AC = AB ou AC = BC. AC = 12 km convient (5 < 12 < 19). AC = 7 km ne convient pas, car 7 n’est pas strictement supérieur à 5 ? Si : 7 > 5 et 7 < 19, donc il convient aussi. Les valeurs possibles sont 12 km (AC = AB) et 7 km (AC = BC).

19 Angles dans une figure ★★★

1. ∠BAC = 180° − (65° + 40°) = 180° − 105° = 75°.
2. Le triangle ABD est isocèle en A (AB = AD), donc ses angles à la base sont égaux : ∠ADB = ∠ABD = 65°. Puis ∠BAD = 180° − 2 × 65° = 180° − 130° = 50°.
3. Les points B, D et C sont alignés : ∠ADC = 180° − 65° = 115°. Puis ∠DAC = ∠BAC − ∠BAD = 75° − 50° = 25°.
   Vérification dans ADC : 25° + 115° + 40° = 180°. ✓

20 Aire d’un trapèze rectangle ★★★

1. Comme (AB) // (DC), la hauteur du triangle ABC relative à [AB] est égale à la distance entre les deux parallèles, soit 4 cm. Aire(ABC) = 5 × 4 ÷ 2 = 10 cm².
2. Dans ACD, la base [DC] mesure 8 cm et la hauteur relative est [AD] = 4 cm (angle droit en D). Aire(ACD) = 8 × 4 ÷ 2 = 16 cm².
3. Aire du trapèze = 10 + 16 = 26 cm².

21 Deux hauteurs, une aire ★★★

1. Le triangle est rectangle en A : la hauteur relative à [AB] est [AC]. Aire = 6 × 8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm².
2. On prend maintenant [BC] comme base. L’aire est toujours 24 cm² : 10 × h ÷ 2 = 24, donc 10 × h = 48 et h = 48 ÷ 10 = 4,8 cm.

22 Pourquoi 180° ? ★★★

On trace la droite (d) parallèle à (BC) passant par A. De part et d’autre de A, les angles formés par (d) avec [AB] et [AC] sont alternes-internes avec les angles ∠B et ∠C : ils ont donc les mêmes mesures que ∠B et ∠C.

Ces deux angles et l’angle ∠A forment ensemble un angle plat de sommet A, qui mesure 180°. Donc ∠A + ∠B + ∠C = 180°.