Signe d’une fonction : corrigé des exercices de maths 2de

1 Lire une courbe ★★★

1. La courbe coupe l’axe des abscisses en −3 et en 1 : les zéros de u sont −3 et 1.
2. Entre −3 et 1, la courbe est sous l’axe ; ailleurs, elle est au-dessus.

   x	−4		−3		1		3
   u(x)		+	0	−	0	+

3. u(x) < 0 ⇔ x ∈ ]−3 ; 1[ (les zéros sont exclus).

2 Vrai ou faux avec un tableau ★★★

1. Vrai. 0 appartient à ]−1 ; 2[ où f est positive.
2. Faux. 3 appartient à ]2 ; 5] où f est négative : f(3) < 0.
3. Vrai. Le tableau indique 0 sous −1.
4. Vrai. f est positive entre −1 et 2, et nulle en −1 et en 2.
5. Faux. f(−3) < 0 (car −3 ∈ [−4 ; −1[) et f(1) > 0 : le produit d’un négatif et d’un positif est négatif.

3 Signes de fonctions affines ★★★

1. 3x − 12 = 0 ⇔ x = 4. Comme 3 > 0, f est négative avant 4 et positive après.

   x	−∞		4		+∞
   f(x)		−	0	+

2. −4x + 10 = 0 ⇔ x = 104 = 52 = 2,5. Comme −4 < 0, g est positive avant 2,5 et négative après.

   x	−∞		5/2		+∞
   g(x)		+	0	−

3. 0,5x + 3 = 0 ⇔ x = −6. Comme 0,5 > 0 : négative avant −6, positive après.

   x	−∞		−6		+∞
   h(x)		−	0	+

4. 7 − x = 0 ⇔ x = 7. Ici a = −1 < 0 : positive avant 7, négative après.

   x	−∞		7		+∞
   k(x)		+	0	−

4 Fonctions de référence ★★★

1. 4x² : 4 > 0 et x² ≥ 0, donc 4x² ≥ 0 ; elle est nulle seulement en 0.
2. −3x² : le facteur −3 est négatif, donc −3x² ≤ 0 ; nulle seulement en 0.
3. 2x a le signe de x (car 2 > 0) : négative si x < 0, positive si x > 0.
4. −1x a le signe contraire : positive si x < 0, négative si x > 0.
5. x² + 5 ≥ 5 > 0 : strictement positive pour tout réel x.

5 Inéquations affines ★★★

1. 4x − 12 = 0 ⇔ x = 3 ; a = 4 > 0, donc 4x − 12 > 0 ⇔ x > 3. Solutions : ]3 ; +∞[.
2. −3x + 9 = 0 ⇔ x = 3 ; a = −3 < 0, donc −3x + 9 est négative après 3 : −3x + 9 ≤ 0 ⇔ x ≥ 3. Solutions : [3 ; +∞[.
3. 2x + 5 = 0 ⇔ x = −52 ; a = 2 > 0, donc 2x + 5 < 0 ⇔ x < −52. Solutions : ]−∞ ; −2,5[.
4. 8 − 2x = 0 ⇔ x = 4 ; a = −2 < 0, donc 8 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Solutions : ]−∞ ; 4].

6 Altitude d’un drone ★★★

1. 12 − 3t = 0 ⇔ t = 4. Le coefficient de t est −3 < 0 : h est positive avant 4, négative après.

   x	0		4		6
   h(t)		+	0	−

2. Le drone touche le sol quand h(t) = 0, c’est-à-dire à t = 4 secondes.
3. Pour t > 4, h(t) < 0 : l’altitude serait négative, donc sous le sol. Ce n’est pas possible : le modèle n’est valable que pour t ≤ 4.

7 Un produit simple ★★★

x + 3 s’annule en −3 et x − 1 en 1. Tous deux ont un coefficient de x positif.

P(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −3] ∪ [1 ; +∞[ (les zéros sont inclus car l’inégalité est large).

8 Une cubique à lire ★★★

1. Les zéros de h sont −2, 1 et 3.

2. x	−3		−2		1		3		4
   h(x)		−	0	+	0	−	0	+

   La courbe est sous l’axe sur [−3 ; −2[, au-dessus sur ]−2 ; 1[, sous l’axe sur ]1 ; 3[ et au-dessus sur ]3 ; 4].

3. h(x) > 0 ⇔ x ∈ ]−2 ; 1[ ∪ ]3 ; 4]. h(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [−3 ; −2] ∪ [1 ; 3].
4. −2,5 ∈ [−3 ; −2[ : h(−2,5) < 0. 2 ∈ ]1 ; 3[ : h(2) < 0.

9 Un produit de deux affines ★★★

2x − 3 = 0 ⇔ x = 32 (coefficient 2 > 0). 5 − x = 0 ⇔ x = 5 (coefficient −1 < 0). On a 32 = 1,5 < 5.

Le produit est positif ou nul entre 1,5 et 5, bornes incluses. Solutions : [1,5 ; 5].

10 Trois facteurs ★★★

Les zéros des facteurs sont 0, 2 et −3. Rangés : −3 < 0 < 2.

Vérification en x = 1 : F(1) = 1 × (−1) × 4 = −4 < 0, cohérent avec la case ]0 ; 2[.

F(x) > 0 ⇔ x ∈ ]−3 ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[.

11 Un quotient avec valeur interdite ★★★

Le quotient est défini pour x ≠ 4. Le numérateur s’annule en −2, le dénominateur en 4.

Le quotient est négatif ou nul pour x ∈ [−2 ; 4[ : −2 est inclus (le quotient y vaut 0) et 4 est exclu (valeur interdite).

12 Un quotient à numérateur décroissant ★★★

3 − x = 0 ⇔ x = 3 (coefficient −1 < 0). 2x + 1 = 0 ⇔ x = −12 (coefficient 2 > 0), valeur interdite. On a −12 < 3.

Inégalité stricte : les deux valeurs sont exclues. Solutions : ]−0,5 ; 3[.

13 Factoriser pour résoudre ★★★

1. On reconnaît l’identité a² − b² = (a − b)(a + b) : x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

   x	−∞		−5		5		+∞
   x − 5		−		−	0	+
   x + 5		−	0	+		+
   (x − 5)(x + 5)		+	0	−	0	+

   Solutions de x² − 25 ≤ 0 : [−5 ; 5].

2. x² − 4x = x(x − 4), de zéros 0 et 4.

   x	−∞		0		4		+∞
   x		−	0	+		+
   x − 4		−		−	0	+
   x(x − 4)		+	0	−	0	+

   Solutions de x² − 4x ≥ 0 : ]−∞ ; 0] ∪ [4 ; +∞[.

14 Comparer une parabole et une droite (calcul) ★★★

Développons : (x − 4)(x + 2) = x² + 2x − 4x − 8 = x² − 2x − 8. ✓

x² ≤ 2x + 8 ⇔ x² − 2x − 8 ≤ 0 ⇔ (x − 4)(x + 2) ≤ 0.

Solutions : [−2 ; 4].

15 Un quotient avec constante ★★★

On passe tout à gauche et on réduit : 2x+1 − 1 = 2−(x+1)x+1 = 1−xx+1. Il faut donc résoudre 1−xx+1 ≥ 0 (avec x ≠ −1).

Solutions : ]−1 ; 1].

Contrôle : pour x = 0, 21 = 2 ≥ 1 ✓ ; pour x = −2, 2 ÷ (−1) = −2, qui n’est pas ≥ 1 ✓ ; pour x = 1, on trouve exactement 1 ✓.

16 Deux quotients ★★★

Valeurs interdites : 2 et −1. On passe tout à gauche et on réduit au même dénominateur :

1x−2 − 3x+1 = (x+1)−3(x−2)(x−2)(x+1) = 7−2x(x−2)(x+1).

Il faut donc 7−2x(x−2)(x+1) ≤ 0. Le numérateur s’annule en 72 = 3,5. Rangement : −1 < 2 < 3,5.

Solutions : ]−1 ; 2[ ∪ [3,5 ; +∞[ (car 72 = 3,5).

Contrôle : x = 0 donne −0,5 ≤ 3 ✓ ; x = 3 donne 1 ≤ 0,75 faux, et 3 n’est pas dans la solution ✓ ; x = 4 donne 0,5 ≤ 0,6 ✓.

17 Bénéfice d’un atelier ★★★

1. B(x) = 9x − (x² + 14) = −x² + 9x − 14. Et (x − 2)(7 − x) = 7x − x² − 14 + 2x = −x² + 9x − 14. Les deux expressions sont égales.
2. x − 2 s’annule en 2 (croissant), 7 − x s’annule en 7 (décroissant).

   x	0		2		7		10
   x − 2		−	0	+		+
   7 − x		+		+	0	−
   B(x)		−	0	+	0	−

   L’entreprise gagne de l’argent pour x ∈ ]2 ; 7[, c’est-à-dire entre 200 et 700 pièces (exclus).

3. B(x) − 4 = −x² + 9x − 18. Et (x − 3)(6 − x) = 6x − x² − 18 + 3x = −x² + 9x − 18. ✓
4. B(x) ≥ 4 ⇔ B(x) − 4 ≥ 0 ⇔ (x − 3)(6 − x) ≥ 0.

   x	0		3		6		10
   x − 3		−	0	+		+
   6 − x		+		+	0	−
   B(x) − 4		−	0	+	0	−

   Solutions : x ∈ [3 ; 6]. Le bénéfice est d’au moins 4 000 euros pour une production comprise entre 300 et 600 pièces.

18 Parabole sous une droite ★★★

1. (x − 3)(x + 2) = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6. ✓

   x	−∞		−2		3		+∞
   x − 3		−		−	0	+
   x + 2		−	0	+		+
   x² − x − 6		+	0	−	0	+

2. Les courbes se coupent quand x² = x + 6, soit pour x = −2 ou x = 3. On a x² − (x + 6) > 0 pour x < −2 et x > 3 : la parabole est au-dessus de la droite. Elle est en dessous pour x ∈ ]−2 ; 3[.
3. Pour x = −2 : y = 4, pour x = 3 : y = 9. Points d’intersection : M(−2 ; 4) et N(3 ; 9).
   

19 Comparer x et son inverse ★★★

x − 1x = x²x − 1x = x²−1x = (x−1)(x+1)x (identité remarquable).

Zéros : 1, −1 ; valeur interdite : 0. Rangement : −1 < 0 < 1.

x > 1x ⇔ x ∈ ]−1 ; 0[ ∪ ]1 ; +∞[.

Contrôle : x = −0,5 : x = −0,5 et 1x = −2, et −0,5 > −2 ✓ ; x = 2 : 2 > 0,5 ✓.

20 Ensemble de définition d’une racine ★★★

Il faut 2−xx+1 ≥ 0 avec x ≠ −1. Le numérateur s’annule en 2 (positif avant), le dénominateur en −1 (négatif avant).

L’ensemble de définition de f est ]−1 ; 2].

21 Raisonner et justifier ★★★

1. Faux. Contre-exemple : en un point où f(x) = −2 et g(x) = −3, le produit vaut 6 > 0 mais aucun des deux n’est positif. Un produit positif signifie « même signe », pas « tous deux positifs ».
2. Vrai. x² + 1 ≥ 1 > 0 pour tout x. Le produit a donc le signe de x − 3 : il est positif si et seulement si x > 3. Solutions : ]3 ; +∞[.
3. Faux. Le produit de deux nombres négatifs est positif (règle des signes). Par exemple (−2) × (−3) = 6.
4. Vrai. La somme de deux nombres positifs est positive : f(x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0 donnent f(x) + g(x) ≥ 0.