Une photo agrandie, un plan, une maquette : ce sont des figures qui gardent la même forme mais pas la même taille. Dans ce chapitre, tu apprends à agrandir et réduire une figure avec un coefficient, à reconnaître des triangles de même forme et à utiliser la proportionnalité pour calculer des longueurs que l’on ne peut pas mesurer directement.
1. Rappels : proportionnalité et parallèles
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient). Pour trouver une valeur manquante, on utilise l’égalité des quotients ou le produit en croix : si ab = cd, alors a × d = b × c.
Si 3x = 1220, alors 12 × x = 3 × 20 = 60, donc x = 60 ÷ 12 = 5.
Rappelle-toi aussi trois faits de géométrie qui serviront souvent : la somme des angles d’un triangle vaut 180° ; deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux et des angles alternes-internes égaux ; un point M de [AB] vérifie AB = AM + MB.
2. Agrandir et réduire une figure
Une figure est un agrandissement ou une réduction d’une autre quand elle a la même forme et que toutes ses longueurs sont obtenues en multipliant les longueurs de la première par un même nombre positif k, appelé coefficient (ou rapport). Si k > 1, c’est un agrandissement ; si 0 < k < 1, c’est une réduction ; si k = 1, les figures ont la même taille.
Le petit triangle a un côté de 3 cm. Dans l’agrandissement de coefficient 2, le côté correspondant mesure 6 cm. Les trois côtés sont doublés, la forme est la même.
Quand on agrandit ou réduit une figure de coefficient k : les longueurs sont multipliées par k ; les angles ne changent pas ; les droites parallèles restent parallèles ; les droites perpendiculaires restent perpendiculaires.
On divise une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure de départ : k = longueur nouvelle ÷ longueur de départ. Exemple : un côté passe de 8 cm à 12 cm, donc k = 128 = 1,5 (agrandissement). Un côté passe de 20 cm à 5 cm : k = 520 = 0,25 (réduction).
Agrandir, ce n’est pas ajouter le même nombre à chaque côté, c’est les multiplier. Un rectangle de 4 cm sur 6 cm auquel on ajoute 2 cm à chaque côté (6 cm sur 8 cm) n’est pas un agrandissement : 6 ÷ 4 = 1,5 mais 8 ÷ 6 ≈ 1,33.
L’échelle d’un plan ou d’une maquette est un coefficient de réduction. Une échelle de 1/200 signifie que 1 cm sur le plan représente 200 cm, soit 2 m, dans la réalité : k = 1200.
3. Reconnaître deux figures de même forme
On range dans un tableau les longueurs de la première figure et les longueurs correspondantes de la seconde, puis on calcule chaque quotient. Si tous les quotients sont égaux, les longueurs sont proportionnelles.
| Côté | Triangle 1 | Triangle 2 | Quotient |
|---|---|---|---|
| petit côté | 4 cm | 6 cm | 6 ÷ 4 = 1,5 |
| côté moyen | 6 cm | 9 cm | 9 ÷ 6 = 1,5 |
| grand côté | 8 cm | 12 cm | 12 ÷ 8 = 1,5 |
Les trois quotients sont égaux à 1,5 : le triangle 2 est un agrandissement du triangle 1 de coefficient 1,5.
Si, avec 4 cm ; 6 cm ; 8 cm d’un côté et 6 cm ; 9 cm ; 13 cm de l’autre, tu trouves 1,5 ; 1,5 et 1,625, les quotients ne sont pas tous égaux : les triangles ne sont pas de même forme.
4. Deux triangles emboîtés
Voici une situation très fréquente. Dans un triangle ABC, on place un point M sur le côté [AB] et un point N sur le côté [AC], de sorte que la droite (MN) soit parallèle à (BC). Le petit triangle AMN est « emboîté » dans le grand triangle ABC.
Le petit triangle AMN (en orange) a le même angle en A que ABC. Comme (MN) // (BC), les angles en M et en B sont égaux (angles correspondants), de même en N et en C.
Si M est sur [AB], N est sur [AC] et si (MN) est parallèle à (BC), alors AMN est une réduction de ABC, de sommet commun A. Les longueurs sont proportionnelles :
AMAB = ANAC = MNBC = k.
Le nombre k est le coefficient de réduction. Tu retrouveras cette idée en 3ème, où elle sera démontrée et étendue à d’autres figures ; pour l’instant, nous l’utilisons pour calculer.
Les quotients comparent un côté du petit triangle à son côté correspondant dans le grand. Le point commun A est toujours au début : AM sur AB, AN sur AC. Ne mélange pas AM avec MB : MB est un morceau du côté, pas le côté entier.
5. Calculer une longueur dans deux triangles emboîtés
1) Justifie que (MN) est parallèle à (BC) et que M, N sont sur [AB] et [AC]. 2) Écris les quotients égaux avec les lettres. 3) Remplace par les valeurs connues. 4) Calcule la longueur cherchée avec le produit en croix (ou avec le coefficient k), puis conclus avec l’unité.
(MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 5,2 cm et BC = 12,5 cm.
AMN est une réduction de ABC, donc AMAB = ANAC = MNBC, soit 410 = 5,2AC = MN12,5.
k = 410 = 0,4. Alors MN = 0,4 × 12,5 = 5 cm. Et AC = 5,2 ÷ 0,4 = 13 cm.
Le côté entier se calcule par addition : AB = AM + MB. Si AM = 3 cm et MB = 5 cm, alors AB = 8 cm et k = 38. De même, NC = AC − AN.
Avant de calculer, regarde ta figure : si tu cherches la longueur d’un côté du grand triangle, le résultat doit être plus grand que le côté correspondant du petit ! C’est un bon réflexe pour repérer une inversion.
6. Triangles semblables
Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont la même forme, c’est-à-dire lorsque l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre (éventuellement après l’avoir déplacé ou retourné). Leurs angles sont égaux deux à deux et leurs côtés sont proportionnels. Les sommets, les angles et les côtés qui se correspondent sont dits homologues.
Les angles marqués de la même couleur sont égaux. Le côté [AB], qui joint les angles vert et violet, correspond à [EF].
• Si deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables et leurs côtés homologues sont proportionnels.
• Si deux triangles ont leurs trois côtés proportionnels, alors ils sont semblables (leurs angles sont égaux deux à deux).
La somme des angles d’un triangle vaut 180° : si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles de l’autre, le troisième l’est aussi. Exemple : un triangle a des angles de 50° et 60°, donc le troisième vaut 180 − 50 − 60 = 70°. Un autre a des angles de 60° et 70° : il est semblable au premier.
1) Repère les angles égaux et écris la correspondance des sommets. 2) Repère deux côtés homologues dont on connaît les longueurs : leur quotient donne le coefficient k. 3) Multiplie (ou divise) par k pour trouver la longueur cherchée.
Les triangles ABC et EFD ont leurs angles égaux deux à deux : A = E, B = F, C = D. On donne AB = 5 cm, BC = 7 cm et EF = 7,5 cm. Les côtés [AB] et [EF] sont homologues : k = 7,55 = 1,5. Donc FD, homologue de BC, vaut 1,5 × 7 = 10,5 cm.
7. La configuration « en papillon »
Deux triangles peuvent aussi se toucher par un sommet, de part et d’autre de ce sommet. Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec O entre A et B et entre C et D, et les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Les triangles OAC (orange) et OBD forment un « papillon ». Les angles en O sont égaux (opposés par le sommet) ; les angles en A et en B, comme en C et en D, sont égaux (alternes-internes, car (AC) // (BD)).
Dans une configuration en papillon avec (AC) // (BD), les triangles OAC et OBD ont leurs angles égaux deux à deux : ils sont semblables, et OBOA = ODOC = BDAC.
Selon que tu pars de OAC ou de OBD, le coefficient est k ou son inverse 1k. Ici, OBD est le plus grand : pour passer de OAC à OBD, on multiplie par OBOA > 1.
8. Applications : longueurs inaccessibles
La proportionnalité des triangles permet de mesurer ce qu’on ne peut pas atteindre : la hauteur d’un arbre, la largeur d’une rivière, la hauteur d’un monument. Le soleil est si éloigné que ses rayons sont considérés comme parallèles.
Au même moment, l’arbre et le bâton, tous deux verticaux, projettent leurs ombres. Les deux triangles « objet – ombre – rayon » ont les mêmes angles : ils sont semblables.
Un bâton vertical de 1,5 m a une ombre de 2 m. Au même moment, l’ombre de l’arbre mesure 14 m. Le coefficient est k = 14 ÷ 2 = 7. La hauteur de l’arbre est donc 1,5 × 7 = 10,5 m.
1) Nomme les deux triangles et justifie leur forme (parallèles, angles égaux, ombres au même moment). 2) Écris la correspondance des côtés. 3) Calcule le coefficient. 4) Calcule la longueur et écris une phrase réponse avec l’unité.
À retenir
- Agrandir ou réduire une figure de coefficient k, c’est multiplier toutes ses longueurs par k ; les angles ne changent pas. k > 1 : agrandissement ; k < 1 : réduction.
- Le coefficient se calcule en divisant une longueur nouvelle par la longueur correspondante de départ.
- Agrandir, c’est multiplier, jamais ajouter le même nombre à chaque côté.
- Si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), alors AMAB = ANAC = MNBC (propriété admise).
- Deux triangles dont les angles sont égaux deux à deux sont semblables : leurs côtés homologues sont proportionnels.
- Avec deux angles égaux, le troisième l’est aussi (somme 180°).
- En papillon avec (AC) // (BD) : OBOA = ODOC = BDAC.
- Pour une longueur inaccessible, on repère deux triangles semblables, on calcule k, puis on conclut avec une phrase et l’unité.