Exercices de maths 4ème : Triangles et proportionnalité

1 Trouver un coefficient ★★★

Un rectangle mesure 6 cm sur 4 cm. On le compare à un rectangle de 15 cm sur 10 cm.

1. Calcule les quotients 15 ÷ 6 et 10 ÷ 4.
2. Le grand rectangle est-il un agrandissement du petit ? Si oui, donne le coefficient.
3. Un troisième rectangle mesure 18 cm sur 11 cm. Est-ce un agrandissement du petit ? Justifie.

2 Agrandir et réduire ★★★

a. Un triangle a pour côtés 2 cm ; 3,5 cm et 4 cm. Calcule les côtés de son agrandissement de coefficient 3.

b. Un autre triangle a pour côtés 12 cm ; 9 cm et 7 cm. Calcule les côtés de sa réduction de coefficient 0,5.

3 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. Un coefficient 0,8 donne un agrandissement.
2. Dans une réduction, les angles sont multipliés par le coefficient.
3. Un coefficient égal à 1 donne une figure de même taille.
4. Une photo de 10 cm sur 15 cm devient une photo de 4 cm sur 6 cm : c’est une réduction.

4 Maquette à l’échelle ★★★

Une maquette de voiture est à l’échelle 1/50.

1. La voiture réelle mesure 4,5 m de long. Quelle est la longueur de la maquette en centimètres ?
2. La maquette a une hauteur de 3 cm. Quelle est la hauteur de la vraie voiture en mètres ?

5 Compléter un tableau ★★★

Le triangle EFG est une réduction du triangle ABC. Le coefficient est 0,4. Complète le tableau.

6 Un premier triangle emboîté ★★★

Dans la figure, (MN) est parallèle à (BC), M est sur [AB] et N est sur [AC]. On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 4 cm et MN = 2,5 cm.

1. Calcule le coefficient de réduction de ABC en AMN.
2. Calcule AC et BC.

7 Triangles semblables ou non ? ★★★

Triangle 1 : angles de 40° et 65°. Triangle 2 : angles de 65° et 75°. Triangle 3 : angles de 40° et 80°.

1. Calcule le troisième angle de chaque triangle.
2. Quels triangles sont semblables ? Justifie.

8 Longueurs dans des triangles emboîtés ★★★

(MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 3 cm et MN = 3,2 cm. Calcule AC et BC.

9 Avec un segment restant ★★★

(MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On donne AM = 3 cm, MB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 10 cm. Calcule AN puis MN.

10 Un papillon ★★★

Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec O entre A et B et entre C et D. Les droites (AC) et (BD) sont parallèles. On donne OA = 2 cm, OB = 5 cm, OC = 3 cm et AC = 4 cm.

Calcule OD et BD.

11 La hauteur d’un arbre ★★★

Un bâton vertical de 1,2 m projette une ombre de 0,8 m. Au même moment, l’ombre d’un arbre vertical mesure 6 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ?

12 Triangles semblables : côtés homologues ★★★

Les triangles ABC et DEF sont semblables, avec A = D, B = E et C = F. On donne AB = 8 cm, BC = 6 cm, CA = 10 cm et DE = 12 cm.

1. Quels côtés sont homologues ?
2. Calcule le coefficient puis EF et FD.

13 Reconnaître des triangles semblables par leurs côtés ★★★

Triangle P : 4 cm, 6 cm, 8 cm. Triangle Q : 6 cm, 9 cm, 12 cm. Triangle R : 7 cm, 10 cm, 13 cm.

1. Q est-il semblable à P ? Justifie.
2. R est-il semblable à P ? Justifie.

14 Plan d’un terrain ★★★

Un terrain rectangulaire mesure 48 m sur 36 m. Sa diagonale mesure 60 m. On le dessine sur un plan à l’échelle 1/400.

1. Quelles sont, en centimètres, les dimensions du rectangle sur le plan ?
2. Quelle est la longueur de la diagonale sur le plan ?

15 Périmètres et réduction ★★★

(MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On donne AB = 9 cm, AC = 6 cm, BC = 7,5 cm et AM = 3,6 cm.

1. Calcule AN et MN.
2. Calcule le périmètre de ABC et celui de AMN.
3. Quel est le quotient des deux périmètres ? Que remarques-tu ?

16 Un trapèze dans un triangle ★★★

(MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On donne AM = 5 cm, MB = 3 cm, AC = 12 cm et BC = 16 cm.

Calcule le périmètre du trapèze MBCN.

17 Largeur d’une rivière ★★★

Pour connaître la largeur AT d’une rivière, Inès place un piquet en A, face à un arbre T situé sur l’autre rive. Elle avance le long de la berge : elle plante un piquet en C, à 15 m de A, puis un autre en B, 5 m plus loin. En B, elle se tourne de 90° et avance jusqu’au point D d’où elle voit le piquet C aligné avec l’arbre T. Elle mesure BD = 8 m. On admet que (AT) et (BD) sont parallèles, car toutes deux perpendiculaires à la berge (AB).

1. Explique pourquoi les triangles CAT et CBD sont semblables.
2. Calcule la largeur AT de la rivière.

18 Repérer l’erreur ★★★

Nina affirme : « Si j’ajoute 3 cm à chaque côté d’un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, j’obtiens un agrandissement. » Elle trouve un triangle de côtés 6 cm, 7 cm et 8 cm.

1. Calcule les quotients des côtés correspondants.
2. Nina a-t-elle raison ? Explique pourquoi.
3. Donne les côtés du véritable agrandissement dont le plus petit côté mesure 6 cm.

19 Angles et triangles semblables ★★★

Dans le triangle ABC, A = 52° et B = 71°. Dans le triangle DEF, E = 57° et F = 52°.

1. Calcule l’angle C du triangle ABC et l’angle D du triangle DEF.
2. Ces triangles sont-ils semblables ? Écris la correspondance des sommets.
3. On donne AB = 7 cm, BC = 9 cm et FD = 10,5 cm. Calcule DE.

20 Photo et affiche ★★★

Une photo mesure 24 cm sur 16 cm. On veut en faire une affiche de 60 cm de large.

1. Quelle sera la hauteur de l’affiche ?
2. Cette affiche doit ensuite être réduite pour entrer dans un cadre de 25 cm de hauteur. Quelle est la largeur de l’affiche réduite ?

21 Charpente d’un toit ★★★

Sur la charpente d’un toit, les deux pentes AB et AC mesurent 5 m chacune et la base BC mesure 8 m. Une poutre horizontale MN, parallèle à la base, est fixée à 2 m du sommet A, sur [AB] et [AC].

1. Calcule la longueur MN de la poutre.
2. Calcule MB et CN.
3. Calcule le périmètre du trapèze MBCN.

22 Défi : le carré dans le triangle ★★★

Le triangle ABC a une base BC = 12 cm et une hauteur issue de A égale à 8 cm. On inscrit un carré dont un côté est posé sur [BC] et dont les deux autres sommets M et N sont sur [AB] et [AC]. On note c la longueur du côté du carré, en cm.

1. Justifie que (MN) est parallèle à (BC).
2. Exprime la hauteur du petit triangle AMN en fonction de c, puis le coefficient de réduction de ABC en AMN.
3. Écris que MN = 12 × k et en déduis la valeur de c.